Grenzwert von sin z / z ?

[Kurt T. (kurtisblow)]

Hallo,
ich versuche den Grenzwert berechnen von sin z / z im komplexen (z = x + 
iy).
Nun soll ich dies soweit umformen, dass ich irgendwie (e^z -1) / z = 1
verwenden kann.

Was ich bisher habe:

sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz) / 2i => sinh (z): sin (z) = ((e^i)/ i) * sinh 
(z)
= ((e^i) / 2i) *(e^z - e^-z) = ((-e^(iz))/2i) * (e^(-2z) - 1)

weiter komme ich nicht mehr. Stimmt das soweit?

[Simon K. (simon)]

Ich würds über l'hospital machen
lim(f(x), z->0) = lim(g(x)/h(x), z->0) = lim(g'(x)/h'(x), z->0)

also:
lim(cos(z) / 1 , z->0) = 1

[Kurt T. (kurtisblow)]

Das Problem ist, es ist im komplexen, es heisst in der Aufgabe 
ausdrücklich, dass l'Hopital nicht verwewndet werden darf.

[Simon K. (simon)]

Okay, so weit stecke ich da nicht drin.

Aber wenn ich das richtig sehe, kannst du mit
(e^z -1) / z = 1
den Grenzwert auch nicht bestimmen, da du für z->0 immer noch 0/0 dort 
stehen hast.

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

hehe,

wie immer die Würze zum Schluß.
Leider müsste ich erst 2 Tage verbuddeltes von vor 30 Jahren ausgraben.
Des fördert mein Denkkasten nicht mehr in 15 min hervor.
Sorry

[Diode E. (c2h5oh)]

sin(z) = 1/2i * (e^iz-e^-iz) = e^iz / 2i * (1-e^-2iz)

substituiere y = -2iz und bilde den limes für y -> 0

[Simon K. (simon)]

Und was ist mit dem z im Nenner? Und das Ausklammern bringt doch 
überhaupt nichts. Oder wie sehe ich das.

[Johann L. (gjlayde)]

Da dies offenbar eine "elementare" Aufgabe ist:
Was ist sin? Bzw. welche Definition ist zu verwenden?

[Simon K. (simon)]

Johann L. schrieb:
> Da dies offenbar eine "elementare" Aufgabe ist:
> Was ist sin? Bzw. welche Definition ist zu verwenden?

Willst du darauf hinaus ob z im Argument des Sinus komplex werden kann? 
Weil z = x+iy ja im Eingangspost schon gegeben ist.

[Johann L. (gjlayde)]

Simon K. schrieb:
> Johann L. schrieb:
>> Da dies offenbar eine "elementare" Aufgabe ist:
>> Was ist sin? Bzw. welche Definition ist zu verwenden?
>
> Willst du darauf hinaus ob z im Argument des Sinus komplex werden kann?

Nein. Die Frage ist, was "sin" ist bzw. welches Wissen/Sätze überhaupt 
benutzt werden können dürfen. Wenn man zB Wissen verwendet, daß logisch 
erst aus der zu zeigenden Aussage folgt, ist das wenig sinnig bei dieser 
elementaren Aufgabe.

Die Antwort ist natürlich "1" weil die Funktion analytisch ist und man 
das Ergebnis von R problemlos übernehmen kann, aber darum geht's in der 
Aufgabe offenbar nicht

[Diode E. (c2h5oh)]

>>sin(z) = 1/2i * (e^iz-e^-iz) = e^iz / 2i * (1-e^-2iz)

>>substituiere y = -2iz und bilde den limes für y -> 0

>Und was ist mit dem z im Nenner? Und das Ausklammern bringt doch
>überhaupt nichts. Oder wie sehe ich das.

Das z im Nenner brauchst du damit die Substitution funktioniert. Dann 
kann verwendet werden, dass

lim (e^z-1) = 1 für z->0

das steht dann:

sin(z) / z = e^iz / 2i * (1-e^-2iz) / z  = e^-y/2 / 2i * (1-e^y) / 
(-y/2i) =

e^-y/2 * (e^y-1) / y

Dieser Ausdruck geht gegen 1 für y -> 0

[Simon K. (simon)]

Diode E. schrieb:
> lim (e^z-1) = 1 für z->0
Bin ich jetzt Banane? der Grenzwert ist nicht 1, sondern 0!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit+exp%28z%29-1

> e^-y/2 * (e^y-1) / y
Das kann ich so nicht nachvollziehen. Für mich steht da immer noch ein y 
im Nenner, dass beim Grenzwert gegen 0 zu einem nicht verwertbaren 
Ergebnis führt.

[Diode E. (c2h5oh)]

Mist tut mir leid da fehlt das z im Nenner.

Verwendet werden soll

lim (e^z-1) / z = 1 für z-> 0

Leider kann ich den Beitrag nicht mehr editieren

[Simon K. (simon)]

Ach so! Du meinst, die Aufgabe sei so gestellt, dass man das* als 
Vorwissen benutzen soll? Sorry, das kam im Eingangspost leider nicht 
wirklich herüber.

Dann macht das Ganze auch etwas mehr Sinn.

* lim (e^z-1) / z = 1 für z-> 0

[Johann L. (gjlayde)]

Offenbar ist

$$\frac{\sin z}z \; \stackrel{z\neq 0}= \; \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k+1)!} = f(z)$$

für alle z != 0. Die Funktion auf der rechten Seite ist analytisch in C, 
d.h. insbesondere stetig in 0.  Zudem gilt f(0) = 1.

Damit ist auch die linke Seite stetig für z != 0 und ihr Grenzwert für z 
-> 0 ist ebenfalls 1.

Anmerkung: Oben wird die Eulersche Identität verwendet, die 
üblicherweise über die Potenzreihendarstellung von sin, cos und exp 
nachgewiesen wird. Mithin kann die Potenzreihendarstellung von sin 
verwendet werden.

[Tobias P. (hubertus)]

Es ist doch

$$\sin j \cdot x = \sinh x$$

und

$$\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \sinh x = 1$$

damit komme ich auf

$$\frac{1}{\infty}$$

.
und das dürfte 0 sein...

[Tobias P. (hubertus)]

Uups, Mist :-D jetzt hab ich sinh und tanh verwechselt.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

vielleicht so (s. Anhang).

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Tobias P. (hubertus)]

Es geht wohl doch eher in die Richtung, die ich vermutet habe.
Im Anhang das, was Maple sagt...

[Simon K. (simon)]

Wie kommst du auf z->unendlich? Es war z->0 gefragt.

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

Tobias Plüss schrieb:
> Es geht wohl doch eher in die Richtung, die ich vermutet habe.

das wird wohl das ewige Geheimnis von Hans bleiben.

Was sagt denn Maple zu
((e^z)-1)/z = ? für z gegen unendlich?
Ich kann mir nicht vorstellen, dass dies gegen "1" geht.

Hans Lüthi schrieb:
> Nun soll ich dies soweit umformen, dass ich irgendwie (e^z -1) / z = 1
> verwenden kann.

Spricht wohl eher für z gegen "0".

Simon K. schrieb:
> Wie kommst du auf z->unendlich? Es war z->0 gefragt.

Hat Hans aber nie geschrieben, oder?

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Diode E. (c2h5oh)]

@Tobias Plüss

sin(j*x) = sinh(x) ist falsch das stimmt nur beim Kosinus so.
Dazu kannst du dir die Definition von sin und sinh ansehen.

Ich kenne die Befehle nicht, aber dein Anhang sieht aus, als hättest du 
den Grenzwert für z -> inf berechnet. Der ist 0 da der Sinus beschränkt 
ist.

@Johann L.

Wie kommst du darauf das die unendliche Reihe auf der rechten Seite eine 
stetige Funktion beschreibt? Dazu müsste man gleichmäßig Konvergenz 
nachweisen. Oder sind Potenzreihen innnerhalb des Konvergenzradius immer 
stetig?

[Guido C. (guidoanalog)]

Diode E. schrieb:
> Der ist 0 da der Sinus beschränkt
> ist.

Achtung wir sind komplex ;-)

Zitat: "Während der reelle Sinus (Kosinus) stets auf Werte aus dem 
Intervall [-1; 1] beschränkt ist, können Sinus und Kosinus für komplexe 
Argumente beliebige reelle oder komplexe Werte annehmen."

Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus_und_Kosinus

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Diode E. (c2h5oh)]

Mist hast recht hab ich vergessen.

[Johann L. (gjlayde)]

Diode E. schrieb:

> Oder sind Potenzreihen innnerhalb des Konvergenzradius immer stetig?

Ja. Sogar analytisch, d.h. insbesondere: beliebig oft diff'bar.

[Tobias P. (hubertus)]

Hmm,
Maple sagt:

sin j*z = j * sinh z

während

cos j*z = cosh z

ist. Stimmt, da hab ich mich etwas vertan beim sinh...


Dass übrigens z -> 0 gefragt war, stand tatsächlich nirgends ;-)


Für z -> 0 sagt Maple übrigens:

limit(sin(z)/z, z = 0) = 1. Guido hatte also recht.

[Johann L. (gjlayde)]

Und warum gilt?

$$\lim_{z\to 0} \frac{e^z-1}z = 1$$

Oder kann man das als gegeben annehmen?

[David P. (chavotronic)]

Johann L. schrieb:
> Oder kann man das als gegeben annehmen?

Die gleiche Frage hatte ich mir auch gestellt.

[Alexander P. (metapsycho)]

Johann L. schrieb:
> Und warum gilt?
>

$$> \lim_{z\to 0} \frac{e^z-1}z = 1 >$$

> Oder kann man das als gegeben annehmen?

Hier würde ich ganz einfach L'hopital nehmen, = e^z und wenn man hier 
für z = 0 einsetzt kommt 1 heraus :)

Ist eigentlich sonst noch jemand aufgefallen dass hier über die 
Sinc-Funktion geredet wird? http://de.wikipedia.org/wiki/Sinc

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

Alexander P. schrieb:
> Hier würde ich ganz einfach L'hopital nehmen, = e^z und wenn man hier
> für z = 0 einsetzt kommt 1 heraus :)

Bist Du sicher, dass L'hopital auch im komplexen gilt?

Mit freundlichen Grüßen
Guido

[Christoph C. (christoph_c)]

Hi

Hier mein Lösungsweg:

$$\frac{sin(z)}{z} = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2iz} = \frac {e^{-iz}(e^{2iz}-1)}{2iz}$$

Mit Substitution q = 2iz erhält man:

$$\frac{e^{-\frac{q}{2}}(e^q-1)}{q}$$

Nun wendet man den gegeben Grenzwert an.

$$\lim_{q\to 0}{e^{-\frac{q}{2}}} \cdot \lim_{q\to 0}{\frac{e^q -1}{q}}$$

Der rechte Grenzwert ist bekannt (=1), der Linke lässt sich durch 
Umformen bestimmen mit e^0 = 1

$$\lim_{q\to 0}{\frac{1}{e^{\frac{q}{2}}}} = 1$$

Somit ist der Grenzwert 1.

Reine Neugier: Ist die Aufgabe per Zufall aus einer Übung der ETH ;-)?

Gruss Christoph

[Christoph C. (christoph_c)]

Guido C. schrieb:
> Hallo,
>
> vielleicht so (s. Anhang).
>
> Mit freundlichen Grüßen
> Guido

Sry, habe ich erst jetzt gesehen. Der Lösungsweg ist der gleiche :-).

[Guido C. (guidoanalog)]

Hallo,

Christoph C. schrieb:
> Sry, habe ich erst jetzt gesehen. Der Lösungsweg ist der gleiche :-).

Kein Problem. Auf jeden Fall ist Deine Antwort lesbarer :-)

Mit freundlichen Grüßen
Guido