Maschenstromverfahren

[mario (Gast)]

Hallo!

ich rechne gerade alte Klausuraufgaben und bin dabei auf etwas gestossen 
bei dem ich einfach nicht sicher bin ob es richtig ist.
Im Anhang ist die schaltung, zu dieser sollen wir die fehlenden stroeme 
berechnen mit dem Maschenstromverfahren. gegeben sind alle Spannungen 
und Widerstaende.
Hier ist mein Ansatz:
man hat 3 maschen, ueber die bilden sich die folgenden gleichungen:
M1: -Uq1 + R1 I1 + R4 I4 = 0
M2: -Uq2 + R2 I2 + R4 I4 = 0
M3: -Uq3 + R3 I3 + R4 I4 = 0

damit entsteht dann ein gleichungssystem, das loest man nach gauss und 
fertig ist die laube.
Die eigentlichen werte sind ja ehr uninteressant, was mich interessiert 
ist ob mein ansatz richtig ist und ob es vllt. einen besseren gibt, vor 
allem da der rechenaufwand doch enorm ist.

ausserdem wuerde ich noch gerne wissen wie man z.B. eine masche 
aufstellt die nur durch Uq1 und Uq2 geht?

ich waere sehr froh wenn jemand einen blick auf diese aufgabe werfen 
koennte, auch wenn draussens so schoen die sonne scheint ;)

danke
mario

[Martin S. (sirnails)]

Drei Gleichungen, vier unbekannte? Das wäre unterbestimmt mit FHG von 1.

Wandel doch erstmal die Spannungsquellen in Stromquellen um.

[Floh (Gast)]

mario schrieb:
> damit entsteht dann ein gleichungssystem, das loest man nach gauss und
> fertig ist die laube.

Da fehlt noch ne Gleichung, da es 4 Unbekannte sind?
Also müsstest du z.B. noch den Knoten oben berücksichtigen:
I4 = I1+I2+I3

PS: Ohne Strom- und Spannungspfeile in der Zeichnung gibt das fett 
Minuspunkte :-)

[mario (Gast)]

ja die folgerung I4 = I1 + I2 + I3 hatte ich vergessen mit dazu zu 
schreiben, das stimmt natuerlich ;)
zu den pfeilen: die sind so gegeben, hab das nur nicht scannen koennen 
und deshalb abgezeichnet, ich geh mal davon aus dass das gewollt ist, 
man soll ja noch selber denken oder so...

[Martin S. (sirnails)]

Wie die Pfeile liegen, ist vollkommen egal. Das ist nur eine Frage des 
Vorzeichens.

[Ingo (Gast)]

Martin Schwaikert schrieb:
> Wandel doch erstmal die Spannungsquellen in Stromquellen um.
Unsinn... Das ist völlig in Ordnung so! schließlich macht man ja einen 
Spannungsumlauf (indirekt) mit Ix * Rx + Ix * Ry + ...


Ingo

[GdE-Tutor (Gast)]

Du hast scheinbar das Prinzip des MASCHENstroms noch nicht ganz 
verstanden, bei 3 Maschen gibt es nämlich nur 3 lin unabhängige 
Maschenströme, dein I4 hier kein (geschlossener) Maschenstrom, sondern 
ein Strangstrom der sich nach Lösen des LGS erst ergibt. Außerdem stehen 
beim Maschenstromverfahren die Spannungsquellen auf der rechten Seite 
der Matrix, also als Inhomogenität.

Die korrekte Matrix wäre wohl

I1    I2    I3    | Quellen
---------------------
R1+R4 0     0     | Uq1
0     R2+R4 0     | Uq2
0     0     R3+R4 | Uq3

Da die Schaltung symmetrisch ist reicht nach einem Strom zu lösen (mit 
Cramer) und dann die anderen durch Indizevertauschung zu bestimmen.

also: I1 = det(Quellen) / det(quad. Matrix) = Uq1(R2+R4)(R3+R4) / 
(R1+R4)(R2+R4)(R3+R4) = Uq1/(R1+R4)

I2 und I3 analog.
I4 = I1+I2+I3 (ergibt sich als Summe der fließenden Maschenströme)

Wenn nicht explizit nach Maschenstromverfahren gefragt ist kannst du 
auch den Überlagerungssatz bemühen. Also Uq1 aktiv, Uq2 und Uq3 im 
Leerlauf, dann bleibt eine Kreisschaltung aus Uq1 - R1- R4 übrig, nach 
U=RI ergibt sich I1=Uq1/(R1+R4). I2 und I3 analog, danach durch 
überlagerung aller 3 Lösungen für I4 den Strom berechnen.

Viel Glück am Donnerstag!

[Helmut S. (helmuts)]

@GdE-Tutor (Gast)
Leider ist deine Matrix/Gleichungssystem falsch.
An R4 müssen bei jeder Gleichung alle anderen Kreisströme auch beachtet 
werden, wenn die, wir bei dir gewählt, da durchfließen.

[Martin S. (sirnails)]

Ingo schrieb:
> Martin Schwaikert schrieb:
>> Wandel doch erstmal die Spannungsquellen in Stromquellen um.
> Unsinn... Das ist völlig in Ordnung so! schließlich macht man ja einen
> Spannungsumlauf (indirekt) mit Ix * Rx + Ix * Ry + ...

Nach der Umwandlung gilt:

$$I_{R_4} = I_1 + I_2 + I_3 - I_{R_1} - I_{R_2} - I_{R_3}$$

$$I_{R_4} = \frac{U_1}{R_1} + \frac{U_2}{R_2} + \frac{U_3}{R_3} - I_{R_1} - I_{R_2} - I_{R_3}$$

und daraus folgt:

$$U_{R_4} = I_{R_4} \cdot R_4 = U_{R_1} = U_{R_2} = U_{R_3}$$

Damit sind alle Ströme bestimmt bzw. bestimmbar.

Natürlich könnte man einen Baum aufstellen. Wenn mich nicht alles 
täuscht, wäre die Matrix dann (ist schon ne ganze weile her, dass ich 
das gemacht habe):

$$\begin{pmatrix} R_1+R_2 & R_2 & 0 \\ R_2 & R_2 + R_3 & R_3 \\ 0 & R_2 & R_2 + R_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -U_1 + U_2 \\ U_2 - U_3 \\ U_2 \end{pmatrix}$$

Dann müsste man die Determinante bilden:

$$det(\underline{\underline{A}}) = (R_1+R_2)\cdot(R_2+R_3)\cdot(R_2+R_4) - R_2^2\cdot(R_2+R_4) - (R_1+R_2)\cdot R_2 \cdot R_3$$

Im nächsten Schritt müsste der Ergebnisvektor in die Matrix eingesetzt 
werden:

$$\begin{pmatrix} -U_1 + U_2 & R_2 & 0 \\ U_2 - U_3 & R_2 + R_3 & R_3 \\ U_2 & R_2 & R_2 + R_4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} I_1 \\ I_2 \\ I_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -U_1 + U_2 \\ U_2 - U_3 \\ U_2 \end{pmatrix}$$

Nun müsste man abermals die Determinante der Matrix bilden:

$$det(\underline{\underline{A'}}) = (-U_1 + U_2)\cdot(R_2+R_3)\cdot(R_2+R_4) - (U_2-U_3)\cdot (R_2+R_4) \cdot R_2 - (-U_1 + U_2)\cdot R_2 \cdot R_3$$

Anschließend gilt es, den Strom auszurechnen:

$$I_1 = \frac{det(\underline{\underline{A}})}{det(\underline{\underline{A'}})}$$

Das gleiche gilt es nun noch zweimal für I2 und I3 zu wiederholen. Es 
kann sein, dass die Matrix falsch aufgestellt ist. Vom Prinzip her ist 
aber die Lösung in jedem Falle gleich aufwändig.

Eine Matrix macht bei komplexen Gleichungssystemen Sinn. Hier für mich 
allerdings nicht.

Wenn ich mich täusche, lasse ich mich gerne eines besseren belehren.

[Georg (Gast)]

Zum Prinzip guck doch mal unter 
http://et-tutorials.de/5197/maschenstromverfahren

[max02 (Gast)]

Falls es unbedingt Maschenstromverfahren sein muss - oK.
Falls man Knotenpotentialverfahren nehmen kann, ist es eine Gleichung.