Phase konjugiert komplexer Polstellen (Bodediagramm)

[Jürgen (Gast)]

Hallo,
wäre schön wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Als Grundlage für mein Unverständnis dient die Gleichung für die Phase 
eines konjugiert komplexen Polstellenpaares (unter dem ersten Diagramm):
[[http://lpsa.swarthmore.edu/Bode/BodeHow.html#A%20Complex%20Conjugate%20Pair%20of%20Poles]]

Case 1) und Case 3) sind noch eindeutig nachvollziehbar.
Case 2) ist mir nicht klar:
Sobald omega größer omega_0 wird, wird der Nenner negativ und es tritt 
ein Phasensprung von 180° auf (arctan(1/(-x))=-arctan(1/x)) und für 
steigendes omega müsste die Gleichung gegen 0 gehen (Nennerpolynom > 
Zählerpolynom).

Die Gleichung für das Argument in Matlab geplottet bestätigt meine 
Vermutung (Siehe Anhang).

Wieso wird dieser Phasensprung im Bodediagramm nicht berücksichtigt bzw. 
tritt dieser wirklich auf? Das wäre theoritisch ein streng nichtlineares 
Verhalten und praktisch sicherlich von Bedeutung.
MfG
Jürgen

[dumdidum (Gast)]

Hallo,

ja, das ist etwas verwirrend geschrieben. Der Term im arcustanges geht 
gegen 0, und damit der arctg auch. Natuerlich ist tan(-180 Grad) auch 
gleich 0. D.h. es lohnt sich die urspruengliche Funktion anzusehen,d.h.

1/H(jw)= - (w/w0)^2 + ... (egal fuer grosse w)

d.h. die Funktion H(jw) geht von der negativen (x)Achse aus gegen 0, und 
damit ist der Winkel -180 Grad.

[Jürgen (Gast)]

Dankeschön, so ist es klar:)

[A. S. (rava)]

so wie ich das sehe, ist das auch eher eine Definitionsfrage: Wie 
definiert man den atan richtig?

Die Mathematiker haben dafür einfach irgendwann eine Lösung festgelegt. 
Aber in manchen Fällen ist es sinnvoller, den atan anders zu definieren, 
um Sprünge zu vermeiden.

Der Phasensprung würde nämlich implizieren, dass wenn man das System mit 
einer Sinusschwingung anregt (sweep), dass plötzlich beim passieren 
einer bestimmten Frequenz eine Periode verloren geht. Das ist aber - 
soweit ich weiß - nicht der Fall.

[Jürgen (Gast)]

Mit Sicherheit auch eine Definitionsfrage, wahrscheinlich würde für 
diese Anwendung etwas ähnliches wie atan2 (Wikipedia) passen.
Auf jeden Fall schadet es nie, sich die Ursprungsform von Real und 
Imaginärteil anzuschaun und sich das Bodediagramm durch den Kopf gehen 
zu lassen.

[A. S. (rava)]

ja ich habe jetzt bewusst nicht von atan2 gesprochen, weil der auch 
irgendwann springt.

Da hilft es auch, wenn man die Phasenlage eines Totzeitgliedes anschaut.

Da stürzt die Phase immer weiter und weiter ab. Aber statt -735° 
behauptet der atan(1,2,3) immer noch von -15°.


Allerdings tritt hier der Sprung ja innerhalb von 180° auf. Vielleicht 
ist  dumdidum's Erklärung doch besser. Ich stehe gerade etwas auf der 
Leitung, was das konkrete Problem angeht.