Übergang von FT zur DTFT

[Klaus (Gast)]

Hallo! Man kann die DTFT bekanntlich aus der FT herleiten. Also 
ausgehend von der FT:

$$F(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot e^{-j\omega t} dt$$

setzt man

$$t = n \cdot T$$

und nähert das Integral durch eine unendliche Summe.

Dann bekekommt man die DTFT:

$$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n\cdot T) \cdot e^{-j\omega n T}$$

Nach meinen Quellen stimmt die Formel auch so. Nun wäre aber meine 
Frage: Müßte nicht eigentlich noch der Faktor T mit der Summe 
multipliziert werden, damit das Integral durch die Summe genähert wird?

[sebi707 (Gast)]

Ich kenn das so, dass man das kontinuierliche Signal x(t) mit einem 
Delta-Kamm multipliziert um das diskrete Signal zu erhalten. Dann kann 
man statt dem Integral einfach die Summe schreiben und die Delta-Peaks 
weglassen.

Die DTFT ist damit keine Näherung des eigentlichen Integrals sondern 
exakt identisch mit dem Integral sofern das Signal aus Delta-Peaks 
zusammen gesetzt ist.

[Klaus (Gast)]

Ahh, okay. Stimmt die Herleitung dann so?

Für die mit dem Delta-Kamm abgetastete Funktion x(t) ergibt sich:

$$f(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n \cdot T) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n \cdot T) \cdot \delta(t - n \cdot T)$$

wenn man jetzt f(t) für die FT einsetzt:

$$F(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot e^{-j\omega t} dt$$

$$F(\omega) = \int \limits_{-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n \cdot T) \cdot \delta(t - n \cdot T) \right] \cdot e^{-j\omega t} dt$$

Da der geklammerte Ausdruck für alle t != n*T gleich 0 ist, kann man 
schreiben:

$$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \int \limits_{-\infty}^{\infty} x(n \cdot T) \cdot \delta(t - n \cdot T) \cdot e^{-j\omega n T} dt$$

Das Integral nimmt nur an einer einzigen Stelle bei t = n*T einen von 0 
verschiedenen Wert an, sodass ich es (samt Delta-Funktion) weglassen 
kann:

$$F(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n \cdot T) \cdot e^{-j\omega n T}$$

[Klaus (Gast)]

Wie ist das bei der Rücktransformation? Da scheitere ich noch.

Nach dem was ich habe, ist die Rücktransformation der FT:

$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int \limits_{-\infty}^{\infty} F(j\omega) \cdot e^{j\omega t} d\omega$$

Und für die DTFT:

$$x(n T) = \frac{1}{\Omega} \int \limits_{-\Omega/2}^{\Omega/2} F(e^{j\omega T}) \cdot e^{j n T \omega} d\omega$$

Insbesondere verstehe ich nicht, warum das Integral auf einmal endliche 
Grenzen haben soll mit

$$\Omega = \frac{2 \pi}{T}$$

[sebi707 (Gast)]

Meine Rücktransformation sieht etwas anderes aus aber lässt sich 
vermutlich in Deins umrechnen. Die endlichen Grenzen kommen auf jeden 
Fall daher, dass das Signal im Frequenzbereich periodisch ist wenn es im 
Zeitbereich diskret ist. (Multiplikation mit Delta-Kamm im Zeitbereich 
entspricht Faltung mit Delta-Kamm im Frequenzbereich)