Definitionsbereich Tangens und Kotangens

[Max S. (caligula141)]

Hallo Zusammen,

wir sind uns sicherlich alle einig, wenn ich sage, dass Tangens und 
Kotangens so definiert werden:

tanx:= sinx/cosx
cotx:= cosx/sinx

Der Nenner darf ja niemals 0 sein. Aus diesem Grund müssen ja die 
Nullstellen der Cosinusfunktion im Falle des Tangens und die Nullstellen 
der Sinusfunktion im Falle des Kotangens weggelassen werden.

Bei Wikipedia(http://de.wikipedia.org/wiki/Tangens_und_Kotangens) wird 
dann, so wie ich diese Schreibweise verstanden, gesagt:

tanx:= sinx/cosx
ohne x=(pi/2)+k*pi mit k Element der ganzen Zahlen

cotx:= cosx/sinx
ohne x=k*pi mit k Element der ganzen Zahlen

Das ist für mich nicht einleuchtend. Müsste man das nicht so ausdrücken?

tanx:= sinx/cosx
ohne x=sinx/((pi/2)+k*pi) mit k Element der ganzen Zahlen

Hier wird der Tangens nochmal anders definiert. Und ich verstehe nicht 
wo dieser Term hinter x ungleich ... kommt: 
http://www.schulminator.com/mathematik/trigonometrie

Kann mich jemand aufklären?

Gruß

Caligula

[Karl H. (kbuchegg)]

Max S. schrieb:

> Das ist für mich nicht einleuchtend. Müsste man das nicht so ausdrücken?
>
> tanx:= sinx/cosx
> ohne x=sinx/((pi/2)+k*pi) mit k Element der ganzen Zahlen

Du kannst doch nicht x dadurch definieren, indem du es auf der rechte 
Seite der Definition wieder verwendest!

Ausserdem brauchst du das auch nicht.
Was du ausdrücken willst ist doch, dass du nicht durch nicht durch 0 
dividieren darfst, d.h. der Divisor nicht 0 werden darf.
Der Divisor ist aber cos(x) und dieser Ausdruck wird genau dann zu 0, 
wenn x gleich Pi/2 oder irgendein anderes ganzzahliges Vielfaches von PI 
dazu versetzt ist. (vulgo 90° und alle weiteren Winkel, die um 180° zu 
den 90° versetzt sind, also 90°, 270°, 450°, ... IN Radianten sind das 
dann eben pi/2, 3pi/2, 5pi/2, 7pi/2, etc.)

Und genau das steht dann auch da.

[Karl H. (kbuchegg)]

Max S. schrieb:

> Hier wird der Tangens nochmal anders definiert. Und ich verstehe nicht
> wo dieser Term hinter x ungleich ... kommt:
> http://www.schulminator.com/mathematik/trigonometrie
>
> Kann mich jemand aufklären?

Setz einfach mal für k nacheinander die Werte 0, 1, 2, 3, 4, ein und 
rechne die Ausdrücke aus. (pi lässt du einfach als pi)
Du wirst sehen, dass das völlig identische Formulierungen sind.





  pi
 ----  + k*pi
  2

den 2.ten Ausdruck so erweitern, dass er ebenfalls zu einem Bruch wird 
mit dem Nenner 2

  pi    2*k*pi
 ---- + ------
  2       2

Jetzt können die Brüche addiert werden

    pi + 2*k*pi
   -------------
        2

pi herausheben

    pi ( 2*k + 1 )
   ----------------
        2

die Multiplikation im Zähler soweit auflösen, dass der Klammerterm vom 
Bruchstrich runterkommt

                 pi
    (2k + 1) * -----
                 2

und du hast die Form von der letzten Web-Seite

In dem einen Fall definiert man eben, dass man ganzzahlige Vielfache von 
PI addieren muss. Im anderen Fall definiert man eben, dass man den 
Faktor verdoppelt und dafür als Ausgleich eben nicht mit Pi, sondern mit 
Pi/2 multipliziert. Was den 'Vorteil' hat, dass man die ersten Pi/2, die 
in der ersten Version für sich alleine stehen, dann auch noch mit ins 
Boot 'Vielfache von' holen kann.

[Max S. (caligula141)]

Vielen Dank für die anschauliche Erklärung! Hab alles verstanden.

Einen guten Rutsch ins Jahr 2013!