Probleme bei Analysis Aufgabe

[Kurt T. (kurtisblow)]

Hallo, ich habe Schwierigkeiten die Aufgabe im Anhang zu lösen.
Was ich bisher herausgefunden habe:

Die Reihe in f konvergiert absolut für alle z € C\Z, daraus folgt, dass 
f stetig ist. Ausserdem gilt:

f(z) = 1/z + Summe aus ((1/z-n) + (1/z+n)) (für n=1 => unendlich) = 
f(z+1)

Kann mir Jemand noch weiterhelfen?

mfg Hans

[Johann L. (gjlayde)]

hä? Was hat das mit der obigen Aufgabe zu tun?

[Diode E. (c2h5oh)]

Also das Bsp im Bild würde ich mit dem Zwischenwertsatz anpacken. Mach 
eine Funktion g(x) = f(x) - f(x+1/2) und suche nach einer Nullstelle in 
dem du für x einmal 0 und einmal 1/2 einsetzt.

[Michael K. (charles_b)]

Mir leuchtet die Behauptung auch nicht ein. Es wird ja gesagt, dass es 
mindestens einen Funktionswert gibt f(c), der genau bei c+1/2 noch 
einmal angenommen wird.

Anbei ne Hand-Skizze von ner Funktion, für die das nicht zutrifft.

[Christian L. (cyan)]

Michael K-punkt schrieb:

> Mir leuchtet die Behauptung auch nicht ein. Es wird ja gesagt, dass es
> mindestens einen Funktionswert gibt f(c), der genau bei c+1/2 noch
> einmal angenommen wird.

Die Behauptung ist korrekt. Man kann sich auch relativ einfach 
vorstellen, dass sie gilt. Allerdings mathematisch einwandfrei zu 
Belegen, naja, das finde ich nicht ganz so einfach. Versuchen würde ich 
es mit dem Zwischenwertsatz und der Intervallhalbierungsmethode. Ich 
denke, das es darauf hinaus läuft.

> Anbei ne Hand-Skizze von ner Funktion, für die das nicht zutrifft.

Das ist falsch. Siehe Gegenbeweis (die beiden roten Punkte mit Abstand 
1/2 und gleichem Funktionswert).

LG Christian

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Christian L. schrieb:
> Allerdings mathematisch einwandfrei zu Belegen, naja, das finde ich
> nicht ganz so einfach.

Aber auch nicht ganz so schwer :) Den entscheidenden Hinweis hat ja oben
Diode E. schon gegeben.

Fragt sich nur, ob Hans tatsächlich die Lösung zu dieser Aufgabe gesucht
hat. Die Diskrepanz zwischen der Aufgabe und seinem Lösungsansatz ent-
lockte Johann doch glatt ein "hä?".

[Michael K. (charles_b)]

Christian L. schrieb:

>> Anbei ne Hand-Skizze von ner Funktion, für die das nicht zutrifft.
>
> Das ist falsch. Siehe Gegenbeweis (die beiden roten Punkte mit Abstand
> 1/2 und gleichem Funktionswert).
>
> LG Christian

Stimmt. Was ist mit der roten und grünen Funktion? Da seh ich den 
gleichen Funktionswert nicht so leicht.

[Christian L. (cyan)]

Michael K-punkt schrieb:
> Stimmt. Was ist mit der roten und grünen Funktion? Da seh ich den
> gleichen Funktionswert nicht so leicht.

Aber auch da klappt es. Gerade der negative Sinus Verlauf der grünen 
Funktion ist einfach. Es existieren sogar zwei c, die die Aufgabe 
erfüllen. Den zweiten habe allerdings jetzt nicht eingezeichnet.

LG Christian

[Michael K. (charles_b)]

Christian L. schrieb:
> Michael K-punkt schrieb:
>> Stimmt. Was ist mit der roten und grünen Funktion? Da seh ich den
>> gleichen Funktionswert nicht so leicht.
>
> Aber auch da klappt es. Gerade der negative Sinus Verlauf der grünen
> Funktion ist einfach. Es existieren sogar zwei c, die die Aufgabe
> erfüllen. Den zweiten habe allerdings jetzt nicht eingezeichnet.
>
> LG Christian

Macht mich jetzt stutzig. Was ist wenn der Sinus so verläuft dass er für 
x<=0,5 NEGATIV ist und danach positiv? => Dann hätten wir die 0 als 
doppelten Wert... Also auch wieder nix.

Was ist, wenn der Sinus bis x = 0,6 negativ ist? => Dann hätten wir nen 
passenden Wert bei x im Bereich von 0,1.

Aber dass beide Punkte jeweils 0,5 voneinander entfernt sein sollen ist 
ja schon ne verblüffende Sache bzw. Behauptung.

Hm, grübel grübel - aber nen BEWEIS....?

[Christian L. (cyan)]

Michael K-punkt schrieb:
> Macht mich jetzt stutzig. Was ist wenn der Sinus so verläuft dass er für
> x<=0,5 NEGATIV ist und danach positiv? => Dann hätten wir die 0 als
> doppelten Wert... Also auch wieder nix.

Wieso nicht? Es heißt doch:
>Beweisen Sie , dass ein c €[0,1] mit f(c)=f(c+1/2) existiert.
Genau das wurde doch bewiesen. Es wird ja nirgenswo ausgeschlossen, dass 
es noch weitere cs gibt. Allerdings finde ich die Frage was das angeht 
nicht sehr gut gestellt ist. Bei mir im Studium waren die fragen eher so 
formuliert: Beweisen Sie, dass es genau ein c € ... oder: Beweisen Sie, 
dass mindestens ein c € ... .

> Was ist, wenn der Sinus bis x = 0,6 negativ ist? => Dann hätten wir nen
> passenden Wert bei x im Bereich von 0,1.

> Aber dass beide Punkte jeweils 0,5 voneinander entfernt sein sollen ist
> ja schon ne verblüffende Sache bzw. Behauptung.

Du meinst so wie im Anhang?

LG Christian

[Michael H. (michael_h45)]

f(x) = 1
=)

[Michael K. (charles_b)]

Christian L. schrieb:
 bzw. Behauptung.
>
> Du meinst so wie im Anhang?
>
> LG Christian

Ja, so wie wir es bei allen Gegen-Versuchen ja jetzt festgestellt haben.

Irre!

[Michael H. (michael_h45)]

eigentlich wollte ich noch editieren: die lösung würde mich allerdings 
auch interessieren.

[Johann L. (gjlayde)]

Sofern es um die Aufgabe im Bildchen geht:

Definiere

$$\begin{align} g:[0,1/2] &\to \R\\ x & \mapsto f(x)-f(1/2+x) \end{align}$$

Wegen

$$\begin{align} g(0) &= f(0) - f(1/2)\\ g(1/2) &= f(1/2) - f(1) = -g(0) \end{align}$$

und da g stetig ist, ist es irgendwo im Intervall [0, 1/2] gleich 0.

Denn: Es ist g(0) = 0 und wenn nicht, hat g einen Vorzeichenwechsel und 
wegen der Stetigkeit muss g dann an mindestens einer Stelle c € [0,1/2] 
den Wert 0 annehmen.

Mit g(c) = 0 ist dann 0 = f(c) - f(1/2 + c)

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Weil's doch für einige interessant zu sein scheint, habe ich hier mal
eine Begründung und (etwas ausführlicher) einen Beweis aufgeschrieben:


Anschauliche Begründung (s. Anhang):

Das linke Bild zeigt die stetige Funktion f mit f(0) = f(1).

Diese Funktion wird an x=½ in zwei Hälften geteilt (mittleres Bild).

Die rechte Hälfte wird um ½ nach links verschoben (rechtes Bild). Die
linke und die verschobene rechte Hälfte müssen sich in (mindestens)
einem Punkt schneiden, da f stetig ist und die Funktionswerte der
Endpunkte der beiden Kurven gleich, aber vertauscht sind.

Die x-Koordinate des Schnittpunkts ist das gesuchte c. Falls mehrere
Schnittpunkte existieren, gibt es auch mehrere Lösungen für c.


Und hier der (hoffentlich) formal korrekte Beweis:

Es sei

  g(x) = f(x) - f(x + ½)  für x ∈ [0, ½]   (1)

Da die beiden Summanden im gesamten Definitionsbereich stetig sind, ist
g ebenfalls stetig.

Durch Einsetzen von x = 0 und x = ½ erhält man

  g(0) = f(0) - f(½)

und

  g(½) = f(½) - f(1)
       = f(½) - f(0)   (wegen f(1)=f(0))
       = -g(0)

Einer dieser beiden Randwerte g(0) und g(½) ist also positiv (=|g(0)|),
der andere ist negativ (=-|g(0)|).

Wegen der Stetigkeit von g existiert nach dem Zwischenwertsatz zu jedem
u ∈ [-|g(0)|, |g(0)|] ein c ∈ [0, ½] mit g(c) = u.

  http://de.wikipedia.org/wiki/Zwischenwertsatz

Da auch 0 ∈ [-|g(0)|, |g(0)|], existiert somit ein c mit g(c) = 0. Setzt
man dieses c in Gleichung 1 ein, erhält man

  g(c) = f(c) - f(c + ½)  =>  0 = f(c) - f(c + ½)  =>  f(c) = f(c + ½),

was zu zeigen war.


Mist, Johann war schneller :)

[Johann L. (gjlayde)]

Hans Lüthi schrieb:

> f(z) = 1/z + Summe aus ((1/z-n) + (1/z+n)) (für n=1 => unendlich) =
> f(z+1)

Das ist falsch geklammert, oder? Soll wohl heissen:

$$f(z) = \frac1z + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac1{z-n} + \frac1{z+n}\right)$$

Erinnert irgendwie an Weierstraß-p (℘)