Frage bei z-Transformation

[Hannes G. (elektroluchs)]

Hallo!

Ich komme bei einer Filterberechnung nicht weiter. Ich habe die 
Aufgabenstellung, meinen Lösungsansatz und das Problem, bei dem ich 
nicht weiterkomme ins pdf im Anhang gepackt.

mfg

[NopNop (Gast)]

Oben schreibst Du Nullstelle bei {-3 / 1 , 1}.
Schreibfehler?

Grüße

[Hannes G. (elektroluchs)]

Oha, ja ist ein Schreibfehler, sollte -3/2 heißen, unten bei X(z) ists 
dann richtig angeschrieben.

[NopNop (Gast)]

Hm...auf die schnelle bekomme ich es gerade auch nicht hingerückt.
Kann sein dass es in die Richtung der angehängten Korrespondenz geht.
Nur der Faktor + 1/4 im Nenner stört noch.

Dann könnte man das Ganze mit z * z^-1 erweitern und es würde auf einen 
gedämpften und verschobenen Cosinus rauslaufen.

So ähnlich sieht es auch in Matlab aus...

Grüße

[Hannes G. (elektroluchs)]

Tolle Idee! Habe jetzt in der Tabelle gesehen, dass

$$sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)\sigma[n] \Leftrightarrow \frac{z}{z^2+1}$$

 fast noch besser passt, oder?

Mir fällt jetzt auf die schnelle leider auch nicht ein, wie man das mit 
dem 1/4 hindrechseln könnte.

Das mit dem erweitern des 2ten Terms mit z*z^-1 ist auch genial!

$$\frac{1}{z^2+1}=\frac{z\cdot z^{-1}}{z^2+1}=z^{-1}\frac{z }{z^2+1} \Leftrightarrow sin\left(\frac{\pi}{2}(n-1)\right)\sigma[n-1]$$

.

Bitte korrigieren, falls ich mich vertan habe.

Auf jeden Fall großes Danke an dieser Stelle und vielleicht hat jemand 
anders oder ich noch einen Geistesblitz wegen dem 1/4.

mfg

[Hannes G. (elektroluchs)]

Ok, hatte gerade selbst einen Einfall (bzw. hab ich noch was besseres in 
meiner Tabelle entdeckt ;) ):

$$\left(\frac{1}{2}\right)^n\cdot sin\left(\frac{\pi}{2}n\right)\sigma[n] \Leftrightarrow \frac{1}{2}\frac{z}{z^2+\frac{1}{4}}$$

Danke an NopNop fürs auf die richtige Spur bringen, und vielleicht muss 
ich mich noch einmal melden, das Bsp. geht nämlich noch weiter...

[NopNop (Gast)]

Stefan H. schrieb:
> Das mit dem erweitern des 2ten Terms mit z*z^-1 ist auch genial!
Das müsste so passen mit der Verschiebung. Das Problem ist halt das 1/4 
im Nenner. Theoretisch würde ich ja sagen man teilt alles durch 4, dann 
ist aber auch z/4 im Nenner...

Ich denke mal man kommt da irgendwie durch die Eigenschaften der 
Z-Transformation weiter. Siehe Bild "Komplex.png" im Anhang.
Wie bei dem Beispiel-Korrespondenz was da noch mit drin ist.


Was mir gerade eben noch einfällt...vielleicht ist das Problem auch 
komplexer (Wortspiel).
Man könnte den Partialbruch ja auch wie im Bild "Komplex.png" auflösen 
und dann in Polardarstellung schreiben. Also Betrag mal e hoch j Phase.
Das könnte man dann vielleicht über trigonometrische Umformung in 
Sinüsse und Cosinüsse darstellen. Mit etwas Glück kürzt sich da was raus 
oder kann geschickt erweitern und man bekommt eine Umformung in den 
Zeitbereich laut Korrespondenzentabelle!?

Keine Ahnung ob das passt was ich sage...sind jetzt halt mal ein paar 
Ideen von mir wo ich versuchen würde.

Grüße

[NopNop (Gast)]

Ok...null problemo...bin jetzt dann allerdings weg.

[NopNop (Gast)]

NopNop schrieb:
> Ich denke mal man kommt da irgendwie durch die Eigenschaften der
> Z-Transformation weiter. Siehe Bild "Komplex.png" im Anhang.
> Wie bei dem Beispiel-Korrespondenz was da noch mit drin ist.

Meinte natürlich "Eigenschaften.png"...

[Random .. (thorstendb)]

bei sowas freut sich der Greasemonkey für FireFox :-)

[NopNop (Gast)]

Random ... schrieb:
> bei sowas freut sich der Greasemonkey für FireFox :-)

In wie fern?

[Alexander L. (lippi2000)]

Wäre dies ein Ansatz?

$$2\frac{1}{z^2+\frac{1}{4}}= 8z^{-1}\cdot\frac{z}{4z^2+1}=8z^{-1}\cdot\frac{z}{ {\left( \frac{z}{0.5}\right) }^2+1 } = 16z^{-1}\cdot\frac{ \left( \frac{z}{0.5}\right) }{ {\left( \frac{z}{0.5}\right) }^2+1 }$$

Jetzt müsste dies doch über den Ähnlichkeitssatz

$$Z\lbrace a^n\cdot f(nT)\rbrace = f\left[ \frac{z}{a}\right]$$

mit a = 0.5 zu lösen sein.

$$2\frac{1}{z^2+\frac{1}{4}} \Leftrightarrow 16\cdot 0.5^n\cdot sin\left( n\frac{\pi }{2}\right) \cdot \sigma (n)$$

Gruß Alexander

[Alexander L. (lippi2000)]

Sorry, habe die Verschiebung vergessen:

$$2\frac{1}{z^2+\frac{1}{4}} \Leftrightarrow 16\cdot 0.5^{n-1}\cdot sin\left( (n-1)\frac{\pi }{2}\right)\cdot \sigma (n-1)$$

So sollte es passen.

[Hannes G. (elektroluchs)]

Danke für die tolle Unterstützung, habe das Bsp. geschafft!