Kleine Mathefrage aus dem Internet: 48÷2(9+3)=?

[Dicke F. (dickefinger)]

2? oder 288?

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

48÷2(9+3)=48/(2*12)=2

[Dicke F. (dickefinger)]

Die Klammern, die du da gesetzt hast, stehen in der Aufgabe nicht drin.

[Uhu U. (uhu)]

Ich würde sagen, daß das in der Schreibweise nicht eindeutig ist. Man 
weiß nicht, wie lang der "Bruchstrich" ist.

Die Mehrdeutigkeit läßt sich wohl nur durch Klammerung reparieren.

[Dicke F. (dickefinger)]

Naja, das 3(9+3) steht ja für 3*(9+2), und wenn man es so schriebe

48÷2*(9+3)

ist die Versuchung alles unter den "Bruchstrich" zu ziehen schon 
geringer, oder?

[Stefan H. (Firma: dm2sh) (stefan_helmert)]

Error: Function 2 is undefined ;)

[Uhu U. (uhu)]

Dicke Finger schrieb:
> ist die Versuchung alles unter den "Bruchstrich" zu ziehen schon
> geringer, oder?

Wenn du die Formel mit dem von dir ergänzten * in einen Taschenrechner 
eingibst, wird er den Ausdruck so klammern:

   (48÷2)*(9+3)

Aber da man deiner Überschrift nicht entnehmen kann, wie der Ausdruck 
ausgewertet wird und die von dir angegebene Form jedenfalls nicht zum 
Taschenrechner paßt, würde ich sagen, die Sache ist nicht eindeutig.

Mit Versuchungen arithmetische Formeln zu lösen, ist jedenfalls keine 
gute Idee.

[Martin K. (mkohler)]

Wolfram Alpha sagt 288
http://www.wolframalpha.com/input/?i=48%C3%B72%289%2B3%29&asynchronous=false&equal=Submit

http://de.wikipedia.org/wiki/Operatorrangfolge
http://de.wikipedia.org/wiki/Operatorassoziativit%C3%A4t

[Michael L. (michaelx)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Wenn du die Formel mit dem von dir ergänzten * in einen Taschenrechner
> eingibst, wird er den Ausdruck so klammern:
>
>    (48÷2)*(9+3)

Klingt gut, ist aber knapp daneben.

Der Taschenrechner arbeitet den Ausdruck einfach von links nach rechts 
ab. An der Klammer angekommen, wird zuerst der enthaltene Ausdruck 
berechnet, und dann das Ergebnis in die Reihe eingesetzt. Da wird nix 
geklammert.

Zurück zur Frage des OP:

Wie 48÷2(9+3) (zumindest bei (meinem) Casio) interpretiert wird, habe 
ich mal durch ein zusätzliches Klammernpaar dargestellt:

    48÷(2*(9+3))

Mathematisch gesehen ist das aber falsch, weil das Zeichen für die 
Multiplikation explizit an dieser Stelle steht, wenn kein anderes 
Zeichen (wie +,-,÷) geschrieben wird.

Also ist 288 richtig!

[Uhu U. (uhu)]

Michael L. schrieb:
> Klingt gut, ist aber knapp daneben.
>
> Der Taschenrechner arbeitet den Ausdruck einfach von links nach rechts
> ab. An der Klammer angekommen, wird zuerst der enthaltene Ausdruck
> berechnet, und dann das Ergebnis in die Reihe eingesetzt.

Mit anderen Worten: er mach implizit das, was ich mit der ersten Klammer 
eindeutig beschrieben habe.

> Da wird nix geklammert.

Klammern sind keine Rechenoperationen, sondern nur eine explizite 
Definition der Abarbeitungsreihenfolge. Eine Klammer, die die 
Reihenfolge nicht ändert, kann man weglassen, oder so oft zufügen, wie 
man lustig ist.

[Läubi .. (laeubi)]

Michael L. schrieb:
> Der Taschenrechner arbeitet den Ausdruck einfach von links
> nach rechts ab
Da würde ich mal bezweifeln viel wahrscheinlicher wird er den Ausdruck 
zuerst in ein Algorithmisch leichter Handhabbares Format bringen, 
vermutlich in ein Präfix/Postfixnotation( 
http://de.wikipedia.org/wiki/Polnische_Notation ) und dann auswerten, 
mein "virtueller" Taschenrechner (gcalc) kommt dann auf ein Ergebniss 
von 288, ebenso wie der "echte" casio fx-85v... der "rät" aber halt auch 
nicht was gemeint sein könnte sondern Wertet stumpf aus was da steht...

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

bereits DIN 1338:1996-08 weist hier auf eine Doppeldeutigkeit hin:

"4.3.2 Formeln mit nicht eindeutiger Schreibweise
Der einem schrägen Bruchstrich folgende Formelteil kann leicht 
doppeldeutig sein ...
... Da es also oft unklar ist, ob ein Nenner (oder ein Argument) weiter 
als bis zum nächsten mathematischen Zeichen reicht, ist - je nach der 
Bedeutung des Ausdrucks - entweder der ganze Bruch (die ganze Funktion) 
oder der Nenner (das Argument) einzuklammern."

Wenn möglich würde ich folglich beim Verursacher der Formel nachfragen 
was gemeint ist. Falls dies nicht möglich ist und die Herleitung der 
Formel ebenfalls nicht bekannt ist würde ich, unabhängig vom verwendeten 
Taschenrechner, wie folgt vorgehen:

48÷2(9+3) = 48÷2*(9+3) = 48÷2*12 = 24*12 = 288

Zum Glück gibt es in der Praxis noch Einheit!

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Simon K. (simon)]

LOL! Dass man dafür eine DIN Norm braucht.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

die DIN handelt ja nicht nur von dieser Problematik. Ich hätte 
vielleicht noch den Titel der Norm schreiben sollen.

DIN 1338 Formelschreibweise und Formelsatz (August 1996)

Simon K. schrieb:
> LOL! Dass man dafür eine DIN Norm braucht.

Naja, wenn ich die Diskussion hier lese scheint die Norm wohl doch 
vonnöten ;-)

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Lukas K. (carrotindustries)]

Der Hp 50g interpretiert die Eingabe

'48/2*(9+3)'

 als

$$\frac{48}{2} \cdot (9+3)$$

nach EVAL kommt dann auch 288 raus.

[Uhu U. (uhu)]

Das ändert auch nichts daran, daß die Schreibweise, die Dicke Finger uns 
präsentiert hat, nicht eindeutig ist...

[Johann L. (gjlayde)]

Ebenso wird a-b+c con links nach rechts ausgewertet, das ist ja auch 
nicht a-(b+c).

Ditta a/b*c, das ist eben nicht a/(b*c) sondern eben (a/b)*c.

Und a/2/2 ist z.B. a/4 und nicht a.

[Arc N. (arc)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Das ändert auch nichts daran, daß die Schreibweise, die Dicke Finger uns
> präsentiert hat, nicht eindeutig ist...

Der ist eindeutig, zumindest für reelle Zahlen...
48/2*(9+3)
= (9+3) * 48 / 2
= 1/2  48  (9 + 3)
= 1/2 * (9+3) * 48
= 24 * (9 + 3)
= (1/2 * 9 + 1/2 * 3) * 48
= (48 * 9 + 48 * 3) / 2
...

[Uhu U. (uhu)]

Beitrag "Re: Kleine Mathefrage aus dem Internet: 48÷2(9+3)=?"

[Michael L. (michaelx)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Mit anderen Worten: er mach implizit das, was ich mit der ersten Klammer
> eindeutig beschrieben habe.

Jein. Deine Klammern verändern die Abarbeitungsfolge des Taschenrechners 
nicht.

[Jeffrey L. (the_dude)]

Ich verstehe das Problem nicht, bzw. sehe ich da wenig Spielraum um die 
Gleichung zu lösen!

In der Grundschule habe ich gelernt dass es per definition pflicht ist 
erst den Ausdruck in der Klammer auszurechnen

Dann schreibe ich die Gleichung ohne Klammer auf!

48 / 2 * (9+3)
48 / 2 * 12
288

Wieso sollte ich nun die 12 unter den Bruchstrich schreiben, die 
Gleichung würde dann wohl anderst aussehen.

vielleicht sogar so:
48 / ( 2 * (9+3))

[Michael L. (michaelx)]

Läubi .. schrieb:
> Michael L. schrieb:
>> Der Taschenrechner arbeitet den Ausdruck einfach von links
>> nach rechts ab
> Da würde ich mal bezweifeln viel wahrscheinlicher wird er den Ausdruck
> zuerst in ein Algorithmisch leichter Handhabbares Format bringen,
> vermutlich in ein Präfix/Postfixnotation(
> http://de.wikipedia.org/wiki/Polnische_Notation ) und dann auswerten,
> mein "virtueller" Taschenrechner (gcalc) kommt dann auf ein Ergebniss
> von 288, ebenso wie der "echte" casio fx-85v... der "rät" aber halt auch
> nicht was gemeint sein könnte sondern Wertet stumpf aus was da steht...

Mal abgesehen davon, dass du mich Sinn entstellend zitiert hast, habe 
ich keine Ahnung, woher du deine Zweifel beziehst, und was das Ganze 
dann noch mit PN zu tun haben sollte.
Aus menschlicher Sicht mag es vlt. sinnvoll erscheinen, da irgendwas 
umzuformatieren. Aber so'nem Taschenrechner ist das vermutlich ebenso 
schnurz, wie den Interpretern/Compilern diverser Programmiersprachen, 
mit denen ich mich in den vielen Jahren herumschlagen durfte. Die lesen 
den Ausdruck so, wie er geschrieben steht, und entscheiden an Hand von 
Priorität und Assoziativität der Operatoren, was in welcher Reihenfolge 
zu tun ist. Dabei ist noch anzumerken, das die Assoziativität bis auf 
wenige Ausnahmen (uniäre Operatoren, Zuweisungen) für Operatoren 
gleicher Priorität praktisch immer L-R ist! Eine niedrigere Priorität 
kann man dagegen auch als eine implizite Klammerung des betreffenden 
Teilausdrucks ansehen, ohne dass die Klammern explizit geschrieben 
werden müssen. Und generell gilt, dass alle Klammern, welche die 
Abarbeitung eines Ausdrucks nicht verändern, nur der besseren Lesbarkeit 
dienen, und keinen Einfluss auf das Ergebnis haben.

[Jo O. (brause1)]

Ich glaube die Verwirrung kommt auch dadurch zustande, dass mehrere 
unterschiedliche Zeichen für die selbe Operaton verwendet werden.

Gefühlsmäßig würde ich ein fehlendes Operationszeichen (=Multiplikation) 
stärker klammern, so wie es bei Zahl und Einheit üblich ist.

ich bin nie auf die Idee gekommen, dass:
1 / 10s  = 0.1s sein könnte. Für mich wäre das immer 0,1Hz.

Auch ein (vielleicht etwas größer geschriebenes) "/" habe ich (bis 
jetzt) meist so benutzt, dass alles was rechts davon kam der Divisor 
ist.

Bei einem "÷" hätte ich das nie so gesehen.

Mir war nicht mal besonders klar, dass das extrem missverständlich ist. 
Man lernt doch nie aus.

[Sam .. (sam1994)]

Jo O. schrieb:
> 1 / 10s  = 0.1s sein könnte.

Klar da es aber eine Einheit ist und keine Variable oder Zahl.
Und deswegen: 1/10s = 0.1 * (1/s),

[Michael K. (charles_b)]

Samuel K. schrieb:
> Jo O. schrieb:
>> 1 / 10s  = 0.1s sein könnte.
>
> Klar da es aber eine Einheit ist und keine Variable oder Zahl.
> Und deswegen: 1/10s = 0.1 * (1/s),


Die Rechenregeln sagen nichts darüber aus, ob es sich um Zahlen oder 
Einheiten oder Variablen handelt. Faktor ist Faktor. Quotient ist 
Quotient.


...und was ist mit 1 / 3a

Das wäre dann a/3 ?

Der ganze Fred zeigt doch nur, dass man gefälligst Klammern setzen soll, 
damit klar wird was gemeint ist.

[Michael H. (michael_h45)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Ich würde sagen, daß das in der Schreibweise nicht eindeutig ist. Man
> weiß nicht, wie lang der "Bruchstrich" ist.
>
> Die Mehrdeutigkeit läßt sich wohl nur durch Klammerung reparieren.

Ab in die Grundschule

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Einfacher wird es wenn man die Faktoren des Zählers auch vor das 
Divisionszeichen setzt.

Richtig krass wird es wen mehrfachen Divisionen 3/(1/3) vs (3/1)/3.

Namaste

[Uhu U. (uhu)]

Michael H. schrieb:
> Ab in die Grundschule

Beitrag "Re: Kleine Mathefrage aus dem Internet: 48÷2(9+3)=?"

Selber.

[Michael H. (michael_h45)]

lächerlich...
da steht nix andres als a/b*c. division und multiplikation sind 
gleichwertige operatoren...
dafür brauchst du mehr beschreibung?

[Sam .. (sam1994)]

Michael K-punkt schrieb:
> Der ganze Fred zeigt doch nur, dass man gefälligst Klammern setzen soll,
> damit klar wird was gemeint ist.

Nix da. Bei der Mathematik gilt dasselbe wie beim Compiler. Stur die 
Regeln befolgen. Und es steht nirgendwo geschrieben, dass ein fehlendes 
* höherwertig als / ist!

[Michael H. (michael_h45)]

Ack. Wer sich für solche 9-Live Aufgaben zu dusslig anstellt, hat es 
auch nicht anders verdient.

[Uhu U. (uhu)]

Michael K-punkt schrieb:
> Der ganze Fred zeigt doch nur, dass man gefälligst Klammern setzen soll,
> damit klar wird was gemeint ist.

Genau so ist es.

Wieviele Ausdrücke in irgendwelchen Programmen haben im entscheidenden 
Moment schon versagt, weil irgend ein Schlaukopf eine Klammer 
weggelassen hat - am Ende in der Hoffnung, daß sein Elaborat dann besser 
läuft?

[Michael H. (michael_h45)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Wieviele Ausdrücke in irgendwelchen Programmen haben im entscheidenden
> Moment schon versagt, weil irgend ein Schlaukopf eine Klammer
> weggelassen
lol. schön in die falle gelaufen!
wenn die klammer tatsächlich WEGGELASSEN worden ist, warum kann jeder 
taschenrechner die aufgabe dann korrekt lösen?

bestimmt machts der pc zufällig richtig ^^

[Jo O. (brause1)]

Samuel K. schrieb:
> Nix da. Bei der Mathematik gilt dasselbe wie beim Compiler. Stur die
> Regeln befolgen. Und es steht nirgendwo geschrieben, dass ein fehlendes
> * höherwertig als / ist!

Michael H. schrieb:
> lächerlich...
> da steht nix andres als a/b*c. division und multiplikation sind
> gleichwertige operatoren...
> dafür brauchst du mehr beschreibung?

Ich seid ja mal zwei tolle Schlaumeier. Dann erklärt mir doch mal mit 
welcher Regel ihr den Müll erklärt, den WolframAlpha da ausspuckt:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=48%C3%B72m%289%2B3%29&asynchronous=false&equal=Submit
http://www.wolframalpha.com/input/?i=48%C3%B72*m*%289%2B3%29&asynchronous=false&equal=Submit
http://www.wolframalpha.com/input/?i=48%C3%B72%289%2B3%29m&asynchronous=false&equal=Submit

[Michael H. (michael_h45)]

Gib doch einfach die Formel in gleicher Semantik oder passender Syntax 
ein, dann kommt auch das richtige Ergebnis.

du hast nur gezeigt, dass du Herrn Wolfram nicht verstanden hast. Nichts 
weiter.

[Jo O. (brause1)]

Dann erkläre es mir doch bitte.

Hier noch ein Beispiel. Ein fehlendes Malzeichen ergibt ein 
völliganderes Ergebnis:

y= 48÷2*x*(9+3)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D+48%C3%B72*x*%289%2B3%29
Ergebnis: y=288x

y= 48÷2x*(9+3)
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D+48%C3%B72x*%289%2B3%29
Ergebnis: y=288/x

Einmal eine Gerade und das andere Mal eine Hyperbel.

Allem Anschein nach klammert WolframAlpha das fehlende Malzeichen.

@Michael H.
Bitte nur inhaltliche Antworten. Dass du schlauer bist als ich, habe ich 
bereits verstanden und du brauchst es nicht noch einmal zu wiederholen.

[Michael H. (michael_h45)]

Jo O. schrieb:
> Dann erkläre es mir doch bitte.
Kopier die Gleichung aus dem Betreff und erfinde keine 'm' dazu, schon 
klappt es.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=48%C3%B72%289%2B3%29
Anhang.

> Allem Anschein nach klammert WolframAlpha das fehlende Malzeichen.
Ein mal lässt du beide Operatoren weg und Wolfram rädt es zu jeweils 
einer Multiplaktion. Ein mal lässt du nur einen Operator weg - damit 
kann Wolfram dann nichts anfangen sieht die 2 als Koeffizient. Das is 
dann falsch.

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

------------------------------------------------------------------------ 
--------
Na super,

Da haben wir doch das Problem. Es geht überhaupt nicht darum wie das wo
definiert ist, sondern es geht nur darum ob man sich auf eine
einheitliche Interprtation der Definition verständigen kann. Und genau
da liegt der Haken. Das einige hier eine simple Definition heranziehen,
welche von anderen als uneindeutig interpretiert wird genügt um
aufzuzeigen, dass die Definition nicht taugt.

Nicht umsonst gibt es Bruchstriche und Klammern. Das hat mich schon zu
Schulzeiten bei den bei Lehrern so beiebten Kettenaufgaben genervt.

Man kann den Bruchstrich nicht einfach durch ein Teilungszeichen mit
schwammiger Regel ersetzen, wenn diese dann Einheiten und deren Faktoren
anders behandelt als Faktoren einer Multiplikation, ohne Probleme in der
Interpretation auszulösen.

[keine_Beleidigung]
Und an die Schlaumeier welche glauben sie hätten alles verstanden, Ihr
habt noch nicht einmal verstanden das es außer eurem Kochtopf noch eine
Welt da draußen gibt.

Das ihr genau so rechnet wie eine Maschine zeigt nur die Beaschränktheit
mit welcher ihr ein Problem betrachtet, mit dem Verstand einer Maschine
nämlich.
[/keine_Beleidigung]

[Sarkasmuß]
Deshalb auch können KKW in euren Augen nur sicher sein.
[/Sarkasmus]

Nur manchmal gilt 0,00001% > 99,99999% in der Statistik, nämlich dann,
wenn das Ereignis mit der vorherigen Wahrscheinlichkeit 0,00001% bereits
eingetreten ist. Dann nämlich ist 0,00001% zu 1,0000 mutiert, und das
vollkommen undeterminiert.

Namaste

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Das Problem bei der ganzen Geschichte ist einzig und allein, dass es
keine allgemein akzeptierte Regel zu geben scheint, in welchen Fällen
Multiplikationszeichen weggelassen werden dürfen und welche Rangfolge
zwischen den normalen und den weggelassenen Multiplikationszeichen
besteht.

Betrachtet man normale und weggelassenen Multiplikationszeichen als
gleichwertig, ist das Ergebnis des Ausdrucks ganz klar 288.

Da das Weglassen des Multiplikationszeichens die beiden Operanden näher
zusammenstellt, hat in diesem Fall die Multiplikation intuitiv einen
höheren Rang. Dieser Intuition folgend ist das Ergebnis 2.

Jo O. schrieb:
> ich bin nie auf die Idee gekommen, dass:
> 1 / 10s  = 0.1s sein könnte. Für mich wäre das immer 0,1Hz.

Aber wie würdest du

      1/10 s

interpretieren? Für mich wären das 0,1s.

Und wie sieht es mit

  1 / 10 s  oder  1/10s

aus?

Man sieht, sogar die Verteilung der Leerzeichen spielt bei der intuiti-
ven Interpretation eine Rolle. Noch etwas komplizierter wird es bei der
Typografie solcher Formeln, da hier die Leerräume zwischen den einzelnen
Zeichen auch noch unterschiedlich groß sein können.

Deswegen kann ich nur Wikipedia zitieren:

  "Bei wissenschaftlicheren Berechnungen wird der Malpunkt dann ganz
  weggelassen, wenn die Gestaltung es erlaubt und keine Verwechslungs-
  gefahr besteht."

  http://de.wikipedia.org/wiki/Malzeichen#Einfache_und_h.C3.B6here_Mathematik

Da in diesem Fall offensichtlichst allerhöchste Verwechslungsgefahr
besteht¹, ist die Schreibweise 48÷2(9+3) einfach Unfug. Ich habe eine
ähnliche Schreibweise noch nie in einem Buch oder einer anderen seriösen
Veröffentlichung gesehen. Jeder halbwegs denkfähige Mensch benutzt eine
der folgenden Schreibweisen, je nachdem, was er damit ausdrücken möchte:

      48·(9+3)÷2 = 288

      48(9+3)÷2 = 288

      48÷(2·(9+3)) = 2

      48÷(2(9+3)) = 2

        48
      —————— = 2
      2(9+3)

        48
      ——————— = 2
      2·(9+3)

oder (hässlich und deswegen weniger gebräuchlich, aber trotzdem
eindeutig):

      48÷2·(9+3) = 288

      48÷2÷(9+3) = 2

Die Diskussion hier ist vergleichbar mit der Diskussion über die
Bedeutung des Satzes

  "Ein Junggeselle ist ein Mann, dem zum Glück noch die Frau fehlt."

Obwohl der Satz grammatikalisch korrekt ist, gibt es keine festgelegte
Regel, wie er zu lesen ist.


¹) In Statistiken auf anderen Webseiten ist das Verhältnis der 2- und
   der 288-Befürworter ungefähr 1:1.

[Jo O. (brause1)]

Yalu X. schrieb:
> ...
Dem kann man eigentlich nichts hinzufügen.

Trotzdem nochmal das von Ballast befreite Beispiel von oben:

y=1/2x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1%2F2x
Ergebnis: Hyperbel mit y=1/(2*x)

y=1/2*x
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1%2F2*x
Ergebnis: Gerade mit y=X/2

Nach welcher Regel behandelt WolframAlpha die Gleichung so anders, 
obwohl nur ein Malzeichen zusätzlich drin ist?

Ich mag gar nicht darüber nachdenken, dass dieser Algorithmus 
wahrscheinlich keine Erfindung von WolframAlpha ist, sondern tausendfach 
in vielen anderen Gleichungslösern rumgeistert.
Und wer von uns könnte sich davon freisprechen, die korrekte Umsetzung 
immer gewissenhaft überprüft zu haben.

[Michael K. (charles_b)]

Wir können uns auch den Satz hernehmen, der im Rahmen der Abschaffung 
von Groß- und Kleinschreibung gerne zitiert wurde.

"helft den kleinen vögeln."

Vielleicht weiß Wolfbarth Abraham ja da auch eine Antwort was gemein 
ist...

[Simon K. (simon)]

Jo O. schrieb:
> Nach welcher Regel behandelt WolframAlpha die Gleichung so anders,
> obwohl nur ein Malzeichen zusätzlich drin ist?
>
> Ich mag gar nicht darüber nachdenken, dass dieser Algorithmus
> wahrscheinlich keine Erfindung von WolframAlpha ist, sondern tausendfach
> in vielen anderen Gleichungslösern rumgeistert.

In meinem Gehirn fehlen irgendwie die richtigen Synapsen um Aussage 1 
mit Aussage 2 zu verbinden.
Das kann doch auch ein Bug oder eine Inkonsistenz sein, die die Macher 
von Wolframalpha wissentlich oder unwissentlich einprogrammiert haben. 
Dafür muss der Code nicht von irgendwo "geklaut" sein.

Wolframalpha ist generell noch relativ neu und mit Sicherheit aus 
programmiertechnischer Sicht ein Riesenklopper.

Man könnte den Jungs ja mal eine Email schreiben.

[Lukas K. (carrotindustries)]

Wolfram alpha scheint wohl drauf ausgelegt zu sein, jede Eingabe zu 
verarbeiten, benötige es auch ein wenig Interpretation. Gnuplot z.B. ist 
das deutlich wählerischer.
Noch was: wenn man 1/2*x durch den Shunting-Yard-Algo schiebt kommt

1 2 / x *

 raus, also (1/2)*x

[Michael H. (michael_h45)]

Michael K-punkt schrieb:
> "helft den kleinen vögeln."
=)
Ist das dein Paradebeispiel für die Schüler?

Luk4s K. schrieb:
> Wolfram alpha scheint wohl drauf ausgelegt zu sein, jede Eingabe zu
> verarbeiten, benötige es auch ein wenig Interpretation. Gnuplot z.B. ist
> das deutlich wählerischer.
Genau.
Wolfram kann man auch "in Wort" fragen. Das war ja die Große Ankündigung 
damals. Wäre es ein Jahrzehnt früher fertig geworden, wäre es auch eine 
Sensation gewesen.

Wolfram gibt aber auch genau darum nicht nur ein Ergebnis aus, sondern 
gibt an, wie es die Eingabe interpretiert hat.

[I. L. (Gast)]

Was man mit so einer keinen Frage lostreten kann...



Knut

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Die Antwort ist einfach: 42! :-)

Nein, mal im Ernst: Man kann die Aufgabe ganz stur von links nach rechts 
abarbeiten, wenn man die Klammer vorher auflöst. Damit kommt da 288 
raus. Das macht nicht nur mein Kopf, sondern auch der Taschenrechner und 
auch Wolfram|Alpha, wenn man dort 48÷2*(9+3) eingibt.

Da braucht man auch nicht über Eindeutigkeit zu diskutieren. Eine Formel 
ist immer eindeutig, da es klar formulierte Rechenregeln gibt, nach 
denen man eine Formel abarbeitet.

Edit: Die Falle hier ist bewusst gelegt worden, indem der TO das 
Multiplikationszeichen weggelassen hat, so dass einem auf den ersten 
Blick sugggeriert werden soll, dass das Produkt 2(9+3) stärker bindet. 
Das ist aber nichts als eine "optische Täuschung".

[Jo O. (brause1)]

Frank M. schrieb:
> Da braucht man auch nicht über Eindeutigkeit zu diskutieren. Eine Formel
> ist immer eindeutig, da es klar formulierte Rechenregeln gibt, nach
> denen man eine Formel abarbeitet.

Wenn alles eindeutig und dir alles klar ist dann beantworte doch bitte 
meine Frage, die du hier findest:

Beitrag "Re: Kleine Mathefrage aus dem Internet: 48÷2(9+3)=?"

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Jo O. schrieb:
> Wenn alles eindeutig und dir alles klar ist dann beantworte doch bitte
> meine Frage, die du hier findest:
>
> Beitrag "Re: Kleine Mathefrage aus dem Internet: 48÷2(9+3)=?"

Das Problem sind hier die beschränkten Möglichkeiten des 
ASCII-Alphabets, um Formeln aufzuschreiben:

Die "Formel"

   y = 1/2x

ist, wenn man stur(!) ist, dasselbe wie

   y = 1/2 * x

Aber das liegt nur am ASCII-Alphabet.

Denn eigentlich meint man das:

          1
     y = ---
          2x

Und so ist die Sache direkt klar.

ASCII bietet einem keine Möglichkeit, einen langen oder einen kurzen 
Bruchstrich zu machen. Wolfram|Alpha arbeitet hier nach einer 
Konvention: Lässt man das Multiplikationszeichen weg, dann rutscht das 
2x in den Nenner. Das ist aber nur Konvention von Wolfram|Alpha, nicht 
die eines Mathematikers. Der verwendet nämlich kein ASCII, um Formeln 
aufzuschreiben ;-)

[Johann L. (gjlayde)]

Jo O. schrieb:
> Yalu X. schrieb:
>> ...
> Dem kann man eigentlich nichts hinzufügen.
>
> Trotzdem nochmal das von Ballast befreite Beispiel von oben:
>
> y=1/2x
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1%2F2x
> Ergebnis: Hyperbel mit y=1/(2*x)
>
> y=1/2*x
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1%2F2*x
> Ergebnis: Gerade mit y=X/2

Ganz unglaubwürdig wird's dann mit
y = 1/2 x das ander interpretiert wird als y = 1/2x also nur ein 
Leerzeichen(!) mehr:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%3D1%2F2+x

Aber das scheint eh ein bisschen überzuinzerpretieren:

1/x2 = 1/x²

[Simon K. (simon)]

Wolfram Alpha ist gar nicht mal übel, hab das öfter mal bei 
Klausurvorbereitung für Mathe und ähnliches benutzt um mein Ergebnis zu 
überprüfen. Einfach die Aufgabe in "Textform" eintragen, schneller gehts 
nicht.

[Jo O. (brause1)]

Johann L. schrieb:
> Ganz unglaubwürdig wird's dann mit
> y = 1/2 x das ander interpretiert wird als y = 1/2x also nur ein
> Leerzeichen(!) mehr:

Ah ... dann wird mir der Bug aber langsam erklärlich:

Wenn ich mich recht entsinne muss eine Einheit ohne Freizeichen hinter 
die Ziffern geschrieben werden.

also wird ein direkt hinter einer Zahl stehender Buchstabe als Einheit 
interpretiert und damit ist 1/10s in WolframAlpha (=Mathematica) und 
wahrscheinlich(?) auch regulär 0,1Hz.

Wenn ein Freizeichen oder ein Malzeichen dazwischen steht kann es keine 
Einheit sein. Es muss also eine Variable sein und es gelten die 
bekannten Reglen: Punkt vor Strich, rechts nach links. In WolframAlpha 
wie auch regulär. Soweit ist auch alles in Ordnung.

Das Problem taucht nun dann auf, wenn jemand die Variable ohne 
Freizeichen schreibt, dann erkennt der Interpretationsalgorithmus auf ( 
evtl. unbekannte) Einheit und dividiert durch Ziffern&Einheit. Der 
Solver bekommt von dem Fehler aber nichts mit und benutzt den Buchstaben 
dann als Variable. Und schon ist die Scheiße passiert und es kommt was 
falsches raus.

Gibts denn hier niemanden, der sich wirklich mit den "klar formulierte 
Rechenregeln" auskennt und mir sagen kann was 1/10s korrekt ist und ob 
1/10x eine gültige Schreibweise ist?
Aber bitte nicht wieder diese Schlaumeier, die alles wissen aber auf 
Nachfrage dann doch nur Müll absondern.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Mathematiker sind auf der einen Seite penibel genau, auf der anderen
Seite aber auch stinkfaul (falls hier ein paar Mathematiker mitlesen,
bitte nicht persönlich nehmen ;-)). Wo Faulheit auf Penibilität trifft,
siegt meist erstere, auf Kosten der Genauigkeit.

Gerade die Syntax der Formelsprache lässt an einigen Stellen jedem In-
formatiker die Haare zu Berge stehen. Das betrifft vor allem abgekürzte
Schreibweisen.

Beispiel 1:

Bei der doppelten Indizierung von Matrixelementen werden die Indizes
meist ohne Trennzeichen hintereinandergeschrieben:

$$\left( \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix} \right)$$

Vektorelemente werden ebenfalls indiziert, haben aber nur einen Index.
Wie kann man nun zwischen dem Matrixelement a₁₂ (a-eins-zwei) und dem
Vektorelement a₁₂ (a-zwölf) unterscheiden? Die Schreibweise ist exakt
die gleiche.

Oder was passiert, wenn die Matrix mehr als 9 Zeilen und Spalten hat?
Ist a₁₂₃ als a-zwölf-drei oder als a-eins-dreiundzwanzig zu lesen?

Ist es wirklich zuviel verlangt, doppelte Indizes generell mit einem
Komma zu trennen, um solche Mehrdeutigkeiten auszuschließen?


Beispiel 2:

Eine andere grausige Schreibweise ist

  sin² x

anstelle von

  (sin x)²

Ein Exponent hinter einem Funktionsnamen steht normalerweise für eine
Verkettung der Funktion mit sich selbst, siehe

  http://de.wikipedia.org/wiki/Komposition_%28Mathematik%29#Potenzen_.28Iteration.29

Deswegen ist eigentlich

  sin² x = sin(sin x) ≠ (sin x)²


In beiden Fällen hat man der Einsparung von einem oder zwei Zeichen die
Eindeutigkeit geopfert, die eigentlich für einen Mathematiker höchste
Priorität haben sollte.

Ähnliches wird auch bei den weggelassenen Multiplikationszeichen der
Fall sein: Man freut sich über ein eingespartes Zeichen, macht sich aber
wenig Gedanken darum, ob diese Schreibweise allgemein eindeutig ist. Hat
man das subjektive Empfinden, dass die Formel misinterpretiert werden
könnte, kann man ja immer noch mit Klammern oder einer Umstellung der
Einzelterme nachhelfen. Das setzt aber voraus, dass eine bestimmte
Schreibweise überhaupt als mehrdeutig erkannt wird. Offensichtlich ist
das nicht immer der Fall, weswegen auch Ausdrücke wie der im Thread-
Titel genannte entstehen.

Ich habe jedenfalls noch kein vollständiges (geschweige den ein voll-
ständiges und allgemein akzeptiertes) Regelwerk für die Behandlung
solcher Fälle gefunden.

Was ich aber gefunden habe, ist das Regelwerk von WolframAlpha zur
Behandlung von Einheiten in Formeln (was hier auch schon diskutiert
wurde):

  http://community.wolframalpha.com/viewtopic.php?f=32&t=73152

Demnach bindet bei 5,3l/100km das Produkt aus 100 und km stärker als die
vorangehende Division, wohingegen bei 4,8m³ die Potenz aus m und 3
stärker bindet als das Produkt.

Interessant ist in diesem Zusammenhang die Interpretation von Leerzei-
chen:

5,3l/100km ist nach WA dasselbe wie 5,3l/100 km. Im Gegensatz dazu sind
1/10s und 1/10 s zwei verschiedene Dinge. WA ist eben im Gegensatz zu
einem Compiler bestrebt, aus jeglichen Eingaben — auch schlampig
hingerotzten — die Absicht des Benutzers zu erkennen statt diesen mit
Fehlermeldungen zu nerven. Und da muss man sagen, das macht es erstaun-
lich gut.

[Michael K. (charles_b)]

Yalu X. schrieb:

> 5,3l/100km ist nach WA dasselbe wie 5,3l/100 km. Im Gegensatz dazu sind
> 1/10s und 1/10 s zwei verschiedene Dinge. WA ist eben im Gegensatz zu
> einem Compiler bestrebt, aus jeglichen Eingaben — auch schlampig
> hingerotzten — die Absicht des Benutzers zu erkennen statt diesen mit
> Fehlermeldungen zu nerven. Und da muss man sagen, das macht es erstaun-
> lich gut.

Drum sollte man solche Programmen auch nicht blindlings vertrauen und 
alles glauben was ausgespuckt wird. "Hat WA so ausgerechnet" ist 
sicherlich genauso wenig zitierfähig wie "Stand in der Zeitung" oder 
"Steht bei Wikipedia so drin" oder "Habs im Internet gelesen" oder 
"Stand heute in der BILD".

Im übrigen find ich es faszinierend, dass sich die Leute mit der als 
Problem angegebenen zumindest zweideutigen Formulierung an WA wenden. 
Ist nicht gerade ein System wie WA auf eine super-eindeutige 
Formulierung angewiesen, damit was Glaubwürdiges rauskommen kann?

[Mathias K. (mathk)]

Python 2.7.1+ (release27-maint:88666, Mar  9 2011, 10:29:21)
[GCC 4.4.5] on linux2
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> print 48/2*(9+3)
288

[Vlad T. (vlad_tepesch)]

Mathias K. schrieb:
> Python 2.7.1+ (release27-maint:88666, Mar  9 2011, 10:29:21)
> [GCC 4.4.5] on linux2
> Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>>> print 48/2*(9+3)
> 288

hast du dir überhaupt durchgelesen, worum es hier geht?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Mathias K. schrieb:
>>>> print 48/2*(9+3)
> 288

Das ist schon klar. Die schwierigere Frage ist aber, wie das Ergebnis
aussieht, wenn man das '*' weglässt. Das gibt in den meisten
Programmiersprachen einen Syntaxfehler, in der Mathematik ist die
Schreibweise aber prinzipiell erlaubt.

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Jo O. schrieb:
> Gibts denn hier niemanden, der sich wirklich mit den "klar formulierte
> Rechenregeln" auskennt und mir sagen kann was 1/10s korrekt ist und ob
> 1/10x eine gültige Schreibweise ist?

Schreibe obiges als richtige Formel auf und nicht in ASCII. Dann erkläre 
ich sie Dir. Deine ASCII-Schreibweisen sind keine Formeln, sondern 
kaputtes Zeug.

> Aber bitte nicht wieder diese Schlaumeier, die alles wissen aber auf
> Nachfrage dann doch nur Müll absondern.

Wenn Du mich damit meinst: ASCII ist nicht geeignet, um Formeln 
hinzuschreiben. Das hatte ich Dir oben bereits erklärt. Was hast Du 
davon nicht verstanden?

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Yalu X. schrieb:
> Die schwierigere Frage ist aber, wie das Ergebnis
> aussieht, wenn man das '*' weglässt.

Nein. Der Mathematiker unterscheidet nicht zwischen einem 
hingeschriebenen oder weggelassenen Multiplikationszeichen. Dadurch 
ändern sich auch keine Rechenprioritäten.

Die schwierigere Frage ist: Wie lang ist der in ASCII hingeschriebene 
Bruchstrich '/'?

[Stefanie B. (sbs)]

Frank M. schrieb:
> Die schwierigere Frage ist: Wie lang ist der in ASCII hingeschriebene
> Bruchstrich '/'?

Das kommt auf die Umgebung (OS, Programm, etc) an.

Die meisten Umgebungen die ich kenne nehmen exakt ein Term (Also 
Klammernpaar oder die Zahl/Variable, die hinter dem Bruchstrich steht)

WolframAlpha ist da wohl eine Ausnahme.

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Stefan B. schrieb:
> Frank M. schrieb:
>> Die schwierigere Frage ist: Wie lang ist der in ASCII hingeschriebene
>> Bruchstrich '/'?
>
> Das kommt auf die Umgebung (OS, Programm, etc) an.

Die ursprüngliche Frage war eine Mathematikfrage. Dafür braucht man 
keinen PC oder ein OS oder eine Programmiersprache, sondern eine Tafel, 
auf welche man die Formel kritzelt. Ein Mathematiker würde in einer 
Formel niemals ein '/' oder '÷' verwenden, sondern einen waagerechten 
Bruchstrich. Ein Term kommt darüber, ein anderer Term kommt darunter.

Daher ist die Mathematikfrage nach einer in ASCII geschriebenen "Formel" 
(die gar keine Formel, sondern Unsinn ist) hyperfluid ;-)

> Die meisten Umgebungen die ich kenne nehmen exakt ein Term (Also
> Klammernpaar oder die Zahl/Variable, die hinter dem Bruchstrich steht)
>
> WolframAlpha ist da wohl eine Ausnahme.

Man kann eine mathematische Formel in eine Programmiersprache 
übersetzen. Dafür benutzt man in der Regel ASCII. Aber das ist dann eine 
Programmanweisung und keine mathematische Formel mehr.

Wolfram|Alpha interpretiert einen in ASCII geschriebenen Term in 
irgendeiner Form, die nicht immer schlüssig ist. Aber das hat nichts mit 
Mathematik zu tun, sondern nur mit einem ASCII-Formel-Interpreter.

Die ganze Frage ist eine einzige optische Täuschung: Durch Weglassen des 
Multiplikationszeichens vor der Klammer soll dem Leser suggeriert 
werden, dass der Term 2(9+3) stärker bindet als der ASCII-Bruchstrich 
'/', der keine ausgezeichnete Länge hat.

Die Frage hätte lauten müssen:

  48
------ = ?
2(9+3)

oder

 48
---- * (9+3) = ?
  2

Dann wäre die Antwort klar.

Ein Mathematiker würde die Schreibweise 48÷2(9+3)=? niemals als Formel 
akzeptieren.

[Mathias K. (mathk)]

Vlad Tepesch schrieb:
> hast du dir überhaupt durchgelesen, worum es hier geht?

Ja, das habe ich. Und meine Antwort galt:

Michael K-punkt schrieb:
> Im übrigen find ich es faszinierend, dass sich die Leute mit der als
> Problem angegebenen zumindest zweideutigen Formulierung an WA wenden.

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Frank M. schrieb:
> Nein. Der Mathematiker unterscheidet nicht zwischen einem
> hingeschriebenen oder weggelassenen Multiplikationszeichen.

Da bin ich mer eben nicht so ganz sicher. Steht das irgendwo
geschrieben?

> Die schwierigere Frage ist: Wie lang ist der in ASCII hingeschriebene
> Bruchstrich '/'?

Das ist kein Bruchstrich, sondern ein Divisionszeichen, also ein
Operator wie auch '+', '-' und '·'. Auch Mathematiker schreiben
Divisionen nicht immer als Bruch, sondern verwenden (nicht nur in
ASCII-Texten) das Divisionszeichen insbesondere dann, wenn die Formel
einzeilig dargestellt werden soll. Als Divisionszeichen sind, je nach
Nationalität und Geschmack, '/' oder '÷', in der deutschen Grundschule
auch ':', üblich.

Die beiden Operanden der Division reichen nach links und rechts jeweils
bis zum nächsten Operator mit niedrigerem oder gleichem Rang innerhalb
derselben Klammerebene bzw. dem Anfang oder Ende des Terms. Da '·' den
gleichen Rang hat wie '÷', ist also in 48÷2·(9+3) (mit ausgeschriebenem
Multiplikationszeichen) der linker Operand 48 und der rechte 2.

Bis hierher entspricht alles dem, was ich in der Schule oder dem Studium
mehrfach gelernt habe, weswegen ich diese Information als "gefestigt"
betrachte.

Was ich nicht gelernt habe und bisher auch nirgends im Netz gefunden
habe: Hat das "unsichtbare" Multiplikationszeichen den gleiche oder
einen höheren Rang als das sichtbare? Deiner Meinung nach ist es die
gleiche, aber ich konnte eben keine Informationen darüber finden.

[Uhu U. (uhu)]

Yalu X. schrieb:
> Auch Mathematiker schreiben
> Divisionen nicht immer als Bruch, sondern verwenden (nicht nur in
> ASCII-Texten) das Divisionszeichen insbesondere dann, wenn die Formel
> einzeilig dargestellt werden soll.

Auf jeden Fall sind die zuweilen ausgesprochene Schlamper, denn was 
gemeint ist, ergibt sich doch immer ganz offensichtlich aus dem 
Kontext...

[Läubi .. (laeubi)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Yalu X. schrieb:
>> Auch Mathematiker schreiben

Also ich behaupte ein Mathematiker würde da einfach sagen
c := 48÷2(9+3)
Und entweder damit weiterrechnen oder gar nicht da konstante Ausdrücke 
aus Mathematischer Sicht eh uninteressant sind ;P

[Uhu U. (uhu)]

Was ist denn das für eine merkwürdige Zitierkultur?

[Läubi .. (laeubi)]

Uhu Uhuhu schrieb:
> Was ist denn das für eine merkwürdige Zitierkultur?
Ich wollte auf die Schlamper eingehen, habe dann aber wohl den teil des 
Zitates nicht mitkopiert, ich bitte vielmals um Entschuldigung ob der 
entstandenen Uneindeutigkeit ;)

[Frank M. (ukw) (Moderator)]

Yalu X. schrieb:
> Frank M. schrieb:
>> Nein. Der Mathematiker unterscheidet nicht zwischen einem
>> hingeschriebenen oder weggelassenen Multiplikationszeichen.
>
> Da bin ich mer eben nicht so ganz sicher. Steht das irgendwo
> geschrieben?

Die Matheprofessoren, die ich in meinen Vorlesungen hatten, haben da 
niemals unterschieden.

> Auch Mathematiker schreiben
> Divisionen nicht immer als Bruch, sondern verwenden (nicht nur in
> ASCII-Texten) das Divisionszeichen insbesondere dann, wenn die Formel
> einzeilig dargestellt werden soll.

Meine Profs haben grundsätzlich einen waagerechten Bruchstrich 
gemacht. Auf der Tafel oder auf dem Blatt Papier gibt es keine 
Notwendigkeit, eine Formel mit Division einzeilig zu schreiben. Zum 
Drucken hat man LateX oder ein anderes Satzsystem. Das '÷' kenne ich nur 
aus der Grundschule. Da waren die Terme einfacher ;-)

> Bis hierher entspricht alles dem, was ich in der Schule oder dem Studium
> mehrfach gelernt habe, weswegen ich diese Information als "gefestigt"
> betrachte.

Jepp.

> Was ich nicht gelernt habe und bisher auch nirgends im Netz gefunden
> habe: Hat das "unsichtbare" Multiplikationszeichen den gleiche oder
> einen höheren Rang als das sichtbare? Deiner Meinung nach ist es die
> gleiche, aber ich konnte eben keine Informationen darüber finden.

Wie gesagt: ich kann Dir versichern, dass es keinen Unterschied macht, 
ob man es hinschreibt oder nicht. Je nach Faulheit des Mathematikers 
steht es mal da oder auch nicht.

P.S.
Zur Faulheit der Mathematiker: Die besten sind am faulsten. Und das ist 
keine Beschimpfung, sondern eine Mathematiker-Ehre. Es gibt viele 
Mathematiker, die sich mit ihrer Faulheit brüsten. Das nennt man dann 
unter Mathematikern Eigenlob ;-)

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Frank M. schrieb:
> Meine Profs haben grundsätzlich einen waagerechten Bruchstrich
> gemacht. Auf der Tafel oder auf dem Blatt Papier gibt es keine
> Notwendigkeit, eine Formel mit Division einzeilig zu schreiben. Zum
> Drucken hat man LateX oder ein anderes Satzsystem. Das '÷' kenne ich nur
> aus der Grundschule. Da waren die Terme einfacher ;-)

so it is

und wenn es dann sein muss, weil ein Compiler / Interpreter  es nicht 
anders versteht, dann gibt es Klammern und negative Potenzen damit wird 
der Divisor zum eingeklammerten Faktor mit der Potenz -1 gemacht und 
jeder weis wo er drann ist.


48*2^-1*(9+3)
oder eben
48*(2*(9+3))^-1


je nach Kontext aber eindeutig.


Namaste

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Frank M. schrieb:
>>> Nein. Der Mathematiker unterscheidet nicht zwischen einem
>>> hingeschriebenen oder weggelassenen Multiplikationszeichen.
>>
>> Da bin ich mer eben nicht so ganz sicher. Steht das irgendwo
>> geschrieben?
>
> Die Matheprofessoren, die ich in meinen Vorlesungen hatten, haben da
> niemals unterschieden.

> Meine Profs haben grundsätzlich einen waagerechten Bruchstrich
> gemacht.

Wenn sie sowieso keine Divisionszeichen verwendet haben, spielt ja auch
die Rangfolge zwischen ausgeschriebenem und weggelassenem Multiplikati-
onszeichen keine Rolle, und jegliche Diskussion darüber erübrigt sich :)

> Auf der Tafel oder auf dem Blatt Papier gibt es keine Notwendigkeit,
> eine Formel mit Division einzeilig zu schreiben.

Brüche im laufenden Text sehen einzeilig meist besser aus, insbesondere
dann, wenn sie "hochkant" geschrieben zu dicht an die vorhergehende und
die zächste Zeile heranreichen oder gar den Zeilenabstand lokal vergrö-
ßern würden. So wird es bspw. im Bronstein gehandhabt: In freistehenden
Formeln grundsätzlich Brüche, im laufenden Text fast überall Divisionen
mit dem '/'Zeichen. Diese Divisionen sind aber immer so geschrieben,
dass keinerlei Zweifel bei der Gruppierung der Operanden aufkommen
können.

[Michael K. (charles_b)]

Mathematik ist die Kunst, Rechnen durch Denken zu ersetzen.

[Simon K. (simon)]

Michael K-punkt schrieb:
> Mathematik ist die Kunst, Rechnen durch Denken zu ersetzen.

Oder auch andersherum.

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Simon K. schrieb:
> Michael K-punkt schrieb:
>> Mathematik ist die Kunst, Rechnen durch Denken zu ersetzen.
>
> Oder auch andersherum.

nein das nennt Kybernetik

http://de.wikipedia.org/wiki/Kybernetik