Hutfunktion - Fouriertransformierte Herleitung

[Kalle H. (hyperraider)]

Hallo zusammen,

hier gibt es bestimmt den ein oder anderen Hobbymathematiker :)

Folgendes, laut meiner Formelsammlung (Korrespondenzen) zu Fourier, 
lässt sich die Hutfunktion in folgende Fouriertransformierte wandeln:

(Sorry Latex kenne ich nicht, deswegen keine Syntax in dem Code).

Hutfunktion:

f(t) = { 1 - |t|/T im Intervall |t| < T
       { 0 sonst

Ergibt sich zu der Fourier Transformierte:

F(w) = T * sinc^2(w*T/2) |Sinc Funktion auflösen
F(w) = 4 * T * sin^2(w*T/2) / w*T^2

Wenn ich nun aber jetzt die Berechnung der Fouriertransformierte manuell 
mache, komme ich nicht auf die obige Formel, womit sich dann einige 
Fragezeichen ergeben.

Hier mein Ansatz:

F(w) = Integral (-∞ bis +∞) f(t) * e^(-jwt) dt

Bei der Hutfunktion handelt sich um eine Achssymmetrische, also Gerade 
Funktion, somit kann ich folgende Vereinfachung treffen:

F(w) = 2 * Integral (0 bis ∞) f(t) * cos(wt) dt

Grenzen und Funktion einsetzen (Das Wort Integral lasse ich mal weg):

F(w) = 2 * I[(1 - |t|/T) * cos(wt)] dt

Klammer auflösen und Intregal aufteilen:

I1=Integral, I2=Integral 2
F(w) = 2 *I1[1 * cos(wt)] dt - 2 *I2[|t|/T * cos(wt)] dt

Da wir nur im Positiven der X-Achse sind, fallen die Betragsstriche weg 
und wir vereinfachen die Integranden etwas:

F(w) = 2*1 *I1[cos(wt)] dt - (2/T) *I2[t * cos(wt)] dt

Stammfunktion bilden:

F(w) = 2 * [ 1/2w * sin(wt)] - (2/T) *[(w*t*sin(wt) + cos(wt)) / w^2]

Grenzen einsetzen und ausmultiplizieren:

Fi1(w) = [(2/w)*sin(w*T) - (2/w)*sin(w*0)] = (2/w)*sin(w*T)
-> (2/w)*sin(w*0) = 0, fällt also weg

Fi2(w) = [((2/w^2*T)*w*T*sin(w*T) + 
(2/w^2*T)*cos(w*T)) - ((2/w^2*T)*w*0*sin(w*0) + (2/w^2*T)*cos(w*0)) ]
-> (2/w^2*T)*w*0*sin(w*0) = 0, fällt also weg
-> (2/w^2*T)*cos(w*0)) = 2/w^2*T, Der Cosinus von 0 ist immer 1
-> ((2/w^2*T)*w*T*sin(w*T) = (2/w) * sin(w*T), w und T kürzen sich weg

Somit gilt für

 
Fi2(w): (2/w)*sin(w*T) + (2/w^2*T)*cos(w*T) - (2/w^2*T)

Zusammen gilt dann wieder:

F(w) = (2/w)*sin(w*T) - [(2/w)*sin(w*T) + (2/w^2*T)*cos(w*T) - (2/w^2*T)]

Minus überall reinziehen:

F(w) = (2/w)*sin(w*T) - (2/w)*sin(w*T) - (2/w^2*T)*cos(w*T) + (2/w^2*T)
-> (2/w)*sin(w*T) kürzt sich weg

Somit gilt dann:

F(w) = - (2/w^2*T)*cos(w*T) + (2/w^2*T)

Noch umdrehen

F(w) = (2/w^2*T) - (2/w^2*T)*cos(w*T)
F(w) = 2 - 2*cos(w*T) / w^2*T

Jetzt sieht man direkt eines der Sinus/Cosinus Theoreme:

2-2*cos(2x) = 4(1/2-1/2cos(2x)) = 4*sin^2(x)
(Ein paar kenne ich auswendig, wie z.B. das hier, da man damit irgendwelche Integrale mit sin^2 oder cos^2 dann schneller lösen kann)

Somit gilt:

2x = w*T -> x = w*T/2
F(w) = 4*sin^2(w*T / 2) / w^2*T

Somit habe ich folgende Formel ermittelt

F(w) = (4/w^2*T) * sin^2(w*T/2)

Jetzt ist aber laut meiner Formelsammlung, die Fourier Transformierte:

F(w) = 4 * T * sin^2(w*T/2) / w*T^2
bzw:
F(w) = T * sinc^2(w*T/2)

Jetzt frage ich mich, wo ich unterwegs das T und die 4 verloren habe?!?

Habt ihr eine Idee??

Danke euch.

Edit 1:
Den Fall w=0 habe ich jetzt erstmal nicht mitbetrachtet, nur fyi.

Edit 2:
Die 4 habe ich gefunden, natürlich habe ich das Theoreme nicht richtig 
angwendet und die 4 dort vergessen.

2-2cos(w*T)= 4*1/2(1-cos(w*T)) = 4 * sin^2(w*T/2)

Im Anhang auch meine Formelsammlung.

VG
Kalle

[Mario H. (rf-messkopf)]

Siehe Anhang, da ich zu faul bin, das jetzt noch abzutippen. Nach etwas 
Filtern ist das sogar halbwegs lesbar.

Wo Du Dich verrechnet hast, habe ich nicht geschaut.