Hey Leute, ich hänge schon etwas länger an der Lösung der
Wellengleichung für eine Kugelwelle.
Als Grundansatz verwende ich die Wellengleichung in Kugelkoordinaten:
Als nächstes führe ich Phasoren ein:
Des weiteren gilt:
Mit der Wellenzahl
ergibt sich die Wellengleichung wie folgt:
Da die elektrische Feldgröße einer Kugelwelle nur von ihrem Abstand r
abhängig ist, reduziert sich der Laplace-Operator wie folgt:
Eingesetzt in die Wellengleichung ergibt sich diese für eine Kugelwelle
wie folgt:
??? Wie kann ich diese Differentialgleichung lösen???
Ich habe zunächst gesagt es handelt sich um eine homogene DGL 2.Ordnung,
die sich auf ein DGL-System mit DGL's 1.Ordnung zurückführen lässt.
Hierzu habe ich wie folgt substituiert:
Die DGL wird erst einmal umgeschrieben:
Das DGL-System folgt nun:
Die Lösung des DGL-Systems stellen die Eigenwerte der
Koeffizientenmatrix A dar. Es gilt:
Die Eigenwerte sind demnach:
Die Lösung ergibt sich durch Einsetzen der Eigenwerte:
Das kann unmöglich die Lösung der Wellengleichung sein???????
Kann mir jemand an dieser Stelle weiterhelfen?
Grüße Alexander
Ich glaube mich aus den Studium erinnern zu koennen, dass eine
Kugelwelle nicht existiert. Sie haette den E vektor parallel zum k
vektor. Waere also longitudinal polarisiert. Dazu muesste man ein
Punktladung haben, die das Vorzeichen periodisch wechselt
Ach, das freut mich doch, dass sich da jemand reinbeissen will. Und die
Idee mit den DGL-System ist zwar falsch, aber hat Charme. Also sehen wir
es mal an: die Wellengleichung ist fast richtig, ganz richtig ist
also ein blöder Vorzeichenfehler. Der Ansatz mit dem Phasor führt dann
auf
und in Kugelkoordinaten bekommt man
Das Umschreiben in ein DGL-System kann man zwar ausprobieren, hilft hier
aber nicht: in der Matrix des DGL-Systems steht ja noch das r drin.
Deshalb geht der verwegene Trick mit den Eigenwert nicht: die Eigenwerte
wären ja auch noch r-abhängig. Obwohl: ich habe nicht ausprobiert ob
dein e-Funktionsansatz mit dem Lambda die Wellengleichung nicht doch
löst, aber das probiere ich heute nicht mehr aus.
Wenn du aber mit dem Lösungsansatz
in die Kugelkordinaten-DGL reingehst und alles richtig differenzierst,
kommt Null=Null raus: der Ansatz löst die Gleichung. Die Betonung liegt
auf "alles richtig", ich habe mir das eben von Maxima durchrechnen
lassen, die Zwischenschritte sind ganz schön länglich für eine so
einfach aussehende Aufgabe.
Viel Spass beim Differenzieren
Icke
P.S.: In der Vorschau sehe ich den Mathmodus nicht, mal sehen, wie das
wird.
Separationsansatz: E(x,y,z,t) = g(r) h(t)
Laplace g(r) h(t) - 1/c^2 h_tt g(r) = 0
führt auf
(*) (Laplace g(r))/g(r) = k^2 = h_tt/h/c^2
Also h(t) = A exp(k c t ) + B exp(-k c t)
Weiter ist
Laplace g(r) = d^2g/dr^2 + 2/r dg/dr
Also (*) links:
d^2g/dr^2 + 2/r dg/dr - k^2 g(r) = 0
Substituiert man g(r) = h(r)/r, so entsteht
h''(r) = k^2 h(r)
also h(r) = A exp(k r) + B exp(-k r)
also g(r) = A exp(k r)/r + B exp(-k r)/r
Eine Lösungsbasis ist also a_k = exp(+/-k c t +/- k r)/r
Die allgemeine Lösung ist eine lineare Superposition dieser
Kugelmoden,
E = \sum_k E_k a_k
Die Wahl der konstanten Vektoren E_k ist durch die (zeitlich, räumlich)
veränderlichen Randbedingungen festgelegt. Die Bestimmung der E_k ist
dabei natürlich die eigentliche Kunst.
(Damit k^2 < 0 werden kann, müssen auch k=sqrt(-1) k' berücksichtigt
werden, genau genommen, sind sogar diese die einzig interessanten, da
sie auf Schwingungslösungen für a_k führen. Die k reell sind
unphysikalisch bei zeitlich periodischen Randbedingungen).
Ob eine Kugelwelle physikalisch möglich ist, also geeignete
Randbedingungen für ihre Erzeugung existieren, kann ich jetzt nicht auf
die Schnelle ausrechnen. Man kann sich aber vorstellen, daß zwei
kugelförmige Ladungskontinua mit gleicher Gesamtladung und Verteilung
zunächst im Mittelpunkt des Koordinatensystems ruhen. Anschließend
beginnen sie ein "Ballett", bei dem mal "rot", dann "blau" nach außen
tritt, alles streng kugelsymmetrisch. Wenn diese Anordnung strahlt
(müßte man nachrechnen), dann natürlich voll kugelsymmetrisch. Man
könnte auch an das Fernfeld eines homogenen, leuchtenden Balles denken.
Danke Icke,
da hat sich wirklich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen. Zu den
Eigenwerten, die dürfen auch (müssen in diesem Fall sogar) von r
abhängen. Wenn die Koeffizientenmatrix A nicht von r abhängt, ist das
ein Spezialfall und man hat eine Konstantenkoeffizientenmatrix. Also
sollte gehen.
P.S.: Du hast bei deinen Formeln den Mathemodus mit nem Backslash
anstatt nem Slash beended.
Hey Jürgen,
an den Herrn Laplace, der mir sonst so gute Dienste leistet, hatte ich
gar nicht gedacht. Werde das gleich mal ausprobieren. Danke!
> Hey Jürgen,>> an den Herrn Laplace, der mir sonst so gute Dienste leistet, hatte ich> gar nicht gedacht. Werde das gleich mal ausprobieren. Danke!
Ich meinte hier aber, als ich "Laplace" schrieb nicht die
Laplace-Transformation
sondern einfach den Laplace-Operator
also in (x,y,z)-Koordinaten
Angewendet auf eine Funktion f(r) ist das dann, wie Du selbst schon
richtig ausgerechnet hast
Alexander Liebhold schrieb:> P.S.: Du hast bei deinen Formeln den Mathemodus mit nem Backslash> anstatt nem Slash beended.
Hab' ich korrigiert.
Merke: was in der Vorschau verkorkst ist, bleibt auch danach verkorkst.
;)
Hey Tino,
bei deinem 3.Link, macht man es sich sehr einfach. Man betrachtet
lediglich einen kleinen Ausschnitt der Kugel. Beispielsweise genau
entlang der z-Achse also in Kugelkoordinaten entspricht dies dem
Richtungsvektor für Theta = 90° und Phi 0°.
Dies entspricht im groben genau der Lösung einer ebenen Welle. Die
Kugelwelle setzt sich somit aus unendlich vielen ebenen Wellen in alle
Raumrichtungen zusammen.
Da die Intensität I allerdings nicht mit r konstant ist, sondern sich
auf die Kugeloberfläche gleichmäßig verteilt, muss diese Abhängigkeit
bestimmt werden.
Die Oberfläche wächst proportional zu 1/r^2.
Da die Energie S = E X H ist, muss das E-Feld um den Faktor 1/r
abnehmen.
Dieser Faktor wird vor die ebene Wellengleichung geschrieben:
Die Lösung (der DGL) von WolframAlpha (ich hab r -> x benutzt, die
Standardvariable für Wolfram):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%27%27+%3D+-2%2Fx*f%27+-k%C2%B2*f
Allerdings trau ich es mir aus dem Stand nicht zu die Lösung vernünftig
zu interpretieren (ein Grund mehr für mich den Master zu machen). Die
Polstelle im Ursprung find ich zuminest schlüssig.
Vielleicht nochmal kurz zum Ansatz der Laplace-Transformation.
Am Beispiel der ebenen Welle in z-Richtung:
(alles mit Phasoren)
Laplace-Transormation:
Nach E(s) umstellen
und wieder rücktransformieren:
Also soweit geht das.
Vielleicht hat noch jemand eine Idee, wie man evtl. diese Variante auch
für die Kugelwelle anwenden kann. Komme da echt nicht weiter.
Eine Abstrahlung findet nicht statt. Wie soll das sich ausbreitende
H-Feld des longitudinalen E Feldes denn aussehen ? Jede freie Welle ist
im Fernfeld eine TEM Welle. Und von einer longitudinalen Welle kommt man
nicht auf eine TEM welle.
Ausser das Photon hat Masse...
>> Nur kann man sich die Schritte zur Lösung nicht ansehen.
Kleiner Tip am Rande: Die Lösung steht, voll detailliert ausgerechnet in
meinem Beitrag oben (wenn auch nicht in TeX).
Pico Oschi schrieb:> Eine Abstrahlung findet nicht statt. Wie soll das sich ausbreitende> H-Feld des longitudinalen E Feldes denn aussehen ? Jede freie Welle ist> im Fernfeld eine TEM Welle. Und von einer longitudinalen Welle kommt man> nicht auf eine TEM welle.> Ausser das Photon hat Masse...
Die Frage mit der Kugelwelle ist tatsächlich etwas verwirrend. Soll auf
der Kugelschale der Poynting-Vektor immer nach außen weisen, so bilden
die E und B-Vektoren ein orthogonales System von Schnitten des
Tangentialbündels. Da aber TS^2 keine Schnitte ohne Nullstellen zuläßt
("man kann den Igel nicht stetig kämmen"), muß es Punkte P auf der S^2
mit E(P) = 0 (oder B(P) = 0) geben. Aus Symmetriegründen kann es aber
keine solche Punkte geben, da dann die Lösung nicht mehr voll invariant
unter SO(3) wäre.
Andererseits existiert ja im optischen Bereich die Beschreibung von
Wellenphänomenen mit Wellenfronten, und das Frontensystem einer
leuchtenden homogenen Kugel kann ja eigentlich nur ein System
konzentrischer Sphären sein... Sicher läßt sich der (scheinbare)
Widerspruch irgendwie auflösen, aber ich bin gerade an einem anderen
Problem und für dieses jetzt leider erstmal keine Zeit mehr.
Die Wellenfronten sind im Fernfeld immer TEM Wellen. Im Optischen gibt
es wie im Elektrischen keine longitudinal polarisierten freien Wellen,
dazu muesste das Photon auch Masse besitzen. Die von Hohlleitern und
dielektrischen Leitern bekannten TM & TE Wellen klammern sich ans
Medium, existieren nicht ohne den Wellenleiter.
Nur würde dann das Huygenssche-Prinzip ja nicht funktionieren. Dieses
beschreibt beispielsweise die Beugung an einer Kante. Jeder Punkt der
Wellenfront ist selbst Quelle einer elementaren Kugelwelle.
Ich möchte zum Schluss in der Lage sein die Wellengleichung für
Gauß-Strahlen (Rayleigh-Länge etc.), wie sie bei Lasern auftreten und
Gauss-Laguerre Moden für das Modenfeld einer Glasfaser bestimmen.
In jedem Fachbuch sind immer nur fertig gelöste Wellengleichungen
enthalten oder irgendwelche Halblösungen in denen die wichtigsten
Lösungsschritte nicht gezeigt sind. Also frei nach dem Motto: "wird das
in die Formel eingesetzt, kann man die folgenden Annahmen machen und
eine Lösung der Wellengleichung ist..."
Schönen Dank liebe Buchautoren!
Ich habe die Lösung für die Kugelwelle!
Wellengleichung mit Phasoren:
Zunächst mache ich folgenden Ansatz:
Es soll sich eine Welle in Radialrichtung ausbreiten und nur vom Abstand
r abhängig sein. Die Schwingung in Radialrichtung kann zunächst
allgemein durch
beschrieben werden. Die Abhängigkeit vom Abstand wird durch die Funktion
f(r) ausgedrückt. Somit gilt für das elektrische Feld mit Phasoren:
Damit ich die Funktion E(r) in die Wellengleichung einsetzen kann, muss
ich erst einmal beide Ableitungen bestimmen:
Beides kann jetzt in die Wellengleichung eingesetzt werden:
Für den nächsten Schritt zunächst die Ableitungsregeln:
Damit lassen sich folgende Terme zusammenfassen:
1.
2.
Nach der Zusammenfassung der Terme, ergibt sich die Wellengleichung wie
folgt:
Die einfachste Lösung dieser Differentialgleichung ergibt sich, wenn
r*f(r) eine Konstante ist!
Also für die Radialfunktion f(r) gilt:
Diese kann ich wieder in meine eigentliche Gleichung einsetzen und es
ergibt sich die Lösung der Wellengleichung:
Werden die Phasoren wieder eingesetzt, ergibt sich die vollständige
Lösung der Kugelwelle:
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