Stoßantwort aus EINgangs und AUsgangssignal berechnen

[Emanuel (Gast)]

Hallo,
ich lerne gerade für eine wichtige Klausur. Ich bin auf die Aufgabe 
gestoßen aus der eingangsgröße u und der augangsgröße y die Stoßantwort 
zu ermitteln. Das System ist zeitinvariant und linear.

Aus den Vorlesungen weiß ich die Beziehung y(t) = g(t) * u(t) wobei  * 
die auf die Faltung hindeutet. Ich weiß auch, dass die Stoßantwort g(t) 
= h'(t) ist. Nur wie komme ich allein durch die Eingangs und 
AUsgangsgrößen zu der Stoßantwort?
Ich habe versucht eine Differentialgleichung aufzustellen:

(L)u(t) = y(t)
Ich kenne aber den Differentialoperator (L) nicht und ich wüsste auch 
nicht wie ich den berechnen könnte...

Hat irgendwer auch nur den Hauch einer Ahnung wie man das berechnet?
Ich wäre jedem Hefer unendlich dankbar!!!

[Alex (Gast)]

Versuche es mal mit der Laplace-Trafo und

H(p)=Y(p)/X(p) Irgendwo befindet sich bei deinen Unterlagen noch ein 
Satz zur Differentiation im Bildbereich. D.h. da müsste so etwas 
rauskommen

g(t)=h'(t)=(-1)*t*L^(-1){H(p)}
mit * als Multiplikationszeichen und H(p) regulär

[Tobias P. (hubertus)]

Mit der Laplace-Transformation ist

Y(s) = G(s) * U(s)

wobei der Stern eine normale Multiplikation darstellt und nicht die 
Faltung.
Da du y(t) und u(t) kennst ist

G(s) = L{ y(t) } / L{ u(t) }

wobei L{ } der Laplace-Transformationsoperator ist. Und nun muss man 
noch wissen dass die Impulsantwort die inverse Laplace-Transformierte 
von G(s) ist und damit ist

g(t) = L^-1{ L{ y(t) } / L{ u(t) } }

die Gewichtsfunktion oder eben die Impulsantwort sodass dann auch

y(t) = u(t) * g(t)

ist wobei der Stern diesmal die Faltung darstellt.

Gruss

[Emanuel (Gast)]

Danke für die Antworten. Ich war die letzten Tage auf Urlaub und konnte 
daher nicht antworten.

Dieses Beispiel ist noch im ersten Kapitel und setzt keine 
Laplacetransformation voraus. Es muss also irgendwie anders gehen.

Danke für die Antworten!!

[Emanuel (Gast)]

Ich schreibe das deswegen weil die Laplace Transformierte von u diese 
hier ist:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=laplace+transform+t*heaviside%28t%29+-+%28t-t1%29*heaviside%28t-t1%29

[Tobias P. (hubertus)]

Naja, im Prinzip ist das Ausgangssignal ja die Faltung des 
Eingangssignals mit der Impulsantwort, du müsstest also eine inverse 
Faltung berechnen. Bei diskreten Systemen ist das einfach, weils eine 
Polynomdivision ist. Bei kontinuierlich wüsste ich es jetzt nicht grad 
auswendig. Aber einerlei, das rechnet man mit Laplace, ist einfacher ;-)

[Emanuel (Gast)]

Habs jetzt mit der Laplacetransformation gelöst. Es ist richtig, nur ich 
habe alle Integrale mit Wolfram ALpha gelöst. Anders war das einfach 
nicht möglich. Was mache ich aber dann bei dier Klausur?

[Tobias P. (hubertus)]

Na die Integrale musst du doch nicht rechnen. Dazu nimmt man eine 
Tabelle, genauso wie für die inverse Laplace-Trafo. Das Fourier-Mellin 
Integral möchte man wirklich nicht berechnen :-)

guck z.b. mal bei Wikipedia, da gibts eine Tabelle mit den 
Laplace-Transformierten einiger gängiger Funktionen. Und wenn du dann 
noch die Eigenschaften der Laplace-Transformation berücksichtigst, wie 
Differentiationssatz, Verschiebungssatz, Linearität usw. dann kannst du 
mit einer simplen Tabelle fast alle Funktionen Laplace-transformieren. 
Für praktische Anwendungen reicht es sogar meist wenn man ca. 4..5 
Laplace-Transformierte kennt, die kann man bald auswendig und muss nicht 
jedesmal das Integral berechnen.

[Emanuel (Gast)]

Ich kenne die Laplacetransformationsmethode. Ich möchte es aber mithilfe 
des Faltungsintegrals lösen. Angenommen
u(t) = t*H(t) - (t-t0)*H(t-t0) und
y(t) = H(t-t0) - H(t-t0-t1) wobei t1 > 0 und t0 > 0.

Da muss es doch einen Trick geben wie man das macht. Ich weiß aber nicht 
welchen.

[Emanuel (Gast)]

Ich denke ich habe jetzt eine Idee, wie es sehr einfach geht, und zwar 
hat das ein Kollege von mir so gerechnet:

Ich kenne das u(t):

$$u(t) = \frac{t}{t_1}H(t)-\frac{t-t_1}{t_1}H(t-t_1)$$

und ich kenne das y(t):

$$y(t) = H(t-t_0)-H(t-t_0-t_1)$$

Das es ein LTI System ist kann ich u und y ableiten und diese als neue 
EIngangs-Ausgangsrelation nehmen:

$$u'(t) = \frac{1}{t_1}H(t)-\frac{1}{t_1}H(t-t_1)$$

$$y'(t) = \delta(t-t_0)-\delta(t-t_0-t_1)$$

Jetzt multipliziere ich zu y' und u' jeweils die Konstante t1 dazu und 
erhalte:

$$u_{neu}(t) =H(t)-H(t-t_1)$$

$$y_{neu}(t) = t_1\delta(t-t_0)-t_1\delta(t-t_0-t_1)$$

und da das ganze Linear ist kann ich nun zuordnen welche Antwort der des 
Sprunges ist. Das Problem wovor wir hier noch stehen ist: Welches von 
den beiden sollen wir welchem Eingangssignal zuordnen? In diesem Fall 
mag es offensichtlich sein, in anderen Fällen muss das aber nicht so 
sein. Gibt es da irgendeinen Trick oder so ähnliches?