Spektrum vom Rechteck

[Jens (Gast)]

Guten Abend,

ich hab bei der Berechnung des Spektrums von einem Rechteck Probleme.

Das Spektrum eines Signals x(k) lässt sich so berechnen:

$$X(w)=\sum_{k=-\infty}^\infty~x(k)\cdot e^{jwkT}$$

In dem Bild das ich im Anhang angehängt habe, ist das Spektrum R(w) von 
einem Signal r(t) (Rechteck) gegeben. Warum wurde hier mit

$$e^{-\frac{jwTm}{2} }$$

 multipliziert?
Hat hier jemand eine Idee?

[Thomas B. (detritus)]

Damit man das Ding als Si-Funktion (sin(x)/x) schreiben kann. Darauf hat 
man hier zwar verzichtet, aber das dürfte das Ziel gewesen sein.
Da das Rechteck nicht um 0 rum zentriert ist, kriegt das Spektrum ne 
Phase und das ist der e^-Term.

[Jens (Gast)]

Das mit dem sin(x)/x ist mir schon klar. Trotzdem weiss ich immer noch 
nicht wie man rechnerisch auf den Phasentherm kommt.

[Jens (Gast)]

Wahrscheinlich ist es so, dass das Integral bzw. die Summe von -Tm/2 bis 
+Tm/2 geht. Damit erhält man den sin(x)/x Ausdruck. Da das Rechteck 
nicht von -Tm/2 beginnt sondern bei Tm=0 beginnt hat man noch mit dem 
Phasentherm e^(-jwTm/2) multipilizuiert.

[I_ H. (i_h)]

Schreib mal die Fouriertransformation für a(t) und a(t-a) hin (Integral 
von - bis + unendlich usw.).

Nun ersetzt du in der 2. Gleichung t-a durch tau, dann hast du statt 
e^(-j*2PI*f0*t) dastehen e^(-j*2*PI*f0(tau+a)) - kannst du zu 
Multiplikation von 2 e^ umschreiben, der Teil mit a ist konstant, kommt 
also vor's Integral. t kannst du so ohne weiteres ersetzen, weil die 
Sache eben von - bis + unendlich läuft.

[Jens (Gast)]

Ist meine obige Erklärung falsch? Ich denke nicht.

Fourier-Integral: (es handelt sich ja um ein Energiesignal)

$$R(w)=\int_{-\infty}^{\infty}~r(t)e^{-jwt}~dt$$

$$R(w)=\int_{-\frac{-Tm}{2}}^{\frac{-Tm}{2}}~r(t)e^{-jwTm}~dt$$

Damit erhalte ich dann den Ausdruck:

$$R(w)=Tm \cdot \frac{sin(w \frac{Tm}{2})}{w \frac{Tm}{2}}$$

Da aber der Rechteck zum Zeitpunkt 0 beginnt muss man noch mit den
Phasentherm multiplizuieren:

$$e^{-\frac{jwTm}{2} }$$

$$R(w)=Tm \cdot e^{-\frac{jwTm}{2}} \cdot \frac{sin(w \frac{Tm}{2})}{w \frac{Tm}{2}}$$

[Jens (Gast)]

Dieser Formel ist falsch:

$$R(w)=\int_{-\frac{-Tm}{2}}^{\frac{-Tm}{2}}~r(t)e^{-jwTm}~dt$$

Korrigierte Formel:

$$R(w)=\int_{-\frac{Tm}{2}}^{\frac{Tm}{2}}~r(t)e^{-jwt}~dt$$

[Thomas B. (detritus)]

Ja. Alternativ:

Integration von 0 bis Tm.
Nach dem Einsetzen der Grenzen siehst du (w ist omega)
-1/(jw)*e^(-j*Tm*w) + 1/(jw)*e^0
Dann klammerst du den halben Phasenfaktor aus:
e^(-jwTm/2)*[-1/(jw)*e^(-jwTm/2)+1/(jw)*e^(+jwTm/2)]
Dann den gemeinsamen Faktor 1/(w) noch ausklammern und dann wird das in 
der [] zu
2*sin(wTm/2).
Vorne wird der ausgeklammerte Faktor 1/(w) noch mit (Tm/2)/(Tm/2) 
erweitert. Der Nenner davon kommt zusammen mit dem w unter den sin, was 
zur si führt und der Zähler wird zusammen mit der 2 vom sin zu Tm. Damit 
erhält man dasselbe Ergebnis.
Deine Lösung macht das ganze natürlich sehr viel einfacher.

[Jens (Gast)]

Ok Danke Thomas B. für deine Unterstützung.