Ich habe ein paar grundlegende Verständnisprobleme zur Übertragungsfunktion: Bei Wikipedia steht: "Die Ausgangsgröße y(t) eines dynamischen Übertragungssystems mit konzentrierten oder verteilten Energiespeichern ist abhängig von den Systemeigenschaften und von der gegebenen Eingangsgröße u(t)." Was ist denn ein dynamisches Übertragungsystem? Mein Problem mit dem Satz: Wenn ich z.B. einen Tiefpassfilter habe, dann ist die Ausgangsspannung nicht nur abhängig von der aktuellen Eingangsspannung, sondern auch von der Vergangenheit, also den vorhergegangenen Eingangsspannungen. Nun arbeitet man aus irgendwelchen Gründen (mathematische Eleganz, bessere Sichtbarkeit der Eigenschaften?) gerne mit der Übertragungsfunktion eines Systems. Dabei arbeitet man nicht im Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich. Die Übertragungsfunktion ist definiert als G(s)=Y(s)/U(s) mit s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme ich an) U(s) = Laplacetransformierte der Eingangsgröße Y(s) = Laplacetransformierte der Ausgangsgröße Das System ist nun definiert durch die komplexe Funktion G(s). Man steckt eine komplexe Funktion U(s) rein und bekommt eine komplexe Funktion Y(s) heraus. Was muss ich mir darunter vorstellen? Welche Information steckt in diesem U(s)? Was mich irritiert: Der "Ausgangswert" Y(s) hängt nur vom Eingangswert U(s) ab, aber nicht von den vorhergegangenen U(s). Wie kann das gehen? Beschreibt das U(s), wenn man es rücktransformiert, einen vollständigen Signalverlauf?
Thomas schrieb: > Was ist denn ein dynamisches Übertragungsystem? Zitat von Wikipedia: "Unter einem (deterministischen) dynamischen System versteht man das mathematische Modell eines zeitabhängigen Prozesses, der homogen bezüglich der Zeit ist, also dessen Verlauf zwar vom Anfangszustand, aber nicht vom Anfangszeitpunkt abhängt" Thomas schrieb: > Nun arbeitet man aus irgendwelchen Gründen (mathematische Eleganz, > bessere Sichtbarkeit der Eigenschaften?) gerne mit der > Übertragungsfunktion eines Systems Dadurch lassen sich Systeme recht einfach beschreiben undauch berechnen Thomas schrieb: > s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme > ich an) Nein,, das soll nur heißen, das s eine Kompleze zahl sein kann, das hat nichts mit Frequenz und Phase zu tun. Guck dir mal an, wie man Komplexe darstellt, dann sollte es klarer werden. Thomas schrieb: > Das System ist nun definiert durch die komplexe Funktion G(s). Man > steckt eine komplexe Funktion U(s) rein und bekommt eine komplexe > Funktion Y(s) heraus. Was muss ich mir darunter vorstellen? Welche > Information steckt in diesem U(s)? Es gilt ganz allgemein: Y(s)=G(s)*U(s) (im Zeitbereich entspräche dies einer Faltung, was das ganze viel komplizierter macht). G(s) ist anschaulich die Impulsantwort des Systems (Laplacetransformierte vom Dirac-Impuls ist 1)
Die Systemeigenschaften eines dynamischen Systems können durch die Übertragungsfunktion beschreiben werden. (Beim Tiefpass durch R und C sowie deren konkrete Verschaltung.) Die Systemeigenschaften, also R und C und wie R und C verschaltet sind hängen nicht vom Eingang und vom Ausgang ab. So wie ein Auto ein Auto ein Auto bleibt ob es gefahren wird oder nicht, ob es in DE steht oder in RU. Die Systemeigenschaft ist Auto.
astroscout schrieb: >> Das System ist nun definiert durch die komplexe Funktion G(s). Man >> steckt eine komplexe Funktion U(s) rein und bekommt eine komplexe >> Funktion Y(s) heraus. Was muss ich mir darunter vorstellen? Welche >> Information steckt in diesem U(s)? > Es gilt ganz allgemein: Y(s)=G(s)*U(s) (im Zeitbereich entspräche dies > einer Faltung, was das ganze viel komplizierter macht). G(s) ist > anschaulich die Impulsantwort des Systems (Laplacetransformierte vom > Dirac-Impuls ist 1) Also ist es so, dass in dem U(s) ein gesamter Signalverlauf steckt? Wenn ich wissen will, was mein System aus einem bestimmten Signalverlauf macht, dann Laplace-transformiere ich diesen Signalverlauf und multipliziere ihn mit G(s)?
> Also ist es so, dass in dem U(s) ein gesamter Signalverlauf steckt? ja, dein U(s) die Laplacetransformierte des Eingangssignals und enthält alle sozusagen das Gesamte Eingangssignal (sonst könntest du es ja nicht zurück in den Zeitbereich tranfomieren) Thomas schrieb: > Wenn > ich wissen will, was mein System aus einem bestimmten Signalverlauf > macht, dann Laplace-transformiere ich diesen Signalverlauf und > multipliziere ihn mit G(s)? korrekt, dann hast du die Laplacetransformierte des Ausgangssignals, die du dann wieder in den Zeitbereich zurücktransfomieren kannst und du hast wieder dein Ausgangssignal, das sind zwar mehr rechenschritte als das ganze direkt durch eine Faltung im Zeitbereich zu machen, ist aber viel einfacher
astroscout schrieb: > ja, dein U(s) die Laplacetransformierte des Eingangssignals und enthält > alle sozusagen das Gesamte Eingangssignal (sonst könntest du es ja nicht > zurück in den Zeitbereich tranfomieren) OK danke. Das ist wohl selbstverständlich, aber irgendwie hatte ich da die ganze Zeit eine falsche Vorstellung im Kopf. Wenn ich nun mit z.B. SIMULINK was simuliere, dann sind die Filter beschriftet mit den Übertragungsfunktionen. Wird damit dann auch tatsächlich intern gerechnet? Oder geschieht die Simulation im Zeitbereich? Ich nehme an im Zeitbereich, denn wenn ich z.B. eine Rückkopplung einbaue, dann kenne ich das vollständige Eingangssignal ja nicht mehr im vorraus.
Thomas schrieb: > Dabei arbeitet man nicht im > Zeitbereich, sondern im Frequenzbereich. Die Übertragungsfunktion ist > definiert als G(s)=Y(s)/U(s) mit > s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme > ich an) Falsch. s ist zu verstehen als "Komplexe Frequenz". > U(s) = Laplacetransformierte der Eingangsgröße > Y(s) = Laplacetransformierte der Ausgangsgröße Kann man so sagen. Eine sauberere Definition wäre aber G(s) = Z(s)/N(s). Dies besagt bloss das die Übertragungsfunktion aus einem Zählerpolynom Z(s) und einem Nennerpolynom N(s) besteht. DAs mit U und Y ergiebt sich aus einer Regel der Laplacetrasformierten (kommt später). Die Ausgangsfunktion Y(s) ergiebt sich dann bei gegebener Eingagsfunktions U(s) zu Y(s) = G(s) * U(s) Dies ist eine der Grundlegenden Eigenschaften (und mit eine der wichtigsten) der Laplacetransformierten. Anstelle einer Faltung im zeitbereich kann man einfach im Bildbereich multipilizieren. Thomas schrieb: > Was muss ich mir darunter vorstellen? Nehmen wir als Beispiel dafür deinen Tiefpass. Wenn du diesen mit einem Dirac-impuls (Nadelförmiger Impuls mit theoretisch unendlicher Höhe und unendlicher kurzer Dauer) anregst erhältst du einen Sprung der dann exponentiell abfält, im foglenden als g(t) bezeichnet. Du kannst nun jede beliebige zeitliche Funktion am Eignang als aneinanderreihung solcher Dirac-impulse mit bestimmter Höhe darstellen (aufteilung in Einzelstücke). Am Ausgang überlagern sich dann die vielen E-förmigern Ausgangsfunktionen g(t), g(t-t1), g(t-t2), etc. zu deiner Gesamtfunktion. Soweit klar? Diese Aneinanderreihung einzelner Funktionen kann man auch as Faltung verstehen (für genauere Erklärugn der Faltung bitte selber informieren oder nochmal nachfragen) Dein G(s) ist nun nichts weiteres als eine andere Beschreibung dieser abfallenden E-Funktion (nicht im Zeitbereich, sondern eben im Bildbereich der Laplacetransformation). dadurch ergeben sich einige vereinfachungen beim Rechnen. Thomas schrieb: > Welche > Information steckt in diesem U(s)? U(s) ist die Laplacetransformierte deines Eingangssignales u(t). Dieses nimmt man in der Regel als endliches Signal das nicht periodisch ist an. Du beschreibst also deinen gesamten zeitlichen Verlauf auf andere Weise. Thomas schrieb: > Wie kann das gehen? Dies ist eine Vereinfachung die man immer trifft damit man es von Hand rechnen kann. Man nimmt an dass das System "Gedächtnis"-frei ist. Dies bedeutet dass das Verhalten des Systems (in unserem Falle seine Übertragungsfunktion) nicht von vergangenen Ereignissen abhängig ist. Thomas schrieb: > Beschreibt das U(s), wenn man es rücktransformiert, einen vollständigen > Signalverlauf? Ja, es beschreibt deinen kompletten Signalverlauf in einer anderen Form.
Wie intern gerechnet wird, kann ich dir leider nicht sagen Thomas schrieb: > Ich nehme an im Zeitbereich, denn wenn ich z.B. eine Rückkopplung > einbaue, dann kenne ich das vollständige Eingangssignal ja nicht mehr im > vorraus. Für eine Rückkopllung kannst du aber auch eine Übetragungsfunktion definieren, guck mal hier, bei Störverhalten eines Regelkreises, da sollte es denke ich deutlich werden: http://de.wikipedia.org/wiki/Regelkreis
astroscout schrieb: >> s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme >> ich an) > Nein,, das soll nur heißen, das s eine Kompleze zahl sein kann, das hat > nichts mit Frequenz und Phase zu tun. Guck dir mal an, wie man Komplexe > darstellt, dann sollte es klarer werden. Albert ... schrieb: >> s = delta + i*omega (omega ist die Frequenz und delta die Phase nehme >> ich an) > Falsch. s ist zu verstehen als "Komplexe Frequenz". D.h. der Betrag von s ist die Frequenz? Danke Albert für die schöne Erklärung. Ich denke ich habs jetzt intuitiv begriffen. Es würde mich trotzdem noch interessieren ob SIMULINK im Zeitbereich rechnet oder nicht.
Thomas schrieb: > D.h. der Betrag von s ist die Frequenz? Das stimmt auch nicht. S ist ein Mathematisches Konstrukt das zum einen die Schwingfrequenz an sich und die Hüllkurve einer Schwingung beschreibt. Nehmen wir als Beispiel eine abklingende E-Funktion innerhalb dieser eine Sinusschwingung liegt (die Amplitude dieser Sinusschwingung nimmt also Exponentiell ab). So beschreibt
in einer Funktion der Form
eine Sinusschwingung der Kreisfrequenz omega mit exponentiell abklingender Amplitude (durch den Faktor delta). Siehe dazu folgenden buchabschnitt: http://books.google.de/books?id=FJsz01_i_qwC&pg=PA42&lpg=PA42&dq=komplexe+frequenz&source=bl&ots=44PmJRlHsz&sig=x2NBTrvIKKxzU82PVMLwh3q9kxo&hl=de&ei=2lfSTvilMMyQsAb6iuHmDA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=5&ved=0CE0Q6AEwBA#v=onepage&q=komplexe%20frequenz&f=false
Eine Uebertragungsfunktion basiert auf verschiedenen Voraussetzungen. Das System ist linear. Das bedeutet : Sei Out:=U(In); dann ist a*Out:=U(a*In); mit a aus R Das System ist invariant und ohne Vorgeschichte. Die einfachste Interpretation ist, dass die Uebertragungsfunktion der Graph des Spektumanalyzer auf einen Sweep-Eingang ist.
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