Übertragungsfunktion Bandpass

[Zuegele (Gast)]

Guten Tag Forum!

Ich möchte die Übertragungsfunktion folgender Schaltung berechnen. Die 
Schaltung ist ein Bandpass 2. Ordnung. Mit der Berechnung von 
Übertragungsfunktionen habe ich eigentlich keine Mühe, was mich in 
dieser Schaltung aber verwirrt ist die Mitkopplung durch C2. Kann mir 
jemand erklären wie sich die UTF berechnen lässt?

Vielen Dank!

MfG Zuegele

[Michael H. (michael_h45)]

Das ist Sallen-Key Struktur.
Nahe beim cutoff sind die Impedanzen der Widerstände und zugehörigen 
Kondensatoren in der selben Größenordnung. Durch die Mittkopplung in dem 
Bereich wird damit die Güte angehoben.
Übertragungsfunktion: siehe beliebiges Filter-Handbuch oder -Tool.

[Zuegele (Gast)]

Merci Michael. Richtig, der BP setzt sich aus einem Sallen-Key-TP und 
einem  vorgeschalteten passiven HP zusammen. Mir ist schon klar, dass 
die UTF vom Sallen-Key in Büchern nachgeschlagen werden kann, doch dort 
stehen immer nur die fertigen Formeln. Mich interessiert jedoch die 
Herleitung:


       Uout(s)   ??????    <-- wie berechnet man Uout (Mitkopplung C3 
!?)
H(s) = ------- = -------
       Uin(s)    Uin(s)


Wer kann mir auf die Sprünge helfen?


Gruss

[Michael H. (michael_h45)]

So, es hat eine knappe Stunde gedauert, aber die Übung tat gut!

Den Opamp in n-inv-Verstärkerschaltung kannst du einfach als ideale 
Quelle mit Verstärkung (1+(R01/R0)) annehmen.

Also

$$U_\text{+} = U_\text{out} \cdot \frac{R_{01}}{R_{01}+R_{0}}$$

Dann die zwei Knoten bei bei U+ und der Rückkopplung (1):

$$U_\text{+} \cdot \left( R_2^{-1} + Z_3^{-1} \right) = U_1$$

und

$$U_1 \cdot \left( Z_1^{-1} + R_2^{-1} + Z_2^{-1} \right) = Z_1^{-1} \cdot U_\text{in} + R_2^{-1} \cdot U_\text{+} + Z_2^{-1} \cdot U_\text{out}$$

macht (laut Maple =)

$$U_\text{+} = \left({ U_\text{in} \cdot \left( R_2 \cdot Z_3 \cdot Z_2 \right) + U_\text{out} \cdot \left( Z_1 \cdot R_2 \cdot Z_3 \right) } \right) \cdot \frac{1}{R_2\cdot Z_3\cdot Z_2 + Z_1\cdot R_2\cdot Z_2 + Z_1\cdot R_2\cdot Z_3 + R_2\cdot R_2\cdot Z_2 + R_2\cdot R_2\cdot Z_1}$$

mit

$$k = R_2\cdot Z_3\cdot Z_2 + Z_1\cdot R_2\cdot Z_2 + Z_1\cdot R_2\cdot Z_3 + R_2\cdot R_2\cdot Z_2 + R_2\cdot R_2\cdot Z_1$$

macht das:

$$\frac{U_\text{out}}{U_\text{in}} = \frac{\left( R_2 \cdot Z_3 \cdot Z_2 \right) / k}{R_{01} / \left(R_{01} + R_0 \right)} \cdot {\left( 1 - \frac{\left( Z_1 \cdot R_2 \cdot Z_3 \right) / k}{R_{01} / \left(R_{01} + R_0 \right)} \right)}^{-1}$$

[Michael H. (michael_h45)]

Ach DRECK! Ich hab bei mir aufm Papier deinen R1 vergessen...
Naja, Anzahl Knoten bleibt gleich, es kommt halt ein R1-Term beim Knoten 
1 dazu. Den darfst du jetzt selber reinrechnen =)

[Helmut S. (helmuts)]

@Zuegele
> doch dort stehen immer nur die fertigen Formeln.

Nenne mir mal einen einzigen Link in dem dir Formel mit deinem C1 
drinsteht. Das wirst du nicht finden. Es sei denn für den trivialen 
Fall, dass C1 beliebig groß angenommen wird. Da musst du schon selber 
rechnen. Ist halt eine längere Rechnung.

[Zuegele (Gast)]

Michael, vielen Dank!! Genau diesen Ansatz hat mir gefehlt. Deine 
Rechnung kann ich super gebrauchen. Morgen werde ich mal alles 
nachrechnen, habe ja Osterferien :-)

@Helmut: Nein, da verstehst du was falsch. Zum Sallen-Key-LP gehört der 
C1 nicht dazu, folglich ist er auch nicht in der Formel enthalten. C1 in 
Kombination mit R1 beschreibt einen passiven HP welcher zusammen mit dem 
S-K-LP einen Bandpass ausmacht. Aber du hast recht, die UTF der gesamten 
Schaltung muss man selber berechnen.

[Helmut S. (helmuts)]

Habe die Formel mit Sapwin 3.0 symbolisch berechnen lassen und dann mit 
LTspice überprüft. Es passt. E1 ist die mit Ro und Ro1 eingestellte 
Verstärkung des Opamps.
http://cirlab.det.unifi.it/Sapwin/


(  + E1 C1 R1) s
-------------------------------------------------
(  +1)
(  + C1 R1 - E1 C2 R1 + C2 R1 + C3 R2 + C3 R1) s
(  + C3 C1 R1 R2 + C3 C2 R1 R2) s^2