Beweis, dass die 3. Wurzel aus 3 irrational ist

[Alexander F. (alexf91)]

Ich würde gerne wissen, ob mein Beweis richtig ist.
Der Ansatz ist ein indirekter Beweis.

$$\sqrt[3]{3} = \frac{p}{q}$$

unter der Voraussetzung, dass p und q teilerfremde natürliche Zahlen 
sind.

$$3 = \frac{p^{3}}{q^{3}}$$

$$3 q^{3} = p^{3}$$

Aus der Voraussetzung, dass beide Variablen teilerfremd sind folgt 
hiermit, dass beide ungerade sind.
Da p^3 ebenso wie p durch 3 teilbar ist, kann man p durch 3r ersetzen.

$$p=3r$$

Daraus folgt:

$$3q^{3}=27r^{3}$$

Man erkennt daraus sofort, dass auch q durch 3 teilbar sein muss, was 
aber der Voraussetzung widerspricht, dass beide teilerfremd sind. Die 
Aussage ist somit widerlegt, die 3. Wurzel aus 3 somit irrational.

Ist dieser Beweis mathematisch zulässig bzw. gibt es andere oder 
einfachere Möglichkeiten?

[Purzel H. (hacky)]

So ganz nebenbei gibt es 3 dritte Wurzeln ... zwei davon sind Komplex.

[Alexander F. (alexf91)]

Drei von Vier schrieb:
> So ganz nebenbei gibt es 3 dritte Wurzeln ... zwei davon sind Komplex.

DAS ist mir derzeit egal, sie sind auf jeden Fall nicht rational ;)

[Karl H. (kbuchegg)]

Alexander F. schrieb:

> Daraus folgt:
>

$$3q^{3}=27r^{3}$$

> Man erkennt daraus sofort, dass auch q durch 3 teilbar sein muss

Woran erkennst du das?

Der Schritt scheint mir nicht recht zulässig zu sein.


> Da p^3 ebenso wie p durch 3 teilbar ist
Hmm. Stimmt das?
Wenn p^3 durch 3 teilbar ist, dann ist auch p durch 3 teilbar?

(Mag sein, dass das stimmt. Der Beweisschritt ist mir aber persönlich 
etwas zu groß)

[Manfred L. (egonotto)]

Hallo,

der Beweis ist in Ordnung. Wenn man bedenkt, dass p und q ein Produkt 
von verschiedenen Primfaktoren ist, sind die Beweisschritte auch nicht 
zu groß.

MfG
egonotto

[Unbekannt U. (Gast)]

Karl Heinz Buchegger schrieb:
> Alexander F. schrieb:
>
>> Daraus folgt:
>>

$$3q^{3}=27r^{3}$$

>> Man erkennt daraus sofort, dass auch q durch 3 teilbar sein muss
>
> Woran erkennst du das?

Dividiere durch 3, dann steht da noch:

$$q^3 = 3 * 3 * r^3$$

> Hmm. Stimmt das?
> Wenn p^3 durch 3 teilbar ist, dann ist auch p durch 3 teilbar?

Ja. Schau mal: Jede natürliche Zahl ist ein Produkt aus Primzahlen. 
Nehmen wir mal eine Zahl x aus zwei Prim-Faktoren p1 und p2.

Was gibt nun x^3? Ganz einfach:

$$x * x * x$$

Da aber jedes unserer x ein Produkt aus p1 und p2 ist, wird das effektiv 
zu:

$$p1 * p1 * p1 * p2 * p2 * p2$$

Es ändern sich beim potenzieren "nur" die Anzahl der einzelnen 
Prim-Faktoren entsprechend, aber es kommen keine neuen dazu noch 
verschwinden welche.

Wenn also eine Zahl x^3 durch 3 teilbar ist, und x eine natürlich Zahl 
ist, ist x auch durch 3 teilbar, da in x^3 mindestens 3, 6, 9, bzw. n*3 
mal der Prim-Faktor 3 drin sein muss.

Von hier ist es nicht mehr schwer, die Beweiskette zu verstehen.