Frequenzgang einer diskreten Übertragungsfunktion, wo bleibt fs?

[Jan K. (jan_k)]

Hi Leute :)

Ich habe eine Verständnisfrage bezüglich der z-Trafo.

Angenommen ich habe eine Übertragungsfunktion H(z), die ein beliebiges 
Filter beschreibt. Möchte ich den Frequenzgang bestimmen, so wertet man 
H(z) an den Stellen exp(j*2*pi*f) aus. Etwas umformen, Betrag bilden, 
fertig.

Das große "aber": Wo taucht dann noch die Abtastfrequenz fs bzw das 
Abtastintervall T=1/fs auf? Nehme ich bei obiger Ausführung an, dass T=1 
ist? Denn wenn ich mir |H(exp(2pi*j*f))| plotte, ist dieser Plot 
symmetrisch zu pi. Das ist offensichtlich die Nyquistfrequenz.

Hintergrund der Frage ist: Ich habe in z-Ebene ein 
Pol-/Nullstellendiagramm gegeben und soll den Frequenzgang bestimmen. 
Also konstruiere ich mir die Übertragungsfunktion in der z-Ebene und 
gehe dann weiter vor wie oben beschrieben.
Kann ich möglicherweise in der z-Ebene bereits erkennen, mit welcher 
Abtastfrequenz gearbeitet wurde?

Ich bin total verwirrt, weil wir in der Uni die ganzen Trafos immer ohne 
Abtastfrequenz gemacht haben, matlab bspw. möchte aber grundsätzlich ein 
fs haben.


Ich hoffe, ihr könnt mir etwas auf die Sprünge helfen :)

Danke & viele Grüße,
Jan

[Marius W. (mw1987)]

Bei deiner Übertragungsfunktion sind alle Frequenzen normiert auf die 
Abtastfrequenz. Im Pol-Null-Stellen-Diagramm erscheinen die Frequenzen 
auf dem Einheitskreis (daher diese Pi-Symmetrie).

0 => 0 Hz
pi => fs/2
pi/2 => fs/4

usw.

Gruß
Marius

EDIT: Wenn du nur die Daten der Z-Ebene hast, kannst du daraus nicht auf 
die Abtastfrequenz schließen.

[Jan K. (jan_k)]

Wollte editieren, aber ging nicht mehr:

"
edit: Mir ist noch was eingefallen: Beim Übergang von der Laplace- zur 
z-Trafo wird z=exp(s*T) gesetzt. Dadurch wird die linke Halbebene in den 
Einheitskreis "gemappt". Der Betrag einer Zahl in der z-Ebene ist 
exp(\sigma*T). Auf dem Einheitskreis ist \sigma=0. Deswegen liegt der 
immer auf 1. Skalieren dann nur die restlichen Werte mit T?
Nur ablesen kann ich T dadurch trotzdem noch nicht?

"


Und danke für deine Antwort Marius!
Sind die so bestimmten Amplitudengänge dann immer 2pi periodisch bzw 
symmetrisch um pi?

Edit:
Ich denke ich habs gecheckt. Direkt in der Synthesegleichung der z-Trafo 
wird ja schon auf 1/T=fs normiert: sum(s(n)*exp(-n*2pi*f/fs))
Dann brauche ich T hinterher also nicht mehr anzupacken.