Matrixmultiplikation

[Matrixmann (Gast)]

Hi,

man kann ja eine Matrixmultiplikation zB so schreiben:
|1 1| x1|
|1 2| x2|

Wie kann man das aber ausdrücken, wenn man sin (x1) bilden möchte und 
den sinus in der Matrix haben will?
sin() schaut komisch aus :-)

[TestX .. (xaos)]

definier dir einen SIN operator und hau den in die matrix...außer dir 
wirds aber kein anderer mehr verstehen ohne naleitung...

[unregistered (Gast)]

was ist eigentlich die Frage??

[Matrixmann (Gast)]

Gibt es da keine "übliche" Vorgehensweise? Ist ja jetzt kein weit 
hergeholtes Problem.

[Matrixmann (Gast)]

@unregistered:

Ich möchte sowas:

|1  sin| x1|
|1  2  | x2|

Erste Zeile soll bedeuten: x1 + sin (x1)

[Karl H. (kbuchegg)]

Matrixmann schrieb:
> @unregistered:
>
> Ich möchte sowas:
>
> |1  sin| x1|
> |1  2  | x2|
>
> Erste Zeile soll bedeuten: x1 + sin (x1)


Wenn ich dich richtig verstehe, willst du ausdrücken, dass während der 
Multiplikation der Sinus berechnet werden soll.

Hmm. Ist mir ehrlich gesagt noch nie untergekommen. Ich denke auch, dass 
so eine Operation mit dem Konzept einer Matrixmultiplikation nichts mehr 
zu tun hat.

[Andreas W. (andy_w)]

Hallo,
das geht gar nicht... Eine Matrixmultiplikation ist eine lineare 
Funktion, der Sinus nicht. In der Matrix stehen nur konstante Zahlen.

Was geht, ist z.B. eine Rotationsmatrix
| +cos(r) +sin(r) |
| -sin(r) +cos(r) |
Diese 4 Matrixelemente werden vor der Matrixmultiplikation berechnet und 
in die Matrix ingesetzt (ergibt 4 Zahlen). Erst dann wird die 
Matrixmultiplikation selber durchgeführt.

Im obigen Beispiel könnte man sin(x1) vorher berechnen und in die Matrix 
als Zahl einsetzen, in dem konkreten Beispiel sehe ich aber keinen Sinn.

Also immer erst die konkreten Werte der Matrixelemente ausrechnen und 
einsetzen, dann kann man die Matrix verwenden. Das gilt auch für 
beliebige Funktionen in Matrizen, die müssen zuerst alle berechnet 
werden.

Gruß
Andy_W

[Hubert (Gast)]

Matrizen werden üblicherweise dafür benutzt, lineare Abbildungen 
darzustellen. D.h. es gilt f(a*x + b*y) = a*f(x) + b*f(y). Dann kannst 
du die lineare Abbildung f als f(x) = A*x (A Matrix) darstellen. f(x) = 
sin(x) ist aber keine lineare Abbildung [f(x+y) = sin(x+y) != sin(x) + 
sin(y)]. Die Darstellung über die Matrixmultiplikation funktioniert also 
nicht.

[Matrixmann (Gast)]

Also erstmal danke für eure netten Antworten.
Ich werde mir dann mal Gedanken machen, wie ich das dann am besten 
formuliere :-).

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Matrixmann schrieb:
> man kann ja eine Matrixmultiplikation zB so schreiben:
> |1 1| x1|
> |1 2| x2|

Diese Schreibweise habe ich noch nie gesehen. Soll das ein Produkt aus
Matrix und Vektor darstellen, also eine andere Schreibweise für dieses

$$\begin{pmatrix}1&1\\1&2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$$

sein?

Matrixmann schrieb:
> Ich möchte sowas:
>
> |1  sin| x1|
> |1  2  | x2|

Die Matrix hat jetzt drei Zahlen und eine Funktion als Elemente. Das
sieht schon mal sehr seltsam aus.

> Erste Zeile soll bedeuten: x1 + sin (x1).

Das kann schon richtig sein, wäre dann aber eher zu lesen als

  x1 + sin * x1

was sicher nicht das ist, was du dir vorstellst.

Matrixmann schrieb:
> Ich werde mir dann mal Gedanken machen, wie ich das dann am besten
> formuliere :-).

Schreib's im Zweifelsfall ausführlicher hin, anstatt zu versuchen,
irgendwelche exotische Schreibweisen anzuwenden, die hinterher sowieso
keiner versteht.

[Johann L. (gjlayde)]

Gerne werden affine Abbildungen in einer einzigen Matrix dargestellt, 
die aus einem rotatorischen und einem translatorischen Teil besteht, 
indem man eine projektive Darstellung wählt, d.h. quasi eine Dimension 
höher geht.

$$\underbrace{\begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & t_1\\ \sin \varphi & \cos \varphi & t_2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}_{\mathcal M} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 1\end{pmatrix}$$

Die Matrix M lässt sich zerlegen in die Drehmatrix R und die 
Translationsmatrix T:

$$\mathcal M = \mathcal T \cdot \mathcal R$$

mit Verschiebung um t

$$\mathcal T = \mathcal T_t = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_1\\ 0 & 1 & t_2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

und Drehung um phi

$$\mathcal R = \mathcal R_\varphi = \begin{pmatrix} \cos \varphi & -\sin \varphi & 0\\ \sin \varphi & \cos \varphi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Die Inversen sind dann einfach

$$\mathcal R_\varphi^{-1} = \mathcal R_{-\varphi}$$

$$\mathcal T_t^{\,-1} = \mathcal T_{-t}$$

und die Identität

$$\mathcal E = \mathcal T_0 = \mathcal R_0$$

Nacheinanderausführung mehrerer Operationen ist natürlich die 
Matrixmultiplikation. Für zwei Translationen hat man zum Beispiel:

$$\mathcal T_v \cdot \mathcal T_w = \mathcal T_{v+w}$$

und ebenso für zwei Rotationen:

$$\mathcal R_\alpha \cdot \mathcal R_\beta = \mathcal R_{\alpha+\beta}$$