N'Abend, ich suche eine Formel für eine Welle, die einmalig angeregt wird, sich ausbreitet und dabei langsam abklingt. Also im Grunde ein Querschnitt durch die Wasseroberfläche, nachdem ein Tropfen hineingefallen ist. Falls ich evtl. einfach bisher nur zu blöd war Tante Suchmaschine zu befragen, gebe ich mich natürlich auch mit den passenderen Suchbegriffen zu Frieden, oder ähnlichen Hinweisen. Ich möchte die wandelnden Wellen der "Wasseroberfläche" als Farbwert auf einem WS2812 Strip darstellen, stelle ich mir irgendwie ganz nett vor. Beste Grüße
Guten Abend, da mich die Modellierung derartiger Prozesse auch interessiert, habe ich etwas herumprobiert und eine doch stattliche Funktionsgleichung für die Frage gefunden. Für solche Angelegenheiten ist die Gleichung dann doch etwas länger. Dafür nehme ich an, dass die Reibung vom Zentrum der Anregung her ausgehend in einer Exponentialfunktion abnimmt. Bei einer mechanischen Welle, auch wenn sie abklingt, muss eine Schwingung vorhanden sein. Diese wird mit einer Sinus-Funktion erreicht: f1(x)=sin(x). Um sie abklingen zu lassen, muss sie gedämpft werden. Das geschieht mit einer Exponentialfunktion: f2(x)=e^x. Sie steigt an, weil sie sich nach rechts ausbreiten soll (siehe Diagramm in Graphen_1.png). Jetzt brauchen wir nur noch die Funktion, mit der die Amplitude in Abhängigkeit vom zurückgelegten Weg abnimmt (Verluste durch Reibung, hier exemplarisch mit der Basis 2, physikalisch stimmt es natürlich nicht): f3(x)=2^(-x). Da sich die Welle auf der Wasseroberfläche ausbreitet, muss die Funktion noch verschoben werden. Dafür wird in f2 und f3 x durch x-a*π ersetzt. a ist eine zweit Laufvariable. Am besten kann man die Gleichungen nachvollziehen, indem man einen grafikfähigen Taschenrechner oder eine Mathematiksoftware, wie EulerMathToolbox, Mathematica, Gnuplot etc. verwendet. Dabei ist bei diesem Beispiel auf die Einstellung Radiant, also Bogenmaß zu achten, es kann aber auch von Hand in Grad umgerechnet werden. Beim Zusammensetzen der Gleichung ist es von Vorteil, wenn die einzelnen Terme noch etwas modifiziert werden, deshalb taucht der Divisor 4 im zweiten Hauptterm und die Terme für die Verschiebung a*π, sowie der Faktor 2 in der Sinusfunktion auf. Für die Anwendung kann natürlich alles angepasst werden, ich habe erst einmal alles so gewählt, dass es einigermaßen passt und anschaulich aussieht. f(a;x)=[1/2^x]*[e^(x-a*π)/4]*[sin(2(x-a*π))] (Bei manchen Programmen kommt man an die e-Funktion durch exp("Argument") heran.) a ist die Verschiebevariable. Für diese setzt man am besten jeweils Werte, wie 0,1 oder so ein. Diese Variable ist die Zeit. Für jede Zeit muss also die Funktion neu berechnet werden. x ist die Laufvariable der Entfernung vom Mittelpunkt der Anregung. x ist nur in einem bestimmten Definitionsbereich gültig. Ich empfehle, eine Halbperiode rechts neben der y-Achse die Definitionsgrenze zu setzen. Diese verschiebt sich natürlich, da ja die Zeit fortschreitet und die Welle eine Strecke zurücklegt, alle anderen Stellen x sind damit ungültig (Im Diagramm mit Paint entfernt). Der Definitionsbereich muss dann je nach Anwendungsfall angepasst werden. Im Anhang ist der Graph der Funktion dargestellt für a=0 in schwarz, für a=0,25 in rot, für a=0,50 in blau und für a=1,00 in grün. Die Anregung hat bei a=0 gerade erst statt gefunden. Bei den anderen Werten für a ist die Zeit jeweils weiter fortgeschritten und damit auch ein weiterer Weg zurückgelegt worden. Man erkennt, dass das Maximum nach rechts wandert und damit eine abklingende Welle in einem See simuliert wird. In der Datei Graphen_2.png ist eine bessere Näherung für die tatsächlichen Vorgänge im See dargestellt. Die an der y-Achse gespiegelt Funktion mit cos zeigt den Querschnitt zum Zeitpunkt, als die Wellenfront sich schon ausbreitet. Um den Koordinatenursprung weichen die Kurven voneinander ab. Es ist ja auch nur ein Modell. Hier die zwei Funktionsgleichungen: rechts: f(a;x)=[1/2^x]*[e^(x-a*π)/4]*[cos(2(x-a*π))] links: f(a;x)=[2^x]*[e^(-x-a*π)/4]*[cos(2(-x-a*π))] mit a=0 im Diagramm. Die Diagramme sind mit EulerMathToolbox erstellt und mit Paint bearbeitet worden. Ich hoffe es ist alles verständlich und trotz der Länge nachvollziehbar und kurzweilig. Bei Fehlern bitte berichtigen, denn es ist schon spät :D. Mit besten Grüßen astroleopard
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