Hallo, kann es sein, dass eine geschlossene Leiterschleife mit einer Windung, einem Radius von 1m und einem unendlich dünnen Leiterquerschnitt eine Induktivität von ca. 70µH hat? Die Induktivität nimmt linear mit dem Radius zu. Das ganze wurde über nummerische Integration mit Hilfe des Gesetztes von Biot-Savart berechnet. Die Ergebnisse des Feldes etc. sehen plausible aus. Nur zur Berechnung des magnetischen Flusses darf ich nicht ganz bis zur Radius integrieren weil es sonst aufgrund des infinitisimal dünnen Leiters zur Sinuglarität kommt. Deswegen musste ich hier abschätzen bis wohin ich integrieren. Wäre nett, wenn mir jemand sagen kann, ob die Größenordnung der Induktivität und die liniearität zwischen Radius und Induktivität realistisch sind. EDIT: Um das ganze etwas schöner zu gestalten habe ich im Anhang mal das H-Feld in z-Richtung für eine Leiterschleife mit einem Radius von 0,5m in einem Abstand von 0,01m in z-Richtung und einem Stromfluss von 1A angehangen. Also auf der z-Achse ist der Anteil des H-Feldes in z-Richtung dargestellt.
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A. R. schrieb: > kann es sein, dass eine geschlossene Leiterschleife mit einer Windung, > einem Radius von 1m und einem unendlich dünnen Leiterquerschnitt eine > Induktivität von ca. 70µH hat? Nein. Die wäre unendlich. > Die Induktivität nimmt linear mit dem Radius zu. Formel findest Du bspw. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Rahmenantenne#Grundgleichungen Gruß
Der Feldplot schaut gut aus. Man kann die Eigeninduktivitaet einer Spule nicht einfach so rechnen, da fuer Radius gegen null der das Feld divergiert.
>Der Feldplot schaut gut aus. Man kann die Eigeninduktivitaet einer Spule >nicht einfach so rechnen, da fuer Radius gegen null der das Feld >divergiert. Genau bei der Divergenz liegt ja das Problem. Kann ich davon ausgehen, dass das Feld außerhalb des Leiters abhängig von dem Leiterquerschnitt ist? Wenn dem so ist, müsste ich zum Berechnen versuchen, über das Volumen eines Leiters zu intregrieren, was den Rechenaufwand massiv erhöhen würde. Zudem vermute ich, dass das Feld selbst dann an der Randstelle des Leiters unendlich groß sein wird. >Formel findest Du bspw. hier: >http://de.wikipedia.org/wiki/Rahmenantenne#Grundgleichungen Gibt es für diese Formel auch eine Herleitung? Die E-Funktion in Abhängigkeit des Leiterdurchmessers scheint aber sehr plausibel zu sein.
A. R. schrieb: >>Der Feldplot schaut gut aus. Man kann die Eigeninduktivitaet einer Spule >>nicht einfach so rechnen, da fuer Radius gegen null der das Feld >>divergiert. > Genau bei der Divergenz liegt ja das Problem. Aber wieso denn? Die Induktivität jeder Spule hängt nun mal vom Drahtdurchmesser ab. Das Ideal ist nicht eine Spule mit unendlich dünnem Draht, sondern eine unendlich lange Spule, wo sich der Effekt mit dem Drahtdurchmesser verwischt. > Kann ich davon ausgehen, dass das Feld außerhalb des Leiters abhängig > von dem Leiterquerschnitt ist? Kannst Du nicht, solltest Du nicht. Schau Dir doch (nochmal) die entsprechende Maxwell-Gleichung, am Besten in integraler Form an. Linienintegral von H * dr = Strom (ohne zeitlich verändertes E-Feld) welche zum Biot-Savert-Gesetz in seiner einfachsten Form führt: 2*pi*r*H= I Das H-Feld in einer geschlossenen Kurve um den Leiter ist proportional zum durchfließenden Strom. > Wenn dem so ist, müsste ich zum Berechnen versuchen, über das Volumen > eines Leiters zu intregrieren, was den Rechenaufwand massiv erhöhen > würde. Zudem vermute ich, dass das Feld selbst dann an der Randstelle > des Leiters unendlich groß sein wird. Das Feld im inneren des Leiters nimmt (bei homogener Stromdichte) linear zu. Bis es den Wert am Rand des Leiters (also I/(2pi*r) ) erreicht. >>Formel findest Du bspw. hier: >>http://de.wikipedia.org/wiki/Rahmenantenne#Grundgleichungen > Gibt es für diese Formel auch eine Herleitung? Im Wikipedia-Artikel ist eine Referenz an gegeben. Ansonsten mal die üblichen Verdächtigen abklappern, insbesondere Jackson, Klassische Elektrodynamik. > Die E-Funktion in Abhängigkeit des Leiterdurchmessers scheint aber sehr > plausibel zu sein. Die logarithmische Abhängigkeit vom Leiterdurchmesser ist Ausdruck jener Divergenz, vor der Du Dich fürchtest. Das Volumenelement für ein schlauchartiges Stück um den Leiter ist 2*pi*r dr dl. Das Feld ist proportional zu 1/r, die Energiedichte folglich proportional zu 1/r^2. Ergibt 2*pi dr dl / r Über r integriert kommt dann der Logarithmus raus. Was willst Du denn eigentlich erreichen? Gruß
>Das Feld im inneren des Leiters nimmt (bei homogener Stromdichte) linear
zu.
Aehhhhh.... schon mal was von Skineffekt gehoert ?
Dann gibt es auch noch die Rueckwirkung des Feldes auf die
Ladungstraeger.
>Was willst Du denn eigentlich erreichen?
Die Selbstinduktivitaet einer Spule rechnen.
Morz Troll schrieb: >>Das Feld im inneren des Leiters nimmt (bei homogener Stromdichte) linear > zu. > Aehhhhh.... schon mal was von Skineffekt gehoert ? Joachim schrieb: > Linienintegral von H * dr = Strom (ohne zeitlich verändertes E-Feld) und ebenso: "bei homogener Stromdichte" Gruß
Hallo, die Selbstinduktivität einer kreisförmigen Leiterschleife kann (bis auf die Lösung der elliptischen Integrale) noch analytisch gelöst werden. Der Strom kann nicht in einem unendlich dünnen Draht fließen. Die Induktivität setzt sich aus einer inneren Induktivität (im Drahtvolumen gespeicherte Energie) und einer äußeren Induktivität zusammen. Beim runden Draht ist das noch gut exakt trennbar. Inneren Induktivität ist (µ0*l / 8pi) Bei der äußeren Induktivität wird das magnetische Vektorpotential A an der inneren Kanten der Drahtschleife berechnet und dann längs der inneren Kontur integriert. Das magnetische Vektorpotential lässt sich mit Hilfe der elliptischen Integrale geschlossen darstellen. L = Li + La = (µ0*l / 8pi) + 1/I * Integral längs der inneren Kontur über (A skalar dr) Gruß Alex
Alex schrieb: > Inneren Induktivität ist (µ0*l / 8pi) Was im Zusammenhang mit dem angemerkten Skin-Effekt zu einer möglichen interessanten Dispersionsrelation führen könnte. Bei inhomogener Stromdichte könnte die im Leiter gespeicherte Energie sich ja von der bei homogener Stromdichte unterscheiden und somit die innere Induktivität frequenzabhängig sein. Weißt Du darüber was? Gruß
Hallo, Joachim schrieb: > somit die innere Induktivität frequenzabhängig sein ja, das stimmt. Die von mir gepostete Formel für die innere Induktivität erhält man bei homogener Stromverteilung, also wenn die Eindringtiefe recht groß ist. Der Stromverteilung im Runddraht aufgrund des Skineffekts lässt sich analytisch herleiten. Daraus kann dann eine frequenzabhängige innere Induktivität berechnet werden. Mit geringer werdender Eindringtiefe bei höheren Frequenzen nimmt die Induktivität dann ab, während der ohmsche Widerstand zunimmt. Proximityeffekte sind auch außen vor gelassen, sind aber bei dem Schleifendurchmesser auch vernachlässigbar. Viele Grüße Alex
...Joachim ist raus, war ne andere Nummer als AfU-Formeln...
Die Induktivität einer Leiterschleife von z.B. 50 cm Durchmesser und 1 Windung beträgt ca. 1 micro Henry, also auf keinen Fall 70 micro Henry. Eine analytische Ableitung läßt sich aus der Energie der Spule herleiten. Besteht daran Interesse?
Mein "Helferlein" Programm errechnet mir bei 50 cm Durchmesser eine Induktivität von 2,231 uH...kann ich das akzeptieren?Barfuß habe ich sowas schon lange nicht mehr ausgerechnet..;-)
>> Kann ich davon ausgehen, dass das Feld außerhalb des Leiters abhängig >> von dem Leiterquerschnitt ist? >Kannst Du nicht, solltest Du nicht. Schau Dir doch (nochmal) die >entsprechende Maxwell-Gleichung, am Besten in integraler Form an. Hier musst du mir noch auf die Sprünge helfen. Ich weiß, dass das H-Feld eines unendlich Langen Drahtes unabhängig von der Drahtdicke ist (Durchflutungsgesetz). Jedoch haben wir hier keinen unendlich langen Draht und auch keinen Fall symmetrischen Fall. Das heißt doch, dass ich davon ausgehen muss, dass sich das Feld in einem beliebigen Punkt im Raum ändert, wenn ich den Drahtdurchmesser variiere. >Das Volumenelement für ein schlauchartiges Stück um den Leiter ist >2*pi*r dr dl. >Das Feld ist proportional zu 1/r, die Energiedichte folglich >proportional zu 1/r^2. >Ergibt 2*pi dr dl / r >Über r integriert kommt dann der Logarithmus raus. Ganz so einfach ist das nicht. Wenn ich über r Integriere habe ich variable Integrationsgrenze. @Wolfgang, danke für den Link, das werde ich mir mal in Ruhe anschauen müssen. Ich habe auch mal die Formel in Wikipedia überprüft und komme darauf, dass diese in der Realität doch etwas stark abweicht. Siehe Anhang hierzu. Berechnet wurden 831,6nH gemessen wurden 1,16µH +/-10%.
A. R. schrieb: > Hier musst du mir noch auf die Sprünge helfen. Ich weiß, dass das H-Feld > eines unendlich Langen Drahtes unabhängig von der Drahtdicke ist > (Durchflutungsgesetz). Jedoch haben wir hier keinen unendlich langen > Draht und auch keinen Fall symmetrischen Fall. Das heißt doch, dass ich > davon ausgehen muss, dass sich das Feld in einem beliebigen Punkt im > Raum ändert, wenn ich den Drahtdurchmesser variiere. Schau doch mal hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Durchflutungsgesetz Das Magnetfeld außerhalb des Drahtes weiß nichts mehr über die Entstehungsgeschichte, hier ist dann sogar der Skinn-Effekt irrelevant. Genauso wie bei der Gravitation, wo es außerhalb der anziehenden Masse irrelevant ist, wie diese im Inneren verteilt ist. Verwendet wird dieser Aspekt beim http://de.wikipedia.org/wiki/Zangenamperemeter Um ein Drahtstück bildet sich ein kreisförmiges Magnetfeld aus. Die Vereinfachung mit dem unendlich langen Draht dient nur dazu, sozusagen das „reine Feld“, verursacht durch diesen Draht zu erhalten. Ansonsten müsstest bei einem gebogenen Draht komplizierte geometrische Überlagerungen berücksichtigen und auch noch das Feld des notwendigen Rückstroms hinzufügen. >>Über r integriert kommt dann der Logarithmus raus. > Ganz so einfach ist das nicht. Wenn ich über r Integriere habe ich > variable Integrationsgrenze. Was meinst Du mit „variable Integrationsgrenze“? Die Integrationsgrenzen sind es, die dann im Logarithmus auftauchen. Deshalb meinte ich auch „keine Angst vor der Divergenz“. Du summierst die Energieinhalte der einzelnen Volumenelemente bis hin zum Draht. Da gibt es dann keine praktische Divergenz, da dein Drahtdurchmesser endlich ist, ist auch die Energiedichte in der Nähe des Drahtes endlich. Da aber in der Nähe des Drahtes viel Energie gespeichert wird, ist der Drahtdurchmesser von rechnerischer und praktischer Bedeutung. > Ich habe auch mal die Formel in Wikipedia überprüft und komme darauf, > dass diese in der Realität doch etwas stark abweicht. Siehe Anhang > hierzu. > Berechnet wurden 831,6nH gemessen wurden 1,16µH +/-10%. Nur mal kurz: Eventuell könntest Du diese Messung noch mal wiederholen mit einem soliden (dicken) Draht und mit der Messung direkt an der Spule. Der Vorwiderstand für die Referenz sollte dann auch unmittelbar an der Spule sein. Ich hatte vor längerer Zeit auch mal solche Messungen gemacht, finde meine Aufzeichnungen momentan aber nicht. Ich nahm einen emmitergekoppelten Oszillator den ich grad so zum Schwingen brachte. Durch wahlweises Parallelschalten eines recht genauen Kondensators konnte ich die Eigenkapazitäten rausrechnen. Gruß
Nach der Gleichunng von Dr. Spengler ergibt sich 4 uH.
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