VNA / inverse FFT

[Tommy (Gast)]

Hallo zusammen,

als kleine Hintergrundinformation: Ich habe mit einem Netzwerkanalysator 
einen Frequenzbereich von 1 MHz - 100 MHz in 500 kHz-Schritten 
aufgenommen. Das heisst, ich habe für jede der Frequenzen 1 MHz, 1.5 
MHz, 2 MHz ... , 100 MHz Betrag und Phase der Reflexion.

Nun kann ich ja eine inverse Fouriertransformation auf diese Daten 
anwenden, um mir die Stärke der Reflexion über der Zeit (und damit über 
den Weg) ausgeben zu lassen.

Jetzt zwei Fragen:

1. Welche Auswirkungen hat es theoretisch, wenn ich statt den gesamten 
Bereich (1 MHz...100 MHz) zu verwenden, nur die Messwerte von z.B. 20 
MHz ...100 MHz für die Trafo verwende? Wird "nur" meine Auflösung im 
Zeitbereich schlechter, oder passiert noch mehr?

2. Normalerweise ist bei der iFFT (bzw. ihr diskretes Analogon, iDFT) ja 
die erste Zeile der Wert, der zu 0 Hz, also Gleichanteil/DC gehört. Bei 
mir gehört der erste Wert aber zu 1 MHz (bzw. 20 MHz). Wo und wie wirkt 
dich das im Ergebnis aus, wenn ich der iFFT das Frequenzarray übergebe, 
dessen Werte bei höheren Frequenzen anfangen? Denn die iFFT "denkt" ja, 
sie erhalte Werte, die mit 0 Hz beginnen.

Danke und Grüße
T

[chris (Gast)]

>Nun kann ich ja eine inverse Fouriertransformation auf diese Daten
>anwenden, um mir die Stärke der Reflexion über der Zeit (und damit über
>den Weg) ausgeben zu lassen.

Über welchen Weg meinst Du denn?
Ich würde behaupten, dass die Reflexion immer an der gleich Stelle 
auftritt.

[Tommy (Gast)]

über s=c*t ( c ist hier näherungsweise Lichtgeschwindigkeit ) erhalte 
ich ja aus der Laufzeit den zurückgelegten Weg...

[Alexander L. (lippi2000)]

Dein Netzwerkanalyser erzeugt dir Sinusschwingungen von 1MHz, 
1.5MHz,...,100MHz in 500kHz-Schritten. Idealerweise ist deine 
Messbandbreite für jede Frequenz Null. Ich nehme Sie mal mit maximal 
-250kHz an (zwecks Nyquist).

Man könnte doch sagen, dass eine Messung in deinem Messarray

$$M(j\omega ) \text{ mit } \omega = -250kHz...+250kHz$$

deinen Daten entspricht und die aktuelle Messfrequenz (1MHz,1.5MHz,...) 
einem kosinusförmigen Trägersignal

$$T(j\omega ) = \delta (\omega - {\omega }_0 ) \text{ mit } \omega_0 = 1Mhz$$

Damit du ein reeles Signal erhältst, muss es sich um ein symmetrisches 
Spektrum handeln. Also gilt für den Träger:

$$T(j\omega ) = \delta ( \omega + {\omega }_0 ) + \delta ( \omega - {\omega }_0 )$$

Damit deine Daten M(jw) auch verschoben im Frequenzbereich erscheinen, 
werden diese mit dem Träger gefaltet:

$$F(j\omega )= M(j\omega )\ast T(j\omega )$$

Da wir ja wissen, dass eine Faltung im Frequenzbereich einer 
Multiplikation im Zeitbereich entspricht, kannst du beide Funktionen 
Fourier-Rücktransformieren.

Was erhältst du?

Dein Messsignal mit einem Kosinusträger amplitudenmoduliert.

$$f(t) = 2\pi cos\left( {\omega }_0 \right)\cdot \mathcal{F}^{-1}\lbrace M(j\omega )\rbrace$$

Nun musst du dies allerdings für jeden Frequenzwert in deinem Array 
durchführen, wodurch sich das Zeitsignal aus der Summe der jeweiligen 
Rücktransformierten ergibt.

D.h., dein Zeitsignal setzt sich aus (100MHz-1MHz)/0.5MHz = 198 
Sinus-/Kosinusschwingungen zusammen. Dein Ausgangssignal hat als 
Grundfrequenz 1MHz und 197 Harmonische.

Betrachte nun den Messbereich 20MHz...100MHz, daraus resultieren 
(100MHz-20MHz)/0.5MHz ein Zeitsignal welches sich aus nur noch 160 
Sinus-/Kosinusschwingungen zusammensetzt. Die Grundfrequenz erhöht sich 
dabei auf 20MHz (159Harmonische).


Das heißt, wenn du deine Messreihe erst bei 20MHz statt 1MHz aufnimmst 
erhöht sich die Frequenz der Trägerschwingung. Hast du Änderungen im 
Bereich (1MHz - 20MHz), so kannst du diese in deinem eingeschränkten 
Messbereich nur noch als Modulation mit deinem rücktransformierten 
Signal sehen.


Mit zunehmender Reduzierung der Harmonischen ähnelt dein Signal immer 
mehr einem Sinus/Kosinus bzw. deine Signalflanken werden flacher. 
(Ideales Rechteck setzt sich aus undendlich vielen Harmonischen 
zusammen.)

Gruß Alexander