Hi und hallo zusammen, ich hoffe, dass mir hier weitergeholfen werden kann. Ich habe einen passiven LC-Tiefpass, siehe Anhang. Für diesen will ich nun die Differentialgleichung aufstellen, aber wirklcih weit komme ich dabei nicht. Also würde ich gerne einmal Eure Hilfe in Anspruch nehmen. Die Maschengleichung bekomme ich ja noch aufgestellt, ich hoffe auch richtig, siehe Anhang, aber dann hörts auch schon wieder auf. Ich weiß nicht, wie ich da weiter ansetzen muss/soll. Ich würde mich freuen, wenn mich der ein oder andere etwas anstupsen könnte ;) Vielen Dank! Grüße vom Benjamin
Falscher Ansatz!! Du musst so anfangen: U0 = Ul + Uc, da Uc = Ua ist Dann i in Abhängigkeit von Uc, alles einsetzten, fertig.
Also in meinem Fall wär das: UE-UL-UC= 0
Dann wäre:
Weiter:
anders:
Ist das so richtig oder habe ich da noch was falsch verstanden? Vielen Dank! Grüße vom Benjamin
Korrekt Das Vorzeichen ist zunächst nicht so wichtig. Löse die homogene Diff-Gleichung mit Ue = 0 Geht auch mit Laplace Ua/Ue = 1/(1 + p²LC) Zerlegung in Linearfaktoren und Transfo in den Zeitbereich führt direkt auf die Zeitgleichungen. Erspart die Integrale. Das Ganze macht aber nur Sinn wenn ein R vor dem L ist. L ohne R gibt es im non-supra nicht.
Hallo,
>Du hast unten bei dt ein ² vergessen.
Also so!?
>L ohne R gibt es im non-supra nicht
Bei den Schaltungen/Aufgaben gehts auch nicht so um die reale Welt ;)
Wenn ich das ganze nun für einen Hochpass mache, also L und C
vertausche, habe ich dann den gleichen Ansatz wie oben?:
UE-UC-UL= 0 wobei UL= UA
Muss ich nun weiter i in Abhängigkeit von UL einsetzen?
Vielen Dank!!
Grüße vom Benjamin
Oder noch besser so:
mit
Dann steht die Inhomogenität omega^2 U_E dort, wo sie hingehört, nämlich rechts vom Gleichheitszeichen.
Hallo, >Dann steht die Inhomogenität omega^2 U_E dort, wo sie hingehört, nämlich >rechts vom Gleichheitszeichen. vielen Dank! Dann ist das also eine inhomeogene DGl 2. Ordnung, richtig?
Hallo, ja. Es ist eine gewöhnliche, lineare, inhomogene DG zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten (und fehlendem Grad-1-Term). Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DG ist (wie bei allen homogenen linearen DG) mit dem e-hoch-Lambda-t-Ansatz zu gewinnen. Wie eine spezielle Lösung der inhomogenen DG aussieht, hängt von der Funktion U_E(t) ab. Die Gesamtlösung ist die lineare Superposition der allgemeinen und der speziellen Lösung.
Wenn wir schon beim "krümeln" sind dt² und nicht d²t U_{E}-L \cdot C \cdot \frac{d^{2}U_{C}}{d^{2}t} - U_{C} = 0 So war das mit dem R nicht gemeint. Der Ansatz OHNE das R verschleiert eher den Blick für die Lösung. Mit R ergibt sich durch den korrekten Ansatz des Gastes im Zeitbereich eine Exponentialgleichung die entweder reell verläuft oder zur Schwingung führt wobei der aperiodische Grenzfall die Grenze darstellt. Ohne den R werden durch die Polstellen Resonanzen mit Unendlichkeitsstellen vorgetäuscht die eher dem Verständnis abträglich sind. Es kommt eben in der Diff noch ein Term dazu bzw in der Laplacetransfo ein Glied im Nenner. Man kann sehr wohl den Parallelwiderstand des Kondensators vernachlässigen, den Spulenwiderstand nicht
Wen ich das richtig verstehe, hilft der Widerstand auch bei der Lösung der Gleichung und beim Verständnis. Deswegen sollte man ihn reinnehmen!? Ich würde das ganze nun noch einmal gerne für einen CL-Hochpass machen, also L und C in der Schaltung oben vertauschen. Habe ich dann den gleichen Ansatz wie oben?: UE-UC-UL= 0 wobei UL= UA Muss ich nun weiter i in Abhängigkeit von UL einsetzen? Wobei der Widerstand hier nun natürlich wieder nicht berücksichtig wurde. Vielen Dank!! Grüße vom Benjamin
Hi Benjamin Es gibt viele Wege nach Rom. Ich würde den einfachsten gehen. Mit komplexer Rechnung zunächst die gewünschte Übertragungsfunktion erstellen. Tiefpass mit R, L und C F(p) = 1/(p²LC + pRC + 1) Wem der Laplace unangenehm ist stellt auf DG um p²LC + pRC + 1 = 0 Homogen lösen mit Ansatz laut Gast als Summe von e-Funktionen mit Lambda. Führt je nach Dämpfung zum Kriechfall, aperiodischen Grenzfall und Schwingfall Für den Hochpass erhält man sinngemäss Hochpass F(p) = p²LC/(p²LC + pRC + 1) Und den Serienbandpass mit Ua an R abgegriffen F(p) = pRC/(p²LC + pRC + 1) Oder den Parallelbandpass mit Ua an L und C parallel mit Rlcu = 0 F(p) = pL/(p²RLC +pL + R) oder F(p) = pL/R//(p²LC + pL/R + 1) Den Vorteil ersieht man leicht. Die homogene DG hat immer die gleiche Struktur.
Hallo, erst einmal vielen Dank für die ausführliche Erklärung. Um die Lösung der DGL geht es erst einmal nicht geht erst einmal um das aufstellen dieser. Verstehe ich das richtig, dass ich über die ÜF mit Hilfe von Laplace ebenfalls auf die DGl komme, ohne den Weg über Maschengleichungen etc. zu nehmen? Die Sache ist, dass ich/wir mit Laplace usw. noch nicht so viel am Hut haben, deswegen der andere Weg also schön über Maschengleichung und so. Nach Möglichkeit wollte ich auch das erst einmal in de Grff bekommen und einigermaßen verstehen. Deswegen vielelciht auch dazu noch einmal eine Frage. Kann ich bei einem CL-Hochpass davon ausgehen, dass der Uasgangsstrom NULL ist, das System also unbelastet und somit der Strom durch C und L gleich ist? Vielen Dank! Grüße vom Benjamin
Klar Benjamin der Laplace ist keine so einfache Sache und da muss man sich erst einarbeiten. Etwas zur Verdeutlichung Nehmen wir einen R, L, C-Tiefpass mit Abgriff am Kondensator dann ist das Maschengesetz Ue = I x R + L x dI/dt + Uc mit I = C x dUc/dt Somit Ue = LCd²Uc/dt² + RCdUc/dt + Uc was nichts neues ist Ue = LCUc'' + RCUc' + Uc mit Uc' = dUc/dt und Uc'' = d²Uc/dt² Die Lösung der homogenen, -zu Null Gleichung führt, wie der Gast bereits ausführte, auf Exponentialfunktionen die reell oder komplex sind. Falls Ue(t) ein Sprung ist gibt es den bereits erwähnten Kriech, Ap, und Schwingfall. Nun schau dir mal den Laplace an Ue/Ua = LCp² + RCp + 1 Da fällt ein Analogon auf. p = d/dt und p² = d²/dt² Ganz so einfach ist es nicht aber "gefühlt".
Mhhh, also ich habe das ganze mal für LR-Tiefpass durchgespeilt, also Ua-Abgriff über dem Widerstand. ÜF ist: 1/( 1+jw(L/R) ) Maschengleichung: Ue-UR-UL=0 , UR = Ua , Ia= 0 Ue= Ua+ L*di/dt , i=Ua/R Ue= Ua+ L*d/dt(Ua/R) Ue= Ua+L/R*dUa/dt Stimmt das so? Müsste doch, da Ue/Ua= 1+jwL/R Nun das ganze einmal für den RLC-Hochpass als Übung: Die ÜF müsste doch (jwL)/(jw)^2LC + jwRC + 1) sein. Muss man das ganze dann noch umstellen um auf eine Form 1/... zu kommen oder gibt es dann einen anderen Ansatz? Die Maschengleichung wäre doch: Ue=UR+UC+UL, UR=I*R, Ue=I*R + UC + UL, UL=Ua nur jetzt hänge ich wieder an dieser Stelle. Muss ich nun UC in Abhängigkeit von I ersetzen? Grüße vom Benjamin
Grundlegend eines vorweg: Der Ansatz über die Lösung mittels der homogenen und inhomogenen DGL ist zwar in Ordnung. Allerdings möchte ich hier anmerken, dass die Lösung mittels Laplace-Transformation und Rücktrafnsformation bei den meisten Fällen die bessere Lösung darstellt, zumal man im Laplace-Bereich weitaus mehr über das System-Verhalten aussagen kann. Einziges Problem bleibt die LTI Forderung :-(
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