Elektrisches Moment bezüglich des Ursprungs - kompliziert

[Samuel (Gast)]

Hallo,

ich soll das Moment bezüglich des Ursprungs berechnen, jedoch ergeben 
sich da für mich sehr viele Unklarheiten.

Ich habe es so versucht über das DIferenzial zu machen:

$$dQ=\tau*ds = \tau * (d\vec{r_1}-d\vec{r_1})$$

$$\vec{dr_1}=dx*\vec{e_x}+dy*\vec{e_y}$$

$$\vec{dr_2}=dx*\vec{e_x}+dy*\vec{e_y}$$

Jedoch heben sich dann die beiden Komponenten weg???
Was nun??

Weiter würde ich so machen:

$$\int_1^2 \tau*\vec{ds}$$

Jedoch weiß ich nicht wie ich die Grenzen 1 und 2 darstellen soll?
Das sind ja Punkte mit x y. Heißt das ich muss 2 dumensional 
integrieren?

Bitte entschuldigt, aber wir haben solche Integrale in der VO noch nicht 
durchgenommen, daher bin ich damit ziemlich überfordert...

[Samuel (Gast)]

Ich habs immer noch nicht zusammengebracht, kann mir denn keiner helfen?
Diese ganzen d's machen mich schon so langsam verrückt...

[Plasmon (Gast)]

Ein Vorschlag:

Nennen wir mal den Anfangs- und Endpunkt der Linienladung A(x1,y1) und 
B(x2,y2). Zum Integrieren musst du die Kurve erstmal parametrisieren. 
Das ginge mit

$$\vec r(t) = \left(\begin{array}{c}x_1 \\ y_1\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}x_2-x_1 \\ y_2-y_1\end{array}\right); t\in[0,1]$$

Damit durchläufst du die Kurve mit dem Parameter t von 0 bis 1. Das 
infinitesimale Wegelement ist

$$\mathrm{d}\vec r = \frac{\mathrm{d}\vec r}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t = \left(\begin{array}{c}x_2-x_1 \\ y_2-y_1\end{array}\right)\mathrm{d}t$$

Die darin enthaltene infinitesimale Ladung ist

$$\mathrm{d}Q = \tau|\mathrm{d}\vec r| = \tau\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\mathrm{d}t$$

Das gesamte Moment erhältst du, wenn du \vec{r}dQ über die ganze 
Linienladung aufintegrierst, also

$$\vec p = \int\vec r\mathrm{d}Q = \int_0^1\left(\begin{array}{c}x_1 \\ y_1\end{array}\right) + t\left(\begin{array}{c}x_2-x_1 \\ y_2-y_1\end{array}\right) \tau\sqrt{(x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2}\mathrm{d}t$$

Bei gegebenen Punkten A und B ist die Wurzel einfach ein Zahlenwert. 
Damit hast du in beiden Komponenten eine lineare Funktion in t zu 
integrieren und das müsstest du jetzt eigentlich hinkriegen.

[Plasmon (Gast)]

Beim letzten Integral habe ich eine Klammer vergessen, nämlich um den 
gesamten Ausdruck für den Ortsvektor \vec{r}(t).

[Samuel (Gast)]

Danke sehr, hat mir sehr geholfen!