Hallo, ich habe ein totales Brett vorm Kopf und bräuchte mal eure Hilfe. Im Anhang befindet sich eine Aufgabe aus einer Sammlung von Übungsaufgaben samt Lösung zum Thema Vektoren, nur leider kann ich diese nicht nachvollziehen. Ich wäre wirklich happy, wenn mir jemand mal den Lösungsweg aufzeigen könnte. Vielen Dank,Christian
Naja, bei dem Wetter zu Hause zu sitzen und Aufgaben zu rechnen als faul zu bezeichnen lasse ich mal dahingestellt. Die Definition von Kosinus und Sinus sind mir bekannt, ich komm nur leider nicht auf das dort beschriebene Ergebnis!?!
Also nochmal von vorne. Der Vektor FL kommt durch die Summation der beiden Vektoren Fw und Fa zustande. Der resultierende Vektor kann nun wiederrum in Ft und Fs zerlegt werden mit FL = FT+FS. Nun sind ja durch das grau eingezeichnete Dreieck Hinweise gegeben bezüglich der Winkelverhälnisse. Und hier beginnt mein Problem. Die Lösung kommt ja anscheinend so Zustands, dass man FS sowie FW mittels FA und FW beschreibt. Doch wie sind die Winkelverhalnisse im Dreieck FW-FA-FL zu verstehen ??? Danke für Hinweise!
Man muss die winkel doch nur ablesen.. Ft .. Fa -> alpha Fa .. Fl -> alpha-beta nein ?
"Man muss die winkel doch nur ablesen..." Ja das bereitet mir schon Probleme! alpha und beta müssen zusammen 90° ergeben. Somit ist wie du geschrieben hast der Winkel zwischen Ft und Fa: alpha! Das mit dem Winkel zwischen Fl und Fa ist mir wiederrum nicht ganz so klar! Wie kommst du da auf alpha - beta. Sorry wenn ich so dumm frage, aber die ganze Aufgabe hängt mir etwas schräg im Magen. Danke & Gruss, Christian
Sorry, FL und Fa sind unabhaengig. Es gibt keine Winkelbeziehung.
Hallo, du sollst die Vektoren F_T und F_S als Linearkombination der Vektoren F_A und F_W darstellen. Wenn man diesen Ansatz direkt verfolgt merkt man, dass mit der von Dir vorgegebenen Lösung etwas nicht stimmen kann. Die von mir angehängt Datei stellt natürlich nicht die Lösung des o. g. Problems dar. Ich wollte nur zeigen, dass mit der Musterlösung oder mit der Aufgabe(nstellung) etwas nicht stimmt. Mit freundlichen Grüßen Guido
Hallo Guido, Hallo Christian, ich hatte auch das Gefühl, dass die Lösung komisch ist, da müssten auf jeden Fall noch Beträge auftauchen. Ich habe es darum – ganz blöd – einfach mal mit konkreten Werten durchgerechnet FS = (0, -10) FT = (10, 0) FW = (-2, -4) FA = (12, -6) und man sieht sofort, dass, wie Du auch schon anführst, Guido. die Lösung nicht stimmen kann! Viele Grüße Timm
Was soll denn daran nicht stimmen?
Klar stimmt die!
Zerleg doch einfach mal Fa in eine Komponente parallel zu Ft und eine
Komponente parallel zu Fs
+--------------+-----------> t-Richtung
|\ Alpha |
| \ |
| \ Fa | Fas
| \ |
| \ |
| \ |
| \ v
|------------->+
| Fat
v
s-Richtung
Wie groß sind die Komponenten Fas und Fat?
(suche den rechten Winkel und überleg wie du da sin/cos reinkriegst
Fas = Fa * cos(alpha)
Fat = Fa * sin(alpha)
und dasselbe machst du mit Fw. Du zerlegst es über den Winkal Alpha in
eine Komponente parallel zu Fs und eine Komponente parallel zu Ft. Du
musst jeweils immer nur aufpassen, wo sich Alpha wiederfindet um zu
bestimmen, an welcher Kathete der cos auftaucht und an welcher der sin.
Fws = Fw * sin(alpha)
Fwt = Fw * cos(alpha)
gesucht ist die Kombination aus Fa und Fw, genannt Fl, wobei die 't'
Komponente von Fw in die negative Richtung zeigt.
Fl = Fa + Fw
oder in Kompenenten geschrieben
Flt = Fat - Fwt
Fls = Fas + Fws
jetzt setzt du direkt die vorher gefundenen Zerlegungen ein
Flt = Fa * sin(alpha) - Fw * cos(alpha)
Fls = Fa * cos(alpha) + Fw * sin(alpha)
und wenn dir jetzt noch klar geworden ist, dass Flt nix anderes als das
Ft in der Zeichnung, und Fls gleich Fs ist, dann steht die gesuchte
Behauptung auch schon da.
Ft = Fa * s....
Fs = Fa * c....
Ist doch ganz banal.
Setz einfach den Fw Vektor an die Spitze von Fa. Denn genau das machst
du ja, wenn du Fl = Fa + Fw bestimmen willst.
Und dann projezierst du die jeweiligen Einzelteile auf die t-Achse und
kommst drauf: das eine mal wird die Projektion über den sin gemacht das
andere mal über den cos. Und zwar so, dass die Projektion von Fa erst
mal zu weit nach rechts geht und Fw wieder ein Stück nach links
zurückführt (daher auch das -)
+----------------> Ft
+-----------------------> Fat = Fa * sin(alpha)
<------ Fwt = Fw * cos(alpha)
und für die s-Richtung genau das gleiche nochmal.
+ +
| |
| |
| |
| |
| v Fas = Fa * cos(alpha)
| |
| | Fws = Fw * sin(alpha)
v v
Fs
Timm Reinisch schrieb: > Hallo Guido, > Hallo Christian, > > ich hatte auch das Gefühl, dass die Lösung komisch ist, da müssten auf > jeden Fall noch > Beträge auftauchen. Die sind implizit. Wenn vom Vektor Fa die Rede ist, und der nicht in Form von Komponenten benutzt wird, dann ist sein Betrag (also seine Länge) gemeint. > Ich habe es darum – ganz blöd – einfach mal mit > konkreten Werten durchgerechnet > > FS = (0, -10) > FT = (10, 0) > > FW = (-2, -4) > FA = (12, -6) > > und man sieht sofort, dass, wie Du auch schon anführst, Guido. die > Lösung nicht stimmen kann! du kannst aber nicht einfach Alpha unter den Tisch fallen lassen.
Karl Heinz Buchegger schrieb: > > du kannst aber nicht einfach Alpha unter den Tisch fallen lassen. sehr witzig. Wer hat geschrieben, dass ich es unter den Tisch habe fallen lassen? Ich habe es natürlich aus den Werten entsprechend berechnet. Vlg Timm
Timm Reinisch schrieb: > Karl Heinz Buchegger schrieb: > >> >> du kannst aber nicht einfach Alpha unter den Tisch fallen lassen. > > sehr witzig. > > Wer hat geschrieben, dass ich es unter den Tisch habe fallen lassen? > Ich habe es natürlich aus den Werten entsprechend berechnet. Dein Vektor Fw hat die Länge 4.4721 Dein Vektor Fa hat die Länge 13.4164 Alpha an deinem Fw Vektor ist gleich 63.43° ( = atan(2) ) sin(alpha) = 0.8943 cos(alpha) = 0.4472 Ft = Fa * sin(alpha) - Fw * cos(alpha) Fs = Fa * cos(alpha) + Fw * sin(alpha) Ft = 13.4164 * 0.8943 - 4.4721 * 0.4472 = 11.9982 - 1.9999 = 9.9983 Fs = 13.4164 * 0.4472 + 4.4721 * 0.8943 = 5.9998 + 3.9993 = 9.9991 (das sich die Werte nicht exakt auf 10.0 ausgehen liegt daran, dass ich natürlich hier beim Anschreiben Nachkommastellen unter den Tisch hab fallen lassen und ich die jeweiligen Rechnungen wie hier geschrieben, also ohne die fehlenden Nachkommastellen, jeweils neu gerechnet habe. Es sind also Rundungsfehler, die durchs Anschreiben im Forum entstanden sind)
Hallo Karl Heinz, Karl Heinz Buchegger schrieb: > Alpha an deinem Fw Vektor ist gleich 63.43° ( = atan(2) ) never! Beta ist 63.43°, nicht Alpha. Mach mal eine Planzeichnung. Viele Grüße Timm
Timm Reinisch schrieb: > never! Beta ist 63.43°, nicht Alpha. Mach mal eine Planzeichnung. Mea Culpa Das sei mir zur vorgerückten Stunde und Benutzung von ASCII Grafik verziehen. Ich hab dann aber auch mit der flaschen Formel gerechnet, so dass sich in Summe alles wieder ausgeht. Und für den Fragesteller muss ja auch was zu lösen bleiben. Die prinzipielle Herleitung und das Ergebnis der Musterlösung sind jedenfalls korrekt.
Hallo Karl-Heinz, Karl Heinz Buchegger schrieb: >> ich hatte auch das Gefühl, dass die Lösung komisch ist, da müssten auf >> jeden Fall noch >> Beträge auftauchen. > > Die sind implizit. Wenn vom Vektor Fa die Rede ist, und der nicht in > Form von Komponenten benutzt wird, dann ist sein Betrag (also seine > Länge) gemeint. dann lebst Du aber auf einem anderen Rechen-Planeten als ich! Die kursiven F bezeichnen hier ganz eindeutig Vektoren, schließlich gibt es die Angaben FS senkrecht FT, was natürlich Nonsens wäre, wenn Beträge gemeint wären. Die Gleichung in der Lösung kann ohne weiteres für Vektoren gelten! Multiplikation mit einem Skalar und Addition. In so einem Fall muss man es kenntlich machen, wenn man Beträge meint. Man kann nicht exakt die selbe Schreibweise für Vektoren und Beträge verwenden, wenn aus den verwendeten Operationen nicht eindeutig hervorgeht, was gemeint ist. (Falls Du da eine andere Konvention kennen solltest, bitte ich um Angabe einer entsprechenden Literaturstelle, man lernt ja gern dazu) Deine Rechnung mit meinen Beispielwerten muss also lauten (die alpha Frage lasse ich mal ausser acht, ich nehme Dein alpha): Ft = (12, -6) * 0.8943 - (-2, -4) * 0.4472 = (10,7316, -5,3658) - (-0,8944, -1,7888 ) = (11,626, -3,577) ≠ (10, 0) egal ob mit oder ohne Rundungsfehler. Viele Grüße Timm P.S. Womit ja der Fehler dann gefunden wäre! Die Aufgabenstellung legt es in geradezu gemeingefährlicher Art und Weise auf eine Verwechslung von Vektoren und deren Beträgen an.
Der Korrektheit halber
(Da hab ich doch mehr geschlampt als gedacht - Zeichnung wär nicht
schlecht gewesen)
+--------------+-----------> t-Richtung
|\ Alpha |
| \ |
| \ Fa | Fas
| \ |
| \ |
| \ |
| \ v
|------------->+
| Fat
v
s-Richtung
Fas = |Fa| * sin(alpha)
Fat = |Fa| * cos(alpha)
-------------
| Alpha / |
| / |
| / |
v / |
<----------|
Fws = |Fw| * cos(alpha)
Fwt = |Fw| * sin(alpha)
Zusammensetzen
Fl = Fa + Fw
in Kompoenenten
Flt = Fat - Fwt = |Fa| * cos(alpha) - |Fw| * sin(alpha)
Fls = Fas - Fws = |Fa| * sin(alpha) + |Fw| * cos(alpha)
(Aber mit Zahlen rechne ich das jetzt nicht nochmal durch)
Timm Reinisch schrieb: > Hallo Karl-Heinz, > > Karl Heinz Buchegger schrieb: >>> ich hatte auch das Gefühl, dass die Lösung komisch ist, da müssten auf >>> jeden Fall noch >>> Beträge auftauchen. >> >> Die sind implizit. Wenn vom Vektor Fa die Rede ist, und der nicht in >> Form von Komponenten benutzt wird, dann ist sein Betrag (also seine >> Länge) gemeint. > > dann lebst Du aber auf einem anderen Rechen-Planeten als ich! Die > kursiven F bezeichnen hier ganz eindeutig Vektoren, schließlich gibt es > die Angaben FS senkrecht FT, was natürlich Nonsens wäre, wenn Beträge > gemeint wären. Kreide es dam Aufgabensteller an, dass er die Aufgabe (eigentlich die Lösung) schlecht formuliert hat, aber nicht mir, dass du das nicht erkannt hast. Dei Aufgabe ist offenbar auf Vektoren in Polardarstellung gemünzt. Wenns nach mir geht, nehm ich einen Gram-Schmidt um Fl zu projezieren und dann können s und t in der Ebene liegen, wie immer sie wollen. Ich halte sowieso nix davon, zu viel mit sin/cos in der Vektoralgebra rumzuschmeissen, wenns nicht notwendig ist (Also auf Polardarstellung zu wechseln). Gibt im Rechner nur numerischen Ärger. Fl = Fa + Fw tu = ( 1.0, 0.0 ) // u wie unit. muss nicht sein, su = ( 0.0, -1.0 ) // vereinfacht aber. Ft = (Fl dot tu) / |tu|^2 * tu Fs = (Fl dot su) / |su|^2 * su
Hallo Karl-Heinz, im Nachhinein, war die ein oder andere Stelle etwas unfreundlich formuliert, sorry. Karl Heinz Buchegger schrieb: > Kreide es dam Aufgabensteller an, dass er die Aufgabe (eigentlich die > Lösung) schlecht formuliert hat, Ich will Dir gar nichts ankreiden, im Gegenteil ich neige mein Haupt, weil Deine Fähigkeiten in Aufgabenhermeneutik und formaler Exegese immerhin ausreichen um herauszufinden, was der Autor gemeint haben muss. Das klingt ironisch ist aber ernst gemeint. Ich glaube, wenn dem Fragesteller klar gewesen wäre, dass mit den Vektoren in der Musterlösung in Wirklichkeit Beträge gemeint sind, dann hätte er das auch selber hinbekommen, Du warst – so meine Lesart – doch selbst erstaunt, dass er das nicht hinbekommt. <off topic> Aber das ist der Punkt! Die Lösung ist nicht schlecht geschrieben, sondern falsch. Das ist zugegebenermaßen auch ein Knopf bei mir, wenn der gedrückt wird, löst das reflexartig Ärgernis aus. Das sind noch Wunden aus der Schulzeit, wo in Mathematik und Physik die gekonnte tiefenpsychologische Auslegung des mit der Aufgabe gemeinten nicht selten wichtiger war, als das Lesen und Verstehen des Aufgabentextes. Ich geben jetzt seit über 20 Jahren Nachhilfe in Mathematik, Physik und Chemie für Oberstufe und Uni und ärgere mich immer wieder, das Aufgaben so mangelhaft gestellt werden, dass die Lösung nur teilweise von der Fachkenntnis abhängt, sondern wesentlich von der zufällig oder – wie in Deinem Fall – erfahrungsbedingt richtigen Interpretation. Was meinst Du, wie oft ich allein den Satz gehört habe: „Ist doch klar, dass man den schwierigeren Weg wählen muss, es geht doch darum zu zeigen, dass man rechnen kann”. Wahnsinn! </off topic> Viele Grüße Timm
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