Schnittwinkel Vektor Ebene

[Martin (Gast)]

Hallo,

ich habe eine Menge von Vektoren (x y z). Alle Vektoren haben ihren 
Ursprung bei (0 0 0). Außerdem habe ich eine Ebene in hessescher 
Normalform.

Nun möchte ich die Winkel zwischen den Vektoren und der Ebene bestimmen. 
Dazu habe ich folgenden Link gefunden:
http://www.rither.de/a/mathematik/lineare-algebra-und-analytische-geometrie/winkel/winkel-zwischen-gerade-und-ebene/

Demnach berechne ich den Winkel zwischen der Normalen der Ebene und den 
Geraden, deren Richtungsvektoren ja durch meine Menge von 
Punkten/Vektoren gegeben ist.

Ich rechne nun also für jeden meiner Vektoren acos((n * v) / (|n| * 
|v|)). Dabei ist v der aktuelle Vektor und n ein Vektor aus den 
Parametern der hesseschin Normalform (n_x n_y n_z) und n * v das 
Skalarprodukt.
Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist n doch der Normalenvektor 
der Ebene.

Wenn ich dies durchrechne, PI/2 abziehe, dann bekomme ich einen 
betragsmäßig maximalen Winkel von 1.57045 rad = 89.98°.

Ist die Rechnung soweit richtig und kann ich einfach das Vorzeichen 
ignorieren? Ich bekomme nach der Subtraktion von PI/2 einen negativen 
Winkel. Mich verwirrt das Vorzeichen irgendwie etwas und ich bin mir 
auch gerade nicht sicher ob das wirklich so geht.

[Karl H. (kbuchegg)]

Martin schrieb:

> Ist die Rechnung soweit richtig und kann ich einfach das Vorzeichen
> ignorieren? Ich bekomme nach der Subtraktion von PI/2 einen negativen
> Winkel.

In dem Fall zählst du dann nochmal PI dazu. Du bist dann einfach 'auf 
der anderen Seite' des Normalvektors.

> Mich verwirrt das Vorzeichen irgendwie etwas

Wenn es nur um den Normalvektor geht, dann wurde dir das Vorzeichen des 
Produktes aus Punkt und Normalvektor die Aussage erlauben, auf welcher 
Seite der Ebene sich der Punkt befindet: Über der Ebene oder unter ihr.
Wobei 'über' definiert ist, als die Richtung, in die der Normalvektor 
zeigt. Eine Ebene (ein infinitesimal dünnes Blech) hat ja 2 Seiten.

> und ich bin mir
> auch gerade nicht sicher ob das wirklich so geht.

Das passt schon.

[Martin (Gast)]

Ah da bin ich beruhig. Also dann kann ich über das Vorzeichen eine 
Aussage darüber treffen, ob mein Vektor vor der hinter der Ebene liegt. 
Das ist auch schonmal praktisch.

[Karl H. (kbuchegg)]

Karl Heinz Buchegger schrieb:

> Wenn es nur um den Normalvektor geht, dann wurde dir das Vorzeichen des
> Produktes aus Punkt und Normalvektor die Aussage erlauben, auf welcher
> Seite der Ebene sich der Punkt befindet:

AUtsch.
Schwerer Fehler.

Natürlich das Skalarprodukt des Punkt-Vektors und der Ebenengleichung. 
Der Normalvektor ist ja nur Teil der vollständigen Ebenengleichung.