Frage zur Regelungstechnik, Laplace

[Tobias P. (hubertus)]

Hallo,

ich habe da mal eine Frage, weil ich hier ein paar verwirrende Notizen 
habe. Es geht um folgendes.

Gegeben sei eine zu regelnde Strecke mit

$$G_S(s)$$

 sowie ein Regler mit

$$G_R(s)$$

. Wie berechne ich den statischen Regelfehler? Nun, in meinem 
Regelungstechnik-Buch (Froriep, Schiffelgen) wird hier der Endwertsatz 
der Laplace-Transformation angewandt:

$$\lim \limits_{s\rightarrow 0} s \cdot \frac{ G_S(s) \cdot G_R(s) }{ G_S(s) \cdot G_R(s) + 1}$$

.

So wie ich das nun aus meinen Notizen von der FH raus lese, hat unser 
Dozent hier aber eine Abkürzung genommen und einfach in

$$\frac{ G_S(s) \cdot G_R(s) }{ G_S(s) \cdot G_R(s) + 1}$$

s=0 gesetzt. Darf man das?

Angenommen, die Strecke sei:

$$\frac{1}{2s + 1}$$

und der Regler ein P-Regler mit Kp=5. Dann wäre ja die Closed Loop 
Übertragungsfunktion:

$$\frac{5}{6+2s}$$

und wenn s=0 dann erhalte ich so 5/6, oder 0.8333. Das heisst, mit dem 
P-Regler mit Kp=5 habe ich bei dieser Strecke einen Fehler von max. 16%. 
Stimmt das? Warum braucht man hier nicht den Endwertsatz?
bei diesem müsste ich ja rechnen:

$$\lim \limits_{s\rightarrow 0} s \cdot \frac{5}{6+2s}$$

hierfür erhalte ich aber 0, was sicher nicht korrekt ist. Wo liegt mein 
Denkfehler?

[Oliver J. (skriptkiddy)]

Du hast vergessen mit der Laplace-transformierten Sprungfunktion zu 
multiplizieren. Dann kürzt sich das s nämlich weg.

Gruß Oliver

[Tobias P. (hubertus)]

Hi Oliver,

hmm. Du hast recht, aber irgendwie stehe ich trotzdem grade auf dem 
Schlauch. Wo soll ich denn mit 1/s multiplizieren?

so?

$$\lim \limits_{s\rightarrow 0} \left( \frac{1}{s} \cdot \frac{G_S(s) \cdot G_R(s)}{1 + G_S(s) \cdot G_R(s)} \right) = \lim \limits_{s \rightarrow 0} \left( \frac{5}{6 + 2s} \cdot \frac{1}{s} \right)$$

das geht leider nicht, dieser Grenzwert existiert nicht. Irgendwie habe 
ich grade einen Knopf hier, ich konnte das alles mal rechnen...

warum habe ich in meinen Notizen diesen komischen Ausdruck drin, wo 
direkt s=0 gesetzt wird, um den statischen Regelfehler zu bestimmen?

[Oliver J. (skriptkiddy)]

Tobias Plüss schrieb:
> warum habe ich in meinen Notizen diesen komischen Ausdruck drin, wo
> direkt s=0 gesetzt wird, um den statischen Regelfehler zu bestimmen?

Weil das völlig korrekt ist. Im Bildbereich berechnet man die 
Systemantwort für ein Eingangssignal U(s) wie folgt:

$$Y(s) = G(s)\cdot U(s)$$

Bei dir ist U(s) die Sprungfunktion, weil der Stationärwert einer 
Sprungantwort gesucht ist. Die Sprungfunktion h(t) sieht im Bildbereich 
folgendermaßen aus:

$$U(s)=H(s)=\frac{1}{s}$$

Das Ausgangssignal berechnet sich also folgendermaßen:

$$Y(s)=G(s) \cdot \frac{1}{s}$$

Wenn nun der Stationärwert im Zeitbereich interessiert, dann wendet man 
darauf den Endwertsatz an:

$$\lim_{t \to \infty}y(t)=\lim_{s \to 0}( s \cdot Y(s))=\lim_{s \to 0}( s \cdot G(s) \cdot \frac{1}{s})= \lim_{s \to 0}G(s)$$

Wie du siehst, stimmt das für Sprungantworten und nur für 
Sprungantworten, wenn man einfach in der Übertragungsfunktion s=0 setzt.

Gruß Oliver

[Tobias P. (hubertus)]

Ah ja, das stimmt. Jetzt kann ich es nachvollziehen.
Nun weiss ich auch wieder, wann ich den Endwertsatz brauche und wann 
nicht.
Herzlichen Dank!

Gruss