DGL mit komplexen Eigenwerten?

[Bert S. (kautschuck)]

Hallo,
ich versuche schon die ganze Zeit herauszufinden, wie auf die homogene
y(t) Gleichung auf dem 2ten Bild kommt?

ich weiss dass

$$e^{2i} = e^{0} * e^{2i} = (cos(2t) + i sin(2t))$$

ist. Wenn ich aber das so mit dem Eigenvektor E2i rechne, komme ich
auf:

z(t) =

$$(cos(2t) + isin(2t)) *\begin{pmatrix} 0 \\ 1-i \\ 1 \end{pmatrix}$$

=

$$\begin{pmatrix} 0 \\ cos(2t) + i sin(2t) - i cos(2t) + sin(2t) \\ cos(2t) + i sin(2t) \end{pmatrix}$$

Gibt es iregenwie eine spezielle Regel welchen Eigenwert man nehmen 
muss?
Ich dachte immer die Lösungen seien dann:
y1(t) = Re (z(t)) und y2(t) der Im (z(t))

[Super Troll (Gast)]

Ich erinnere mich grad nicht mehr so genau. Es gibt eine Unitaer-Matrix 
U = U*, die die Transformation zwischen urspruenglicher und 
diagonalisierter Matrix macht. Dh wenn die urspruengliche Matrix 
komplexwertig ist, ist die diagonalisierte auch komplexwertig. Bin mir 
aber nicht sicher.

[tief im Westen (Gast)]

Da bin ich zu alt für um mir über solche Probleme Gedanken zu machen. Da 
brauch ich ja erst wieder mal ne Woche um da durchzublicken.

[Manfred L. (egonotto)]

Hallo,

aus der komplexen Lösung bekommt man zwei linear unabhängige reelle 
Lösungen der reellen DGL.
Mit der Lösung zum reellen Eigenwert bekommt man ein Fundamentalsystem.
Eine beliebige Linearkombination der Fundamentallösung ergibt eine 
spezielle Lösung.

Angehängt ist eine Skizze, die weiterhilft.

MfG
egonotto

[Bert S. (kautschuck)]

Vielen Dank! Hat mir sehr geholfen.  MfG Bert

[Bert S. (kautschuck)]

Das einzige was ich nun nicht verstehe ist, wo kommt die 2 vor e^0 her? 
Ich dachte y2 ist der Re und y3 der Im von y(t) nach Manfred L. ?

[Bert S. (kautschuck)]

Ich habe hier noch ein weiteres Problem bei einer Aufgabe.
Es handelt sich um ein DGL-System 2ter Ordung. Ich verstehe den 
Lösungsanstatz

$$\begin{pmatrix} a_1 cos(2t) + b_1 sin(2t) \\ a_2 cos(3t) + b_2 sin(3t) \end{pmatrix}$$

nicht. Warum wird hier auf den Ansatz c1 * e^(lambda t) verzichtet?

[Florian W. (flower)]

$$\ddot{x}=\underbrace{\begin{pmatrix} -2 & 0 \\ 0 & -4\end{pmatrix}}_{:=D}x$$

Da D diagonal ist, sind die Komponenten unabhaengig. Wir koennen also 
die Komponenten getrennt betrachten.

Das Problem ist also komponentenweise

$$\ddot{x} = - \gamma x, \quad \gamma>0$$

Hier kann man direkt sehen, dass sin und cos Loesungen sind.

Mit dem Ansatz

$$x(t)=e^{\gamma^{1/2} i t}$$

kommt man mit einer Rechnung wie von Manfred L. auch auf sin und cos 
indem man Realteil und Imaginaerteil nimmt

$$e^{\gamma^{1/2} i t} = \cos(\gamma^{1/2} t) + i \sin(\gamma^{1/2} t).$$