Schaltung verstehen

[Thomas F. (devil13)]

Hallo,

ich versuche gerade einen Teil einer Schaltung zu verstehen.
Was die Schaltung macht, habe ich bereits durch Simulation rausbekommen.

(Schaltung siehe Anhang)


Die Schaltung entfernt mit dem Kondensator einen ewtl vorhandenen Offset 
vom Eingangssignal (Funktionsgenerator).

Anschließend wird das Eingangssignal um ein durch R1 und R2 festgelegtes 
Verhältnis von 5V erhöht.


Nun mein eigentliches Problem:
Ich versuche diesen Teil zu verstehen und habe mir dazu die 
Ausgangsspannung in Abhängigkeit der Eingangsspannung aufgestellt (w = 
Kreisfrequenz).

Ua = R2/(R1 - 1/(jwC)) * 5V + ( R2/(R2 + 1/(jwC)) - R2/(R1 - 1/(jwC)) ) 
* Ue

Allerdings hilft mir das für mein Verständnis garnicht weiter.

Ist die Eingangsspannung konstant gleich 0V, dann schließe ich aus der 
Funktion oben, dass die Ausgangsspannung R2/(R1 - j*inf) also 0 wäre.
Aber in der Simulation ist dies nicht der Fall.

Wie kann ich also aus der Gleichung das Verhalten der Schaltung ablesen?

[sebihepp (Gast)]

Für deinen Fall mit der Eingangsspannung Konstant 0V, wirkt C2 wie eine 
Sperre - Minus hat er 0V und seine Plus seite an 2,5V. Er lädt sich also 
auf 2,5V auf und dann passiert nichts mehr. Am Oszilloskop Kanal B 
siehst du also eine ansteigende danach konstante Spannung bis 2,5V.

[Hui (Gast)]

Deine Formel scheint falsch zu sein. oder ich sehe sie nicht richtig

Ich versuche es mal zu erklären wie ich es lösen würde. Dazu schreibe 
ich meinen vollständigen Rechenweg hin, mit Anmerkungen.
Der Kondensator schreit  nach einer Differenzialgleichung, ich nehme 
einfach mal an, das hast du in der Schule nicht gelernt, aber solange du 
nur sinusförmige Größen hast kann man das recht einfach umschiffen, und 
so werdet ihr das bisher auch immer gemacht haben.

UB = 5V

Ganz harmlos am Anfang:
Ua = UR2 = iR2 * R2

Knotengleichung:
iR2 = iC + iR1

Ströme ausrechnen:
iR1 =(UB-UA)/R1

Jetzt zum Kondensator
iC = C*d(Ue-Ua)/dt zur einfacheren Rechnerei Laplace-Transformation
iC = sC*(Ue-Ua) Sonderfall Sinus
iC = jwC*(Ue-Ua) Das sollte dir bekannt vorkommen.

Das in die Knotengleichung einsetzen:
iR2 = jwC*(Ue-Ua) + (UB-UA)/R1

Wir erinnern uns an den harmlosen Anfang, und multiplizieren das ganze 
mit R2, somit erhalten wir
iR2*R2 = (jwC*(Ue-Ua) + (UB-UA)/R1) * R2

Ua = (jwC*(Ue-Ua) + (UB-UA)/R1) * R2

alles was Ua enthält nach Links, der rest bleibt stehen:

Ua (1+R2/R1+jw*R2*C) = Ue * jw*R2*C + UB * R2/R1

Nun lassen wir das Ua allein:
     Ue * jw*R2*C + UB * R2/R1
Ua = -------------------------
         (1+R2/R1+jw*R2*C)

Teilen zur besseren Übersicht den Bruch auf:
        Ue * jw*R2*C        UB * R2/R1
Ua = ----------------- +  ----------------
     (1+R2/R1+jw*R2*C)    (1+R2/R1+jw*R2*C)

Jetzt sehen wir hoffentlich folgendes
1. Für Frequenzen f = 0 fliegt der erste Term raus, und im Zweiten alles 
was jw enthält

    UB * R2/R1
Ua =-----------
     (1+R2/R1)

Doppelbrüche mag keiner deswegen multiplizieren wir Nenner und Zähler 
mit R1, dadurch ändert sich der Wert des Bruches nicht.
    UB * R2
Ua =-------
    (R1+R2)

Kommt mir bekannt vor, sieht aus wie ein unbelasteter Spannungsteiler, 
scheint wirklich so das Gleichspannungen am Eingang keine Auswirkungen 
auf den Ausgang haben.

Dazu noch weitere Fragen?

[Thomas F. (devil13)]

Wow, das war exzellent erklärt! Vielen Dank :)

Eine Frage habe ich aber noch .... den Spezialfall f = 0 haben wir nun 
ja durchgespielt ... aber wenn ich für w = 100 und für Ue = 1 einsetze 
(was dann ja einem Sinussignal und 1V Amplitude entsprechen sollte) 
erhalte ich für

R1 = 50*10^3
R2 = 50*10^3
C = 2.2*10^-6
Ub = 5

Ua(w=100) = 1.048 - 0.264 * j
Ua(w=1000) = 1.000 - 0.0272 * j

... daraus würde ich schließen, dass mit steigender Frequenz das Signal 
nahezu unverändert an den Ausgang weitergegeben wird.

Aber wie kann ich mathematisch das Ausgangssignal zu anderen 
Eingangssignalen berechnen? (Rechteck, Dreieck, Sinus mit Offset etc.)

[minifloat (Gast)]

Wie man das berechnet?  Eingangssignal und die Impulsantwort 
Laplace-Transformieren und multiplizieren. Das entspricht einer Faltung 
im Zeitbereich. Dann wieder zurücktransformieren.
Du kannst auch die Differenzialgleichung lösen... Oder einen 
Schaltungssimulator benutzen, der löst die Diff-Gleichung numerisch. mf

[A.Max S. (amf)]

Thomas F. schrieb:
> ... daraus würde ich schließen, dass mit steigender Frequenz das Signal
>
> nahezu unverändert an den Ausgang weitergegeben wird.

Ja, diese Überlegung ist richtig (Stichwort: Hochpass).
Das Ausgangssignal ist dann um den Geiechspannungspegel 2,5 V 
"hochgelegt".

[Kater brummt-sehr gut! (Gast)]

minifloat schrieb:
> Wie man das berechnet?  Eingangssignal und die Impulsantwort
> Laplace-Transformieren und multiplizieren. Das entspricht einer Faltung
> im Zeitbereich. Dann wieder zurücktransformieren.
> Du kannst auch die Differenzialgleichung lösen... Oder einen
> Schaltungssimulator benutzen, der löst die Diff-Gleichung numerisch. mf

Aber mindestens noch Relativistische Effekte einbauen und den 
quantisierten Hall Effekt.
Schwarze Löcher als Ergebnis sind auch gefürchtet. Danach flüchtet man 
in den Zustandsraum und erhängt sich in einer Endloschleife. :))))))))))

Ganz dumm wäre es nun, die beiden Rs im Kopf zu einer Ersatzquelle mit U 
= 2.5V und mit Re = 25 kOhm zu formen. Damit wird Uaus = Ugen jwCRe / 
(1+jwReC) + 2.5V. bei Ri gen = 0.   In Dieser Normalform: fg bei wCRe = 
1. Fertig in 10s.

[Kater brummt-sehr gut! (Gast)]

Ach so, und mit der o.a Übertragungsfunktion dann die Methoden von 
minifloat anwenden, wenns kein Sinus sein soll. Das willst Du aber nicht 
wirklich in einem Forum erklart bekommen, sondern im Hörsaal.  (und 
aufpassen, daß dabei kein schwarzes Loch entsteht! )
:))))))

[Stefan (Gast)]

Sorry, aber diese Gleichung übesteigt meinen Horizont. Um die 
Ausgangsspannung zu berechnen, würde ich so vorgehen:

Zunächst mal stelle ich fest, dass es sich um einen Spannungsteiler 
handelt, aus C und den beiden Widerständen.

Ich nehme an, das das Netzteil für die Frequenz des Signals einen 
vernachlässigbar geringen Ausgangswiderstand hat. Demnach wirken die 
beiden Widerstände auf den AC Anteil, als seien sie parallel geschaltet.

Da die beiden Widerstände den gleichen Wert haben, kann ich das im Kopf 
ausrechnen - ergibt 25k Ohm. Ansonsten hätte ich den Taschenrechner 
geholt.

Der Widerstand des Kondensators ist 1/(2*Pi*F*C). Bei 10 Hz sind das 
etwa 8k Ohm.

Übrig bleibt also ein Spannungsteiler mit 8k Ohm und 25k Ohm. Die 
Ausgangsspannung ist:

Eingangsspannung / (8k + 25k) * 25k

Nun kommt noch der DC-Offste dazu:

Für Gleichspannung ist der Kondensator undurchlässig. Somit ergibt sich 
der DC Offset am Ausgang ausschließlich aus dem Verhältnis der beiden 
Widerstände. In diesem Fall ist der DC Offset ganz simpel die Hälte der 
Versorgungsspannung.

Das ist jetzt weniger Akademisch, führt aber auch zum Ziel.

[Stefan (Gast)]

> Aber wie kann ich mathematisch das Ausgangssignal zu anderen
> Eingangssignalen berechnen?

Wow, Du stellst Fragen! Ich habe keine Ahnung, und ganz ehrlich bin auch 
auch froh, dass ich sowas nicht berechnen muss. Ist sicher sehr komplex.

[Hui (Gast)]

Du nimmst meine Gleichung von oben ersetzt jw durch s.

Nun nimmst du ein schlaues Buch oder das Internet, schaust nach wie die 
laplacetransformierte Rechteckfunktion/Whatever aussieht. Pass auf das 
du nicht beim Rechteckimpuls landest ;)

Nun ersetzt du Ue mit der von dir gefundenen Funktion:

                                     s*R2*C            UB * R2/R1
Ua = RECHTECK_FUNKTION(LAPLACE)* ----------------- +  ----------------
                                 (1+R2/R1+s*R2*C)    (1+R2/R1+s*R2*C)

Da ich die Funktion nicht kenne, und auf die schnelle auch nicht 
gefunden habe, beschreibe ich das weitere vorgehen:

Schlaues Buch nehmen, eine Laplace -> zeitbereich Korrespondenztabelle 
suchen, nun die Funktion von oben in ihre partialen Brüche zerlegen 
(Stichwort: Partialbruchzerlegung) dann jeden Bruch mithillfe der 
Tabelle in den Zeitbereich umwandeln. Das was du dann da stehen hast 
vereinfachen.

Ach ja das ganze ist wie andere hier schon angemerkt haben nicht einfach 
;)

Alternativ:
Wie du vielleicht weißt kann man alle Signalarten auch durch eine Summe 
von Sinusen ersetzen. (Fourie-Transformation)


Dann sollte das so aussehen(ist nur eine Überlegung von mir):

                         jwk*R2*C             UB * R2/R1
Ua = Ue*(a(k)+jb(k))*------------------ + ------------------
                     (1+R2/R1+jwk*R2*C)   (1+R2/R1+jwk*R2*C)

Und dann musst du das halt für alle k von 0 bis unendlich machen, bzw. 
solange du möchtest.


Aber meistens betrachtet man keine periodischen Signale mit Ausnahme von 
Sinus, weil es enorm viel Rechenaufwand ist, und überlässt die Arbeit 
Simulatoren. Du könntest mit LT-Spice den Schaltplan nachbauen oder mit 
Scilab die Funktion berechnen lassen.

[Thomas F. (devil13)]

Vielen Dank für alle Antworten! :)

Ich habe mich nochmal versucht mit meinem Verständnisproblem zu 
befassen.

Ich schreibe hier mal kurz mein vorgehen (es war nie der Plan alles von 
Hand zu machen, sondern zu verstehen, wie das generelle Vorgehen ist und 
die gleichen Ergebnisse, wie in der Simulation, zu errechnen - also mit 
z.B. dem Computer)

1) Das ganze simuliert ... das Resultat im

2) erstmal habe ich die konkreten Werte der Bauteile eingesetzt, damit 
sich die Formeln etwas vereinfachen.

Also:
R1 = 50*10^3;
R2 = 50*10^3;
C1 = 2.2*10^-6;
Ub = 5;

            (Ue*s*R2*C1)                (Ub*R2/R1)
aus  G = --------------------   +  --------------------
         (1 + R2/R1 + s*R2*C1)     (1 + R2/R1 + s*R2*C1)

wird also

G = 250000/(100000 + 5500*s)+ Ue * (5500*s)/(100000 + 5500*s)


3) das Eingangssignal

freq = 50;
offset = 1;

Ue = Sin[2*Pi*freq*t] + offset;

4) Ue Laplacetransformiert

         1         100*Pi
L{Ue} =  -  +  --------------
         s     10000*Pi^2+s^2

5) L{Ue}*G ... das wird dann ne sehr unhandliche Formel ... aber wird 
schon stimmen, was Matematica da berechnen ...

          (98696+s (314.159+s)) (5+0.11*s+0.11*s*Sin[100*Pi*t])
L{Ue}*G = ----------------------------------------------------
                   (2+0.11*s)*s*(98696+s^2)


6) L^-1{ L{Ue}*G } = Ua wird dann richtig unhandlich ... die Formel ist 
aber im Anhang

... fertig ... dann noch plotten und das Ergebnis ist auch im Anhang.

Allerdings weicht das Resultat doch recht stark von der Simulation ab 
...
In der Simulation ist das Ausgangssignal zwischen rund 1,5V und 3,5V und 
sieht nach einem reinen Sinus aus ...
In der Berechnung ist das Ausgangssignal zwischen rund 2V und 4,5V und 
sieht garnicht nach einem reinen Sinus aus ...


... was habe ich falsch gemacht?

[Thomas F. (devil13)]

... ich glaube, ich habe den Fehler gefunden ...

Die Funktion die ich als G bezeichnet habe ist nicht die (wie von mir 
angenommene) Übertragungsfunktion.


Ich bin jetzt aber erstmal klar gekommen und habe ein Plot erzeugen 
können, das richtig ist.

$$ue(t) = Sin(2*Pi*50*t) + 1$$

Mein Vorgehen hierbei war:
1. Die DGL von Hui ganz oben Laplacetransformieren und nach ua[s] 
auflösen (mit entsprechenden Anfangsbedingungen ua[0]=0).

DGL:

$$\frac{ua(t)}{R2} = C (ue'(t)-ua' (t)) + \frac{ub-ua(t)}{R1}$$

$$Ua(s) = \frac{R2*(100*Pi*C*R1*s^2+s^2*ub+10000*Pi^2*ub)}{s*(s^2+10000*Pi^2)*(C*R1*R2*s+R1+R2)}$$

2. Das ganze wieder zurücktransformieren
Die Formel ist im Anhang zu sehen. Schön zu sehen ist auch der Term

$$\frac{UB * R2}{R1+R2}$$

den wir ganz zu Anfang berechnet haben.


--------------------------------------------------------------


Ein letzte Frage habe ich aber noch:
Ich habe im Internet gelesen, dass man die Übertragungsfunktion aus der 
Laplacetransformierten der Impulsantwort bekommt. Also wenn ich für ue 
kein Sinus, sondern den Einheitssprung einsetze.

Damit komme ich auf

$$G(s) = \frac{R2*(C1*R1*s^2+ub)}{s*(C1*R1*R2*s+R1+R2)}$$

Jetzt habe ich es so verstanden, dass ich diese Übertragungsfunktion mit 
jeder beliebigen Laplacetransformierten eines Eingangssignals 
multiplizieren kann und mit der Rücktransformation auf das 
Ausgangssignal für ein beliebiges Eingangssignal komme.

Die Laplacetransformierte von

$$Ue(s) = \frac{100*Pi}{s^2+10000*Pi^2} + \frac{1}{s}$$

multipliziert und zurücktransformiert ergibt aber eine völlig andere 
Funktion und folglich einen komplett anderen Plot (siehe Anhang)?

Ich versteh nicht warum?!
Sieht einer meinen Fehler?
Ein Tipp wäre sehr nett.

[Thomas F. (devil13)]

Hab nochmal versucht das Ganze zu durchdenken und nochmal nach Fehlern 
zu suchen.

... ich konnte keine finden und habe auch sonst nicht rausfinden können, 
was ich falsch gemacht habe ... hat wirklich keiner eine Idee?

Wäre echt sehr hilfreich :)