Faltungsintegral

[Mr.Baum (Gast)]

Hallo zusammen,

ich hänge irgendwie an einer Aufgabe:

Von einem System ist die Impulsantwort bekannt(d.h. die Antwort auf 
einem Impuls mit der Amplitude 1 zum Zeitpunkt 0)

$$y(t)= 0 fuer t<0$$

$$y(t) = 3*exp(-2*t) fuer t>0$$

Nun soll man die Systemantwort auf das Signal x(t) mithilfe des 
Faltungsintegrals berechnen.

Nun das Eingangssignal x(t) ist doch eine Spungfunktion nehme ich mal 
an.
Meine Impulsantwort sieht soweit auch gut aus.

Nun habe ich ein Problem damit das ganze in ein Faltungsintegral zu 
packen. Die allgemeine Form des Faltungsintegrals ist mir bekannt. Wäre 
sehr dankbar wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte. Als Bild 
habe ich das Ausgangssignal nochmals angefügt.

[Daniel (Gast)]

Ich glaub du bringst einiges durcheinander.

"Nun soll man die Systemantwort auf das Signal x(t) mithilfe des
Faltungsintegrals berechnen."

Die Systemantwort y(t) hast du doch als Aufgabe gegeben. Und das Bild 
ist ganz sicher nicht das Ausgangssignal (Systemantwort) y(t) = 
3*exp(-2*t) für t>0.

[Daniel (Gast)]

Es ist auch "unglücklich", dass in dem Bild T0 eine einheitslose Zahl 
ist. Ich präferiere T als eine Zeit, und nicht als eine Zahl.

[Martin W. (martin123)]

Kann es sein, dass du einfach nur

$$z(t) = x(t) \ast y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} dt' x(t') y(t-t')$$

ausrechnen musst? z(t) wäre dann deine Antwort. Eventuell kommst du mit 
dem Faltungstheorem weiter. Eine Rechteckfunktion wird zu einem Sinc und 
die Exponentialfunktion wird zu einer Lorentzfunktion. Ich bin mir nur 
nicht sicher, ob man es wieder zurücktransformieren kann. Ansonsten 
musst du halt x durch Heaviside Funktionen ausdrücken und dadurch die 
Integralgrenzen einschränken. Das sollte auf jeden Fall gehen.

[Mr.Baum (Gast)]

@all

danke für die Antworten.

Es geht mir primär um die Aufgabe 1. Die ich Anhand des 
Faltungsintegrals ausrechnen soll. Ich finde da einfach keinen Einstieg.

Als Bild habe ich mal die Aufgabenstellung angehängt. Ja mit T vermute 
ich auch die Zeit. x(t) aus dem Bild ist ja eine Sprungfunktion 
(Eingangssignal). Um mit dem Faltungsintegral zu arbeiten reicht mir 
doch die o.g. Impulsantwort, aber ich finde da einfach keinen Einstieg.
Das Faltungsintegral wurde ja von Martin schon richtig hingeschrieben, 
nur wie gehe ich jetzt weiter vor?

Danke im Voraus

[tssstsss (Gast)]

Wie wäre es mit selbständigen lernen??? Statt Antworten aus dem Forum zu 
bekommen.

[Mr.Baum (Gast)]

ach stell dir mal vor, es geht um keine Schul oder Hochschulaufgabe es 
geht um etwas Privates.

Ich habe leider kein Abschluss in E-Technik oder Digi oder sonstwas und 
meine Systemtheorie im Studium bestand zum größten Teil aus 
Informationtheorie. Und außerdem solltest du "Klugscheisser" 
unterscheiden können ob man nach einer Lösung fragt oder einem 
Denkanstoss, wenn nicht lern lesen! Echt, sorry aber solche Kommentare 
regen mich auf!

[Martin W. (martin123)]

Aber jetzt ist es doch eigentlich nicht mehr so schwer:

$$x \ast y = \int_{-\infty}^{\infty} 3x(t') \exp{(-2 (t-t'))}dt' = \int_{0}^{T_0} 3\exp{(-2 (t-t'))}dt' = 3 \exp(-2t) \int_{0}^{T_0} \exp(2t')dt' = \frac{3}{2} \exp(-2t) \left( \exp(2 T_0) - 1 \right)$$

ich weis nicht wie gut du dich mit Integralrechnung auskennst. Viel 
steckt nämlich nicht dahinter.
Das Prinzip mit der Punktantwort musst du so verstehen: Wenn du einen 
einzelnen beliebig kurzen Ausschlag auf dein System loslässt, dann wird 
es irgendwie darauf reagieren. Das ist sozusagen dein Testsignal. Wenn 
du jetzt ein komplexeres Eingangssignal hast, dann summiert die Faltung 
einfach alle Punktantworten auf, wobei sie mit der Amplitude des 
Eingangssignals am jeweiligen Ort gewichtet werden.

[Mr.Baum (Gast)]

Ich danke dir Martin. Mit der Integralrechnung komme ich gut zurecht. 
Mir hat irgendwie nur der Ansatz gefehlt bzw. ich hatte wohl ein Brett 
vor dem Kopf. Danke für deine Mühe!

[Martin W. (martin123)]

Kein Problem!

[Mr.Baum (Gast)]

Noch eine Frage wegen der Nr.3. Die Impulsantwort ist doch die Ableitung 
der Sprungantwort, demzufolge müsste ich doch die Sprungantwort durch 
Integration der Impuslantwort bekommen?? Oder liege ich da falsch.

[Martin W. (martin123)]

Die Suche bei Wikipedia ergibt:

http://de.wikipedia.org/wiki/Sprungantwort

Die Sprungantwort a(t) lässt sich auch als Faltung der Sprungfunktion 
σ(t) mit der Impulsantwort h(t) berechnen
Die Sprungantwort ist somit das zeitliche Integral der Impulsantwort.

Du liegst also nach Wikipedia richtig.

[bla242123 (Gast)]

Abgabe ist am 18.04 bis 22h, nicht vergessen Mr Baum :-D

[aha (Gast)]

Fehlt da nicht die Sprungfunktion des Eingangssignals?

[sunshine t. (fhwiesbaden)]

hallo liebe stuiess

habt ihr auch soo probleme mir dieser aufgabe ich verstehe einfach nicht 
wie ich diese aufgabe lösen soll habe auch schon mit meinem partner 
gesprochen der hat auch keinen ansatz kannmir da villt jemand einen 
ansatz geben ??

danke im vorraus

[aha (Gast)]

@sunshine teller:
Wo genau liegt den dein Problem?

[bla242123 (Gast)]

wie lautet denn das integral von der sprungfunktion?
sollte das nicht eine lineare funktion sein?

[aha (Gast)]

Wenn du die Sprungantwort meinst, dann:
3/2-3/2*exp(-2*t)

[bla242123 (Gast)]

nein, das meinte ich nicht.

das faltungsintegral sieht doch folgendermaßen aus:

Integral(x(t') * g(t-t')) dt' = y(t)
y(t) ist in dem Fall die systemantwort, x(t) das eingangssignal (bei der 
aufgabe ja die sprungfunktion x(t) = 2*s(t) - 2*s(t-2)), g(t) ist die 
Impulsantwort (hier g(t) = exp(-2*t)).

das Faltungsintegral sollte dann ja folgendermaßen aussehen:

y(t) = Integral( (2*s(t)-2*s(t-2))*2*exp(-2(t-t')) ) dt'

wie ich das 2*exp(-2(t-t')) integriere ist klar,
ich weiß nur nicht wie man 2*s(t)-2*s(t-2) integriert.

oder ist mein denkansatz schon falsch?

[aha (Gast)]

Es ist einfach das ganze für verschiedene Bereiche zu betrachten.
Seite 19 im Schneider-Obermann Skript ist ein Beispiel.

Du wendest das Integral auf verschiedene Bereiche an, dann ist das ganze 
viel einfacher.

Einmal von 0 bis t.
Dann von t-T0 bis t.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

 aha  weist auf eine Fallunterscheidung hin. Das Rechteck
x(τ) = 2·[ε(τ)-ε(τ-T_0)] wird nach links geklappt und für t = 0 an die 
Ordinatenachse geschoben.
° Für t ≤ 0 ist das Faltungsintegral 0.
° 0 ≤ t < T₀  → z(t) = ∫   0..t 3·exp(-2·τ)·dτ = 3·[1 -exp(-2·t)]
° T₀ ≤ t      → z(t) = ∫t-T₀..t 3·exp(-2·τ)·dτ = 3·[exp(-2·{t-T₀}) 
-exp(-2·t)]
Es wird jeweils dort integriert, wo das Rechteck nicht 0 ist.

Das Faltprodukt ist auch über den Faltungssatz erhältlich.
x(t) = 2⋅[ε(t)-ε(t-T₀)]               ⊶   X(s) = 2·[1÷s -exp(-s⋅T₀)÷s]
Impulsantwort: y(t) = 3⋅exp(-2⋅t)     ⊶   Y(s) = 3÷(s+2) 
(Übertragungsfunktion)

Rücktransformation des Produkts dieser beiden Bildfunktionen ergibt das 
gesuchte Faltprodukt.
Z(s) = X(s)·Y(s)  ⊷   z(t) = 3⋅[ε(t)⋅{1-exp(-2⋅t)} 
-ε(t-T₀)⋅{1-exp(-2⋅[t-T₀])}]
Hier sind die Fallunterscheidungen bereits eingebaut:  Für z. B. T₀ ≤ t 
heben sich die beiden 1 auf.

[Xeraniad X. (xeraniad)]

Bei den Faltungsintegralen fehlte oben der Faktor 2 (Rechteck-Höhe).
Die ausgewerteten Ausdrücke waren bereits richtig.
 0 ≤ t < T₀  → z(t) = 2 ·∫   0..t 3·exp(-2·τ)·dτ ...
 T₀ ≤ t      → z(t) = 2 ·∫t-T₀..t 3·exp(-2·τ)·dτ ...

Der Graph entspricht z. B. dem Laden und Entladen einer Kapazität über 
einen Widerstand. Die Unregelmässigkeit links unten entstand aufgrund zu 
geringer Auflösung.