Negative Frequenzen bei Transformation

[sabbel (Gast)]

Hallo zusammen. Ich bin auf dem Gebiet der SIgnalverarbeitung noch ganz 
neu und habe ein Verständnisproblem und hoffe ihr könnt mir da helfen.

Also es geht um folgendes:

Ich habe ein analytisches Signal z(t)=x(t)+j*y(t), wobei x(t) das
reelle Signal ist und y(t) die Hilbert-Transformierte dieses
Signals. Eine andere Darstellung dieses Signals ist ja
z(t)=a(t)*exp(i*p(t)), wobei a(t) die Amplitude und p(t) die Phase ist. 
Die Momentanfrequenz ist ja die Ableitung der Phase nach der Zeit.

So. Ich habe jetzt folgendes Problem. Ich habe die Funktion 
x(t)=5+sin(t) und t=0:1:100; Wenn ich das jetzt in ein analytisches 
Signal umwandel und dann die Momentanfrequenz bestimme, bekomme ich auch 
negative Frequenzen. Das verstehe ich nicht.

Es heißt doch:
Ein analytisches Signal ist ein ja ein komplexes Signal, dessen 
negativen Frequenzanteile gleich 0 sind und nur aus positiven Frequenzen 
besteht.

Kann mir jemand von euch helfen?
Gruß
sabrina

[Detlef _. (detlef_a)]

Der Grund für die 'negativen Frequenzen' ist der Offset 5 von x. Dadurch 
rotiert die Phase des analytischen Signals nicht um den Nullpunkt herum 
sondern 'hält sich immer in der rechten Halbebene auf', um mal salopp zu 
sein. Dadurch 'entstehen' dann die negativen Frequenzen, weil der Phasor 
sich eben auch zeitweise 'im Uhrzeigersinn' bewegt.

Viele Anführungszeichen, es ist keine erschöpfende Antwort auf Deine 
Frage, es hat was damit zu tun, wie die analytische Fortsetzung eines 
Signals mit 'Gleichspannungsoffset' aussieht.

Angehängt mal nen ganz gutes tutorial von Richard Lyons zu 
Qudratursignalen.

Cheers
Detlef

[chris (Gast)]

>So. Ich habe jetzt folgendes Problem. Ich habe die Funktion
>x(t)=5+sin(t) und t=0:1:100; Wenn ich das jetzt in ein analytisches
>Signal umwandel und dann die Momentanfrequenz bestimme, bekomme ich auch
>negative Frequenzen. Das verstehe ich nicht.

Wie hast Du genau die Umwandlung vorgenommenn? ( Matlab Script ? )

[Alexander L. (lippi2000)]

Die Erklärung ist leider nicht ganz so einfach.

Dein analytisches Signal ist:

$$z(t) = x(t) + j\cdot \mathcal{H}\lbrace x(t) \rbrace$$

Mit der Vorgabe x(t) = sin(t)+c ergibt sich der Imaginärteil deines 
analytischen Signals wie folgt:

$$Im\lbrace z(t)\rbrace = \mathcal{H}\lbrace sin(t)+c\rbrace = \underbrace{\mathcal{H}\lbrace sin(t) \rbrace }_{-cos(t)} + \underbrace{ \mathcal{H}\lbrace c\rbrace }_{=0}$$

Daraus ergibt sich das folgende analytische Signal:

$$z(t) = sin(t)+c -j\cdot cos(t)$$

Wird dieses nun Fouriertransformiert, dann erhält man folgendes:

$$\mathcal{F}\lbrace z(t)\rbrace = \underbrace{ \mathcal{F}\lbrace sin(t) \rbrace }_{ j\pi\cdot\left[\delta (\omega + {\omega }_0)-\delta (\omega -{\omega }_0)\right] } + \underbrace{ \mathcal{F}\lbrace c \rbrace }_{ 2\pi \cdot c \cdot\delta (\omega ) } - j\cdot \underbrace{ \mathcal{F}\lbrace cos(t) \rbrace }_{ \pi\cdot\left[ \delta (\omega + {\omega }_0) + \delta (\omega - {\omega }_0\right] }$$

Nachdem man die Klammern ausmultipliziert und entsprechend 
zusammengefast hat ergibt sich:

$$\mathcal{F}\lbrace z(t)\rbrace = -2\pi j\delta (\omega -{\omega }_0) + 2\pi\cdot c\cdot\delta (\omega )$$

Das heißt. es ergibt sich das gewünschte einseitige Spektrum des 
analytischen Signals.

Mir erschließt sich das Problem nicht ganz.

Gruß Alexander

[Alexander L. (lippi2000)]

Zu deinem Momentanwert. Die Phase des analytischen Signals ist:

$$\phi (t) = atan\left( -\frac{cos(\omega t)}{sin(\omega t)} \right) = atan\left( -\frac{1}{tan(\omega t)}\right)$$

Daraus ergibt sich für die Ableitung:

$$\frac{d \phi (t)}{dt} = \omega$$

[Alexander L. (lippi2000)]

Sorry, da hab ich doch glatt den Offset c für den Phasenwinkel 
vergessen.

$$\phi (t) = atan\left( \frac{ -cos(\omega t) }{sin(\omega t)+c } \right)$$

[sabbel (Gast)]

Hallo zusammen,

danke erstmal für eure zahlreichen antworten.

Ich habe da mal zwei Fragen.

Wie berechne ich denn die Ableitung von diskreten Werten?

Angenommen ich habe ein Signal nur als Vektor x[n], also eine 
Zahlenfolge. Wie bestimme ich dann

$$\phi(t)$$

, also ich meine jetzt wegen dem Offset. Das verstehe ich noch nicht so 
ganz. Dann  habe ich noch eine Frage.

Wie berechne ich den

$$\omega(t)$$

 bei einem diskreten Signals? Ich habe da SChwierigkeiten mit der 
diskreten Frequenzvariable k.

Vielleicht habt ihr da schonmal was in der Richtung gemacht und könnt 
mir helfen.

Gruß
Sabrina

[Frank M. (aktenasche)]

sabbel schrieb:
> Wie berechne ich denn die Ableitung von diskreten Werten?

hmmm ich bin mir grad nicht mehr ganz sicher, aber:

$$f^'(k) = f(k) - f(k-1)$$

mit

$$k \in \N$$

differenzenquotient und so ^^

[sabbel (Gast)]

Kann mir denn jemadn sagen, wie ich die negativen Frequenzen eliminieren 
kann?

[Udo S. (urschmitt)]

@Frank
Fast, Du hast gerade das deltaY berechnet, das musst du noch durch das 
deltyX teilen. DeltyX ist bei diskreten Signalen normalerweise einfach 
die Zeit zwischen den beiden Messwerten, also die Periodendauer der 
Abtastung

[sabbel (Gast)]

Naja, das habe ich ja gemacht. Ich habe eine beliebige Funktion x(t), 
die einfach ein Vektor mit n Einträgen.
Wenn ich das jetzt in ein analytisches Signal z(t) umwandel, also in 
Matlab mit: z=hilbert(x),und dann die Momentanfrequenz bestimme, bekomme 
ich negative Frequenzen.

Die Momentanfrequenz bestimme ich so:
p= unwrap(angle(z)); (Bestimmung der Phase)
mom_frequ = (diff(phase)./diff(n))/(2*pi); (Bestimmung der 
Momentanfrequenz)

Naja, und da bekomme ich unter anderem auch negative Frequenzen. Die 
Funktion x(t) ist mir nur soweit bekannt, als das ich weiß, welche 
einzelnen n-Werte in dem Vektor stehen.

Hängen die negativen Frequenzen damit zusammen, dass die Funktion x(t) 
nicht absolut symmetrisch zur Amplitudennzllinie ist? Wenn ja, welche 
Möglichkeiten habe ich, die negativen Frequenzen zu eliminieren?

[Martin K. (mkmannheim)]

sabbel schrieb:
> Amplitudennzllinie
???