Grenzfrequenz von Filterschaltungen

[gfreq (Gast)]

Hallo,
ich bin mir bei der Definition der Grenzfrequenz unsicher.
Eigentlich dachte ich, dass folgender Zusammenhang gilt:

$$\left|\frac{\underline{U}_a(\omega_g)}{\underline{U}_{a, max}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Nun hab ich aber folgenden Zusammenhang oft gesehen:

$$\left|\frac{\underline{U}_a(\omega_g)}{\underline{U}_{e}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Was ja im allgemeinen nicht gleich sein dürfte?

Wie würde ich für den Tiefpass erster Ordnung (im Anhang) die 
Grenzfrequenz berechnen?

[Helmut S. (helmuts)]

Deine erste Gleichung ist richtig.

Die zweite passt nur, wenn Uamax=Uin ist z. B. beim RC-Tiefpass.

[gfreq (Gast)]

Also muss ich die erste Gleichung zur Berechnung des obigen Tiefpasses 
nutzen, da ja

$$U_e \neq U_a$$

 gilt und somit die zweite Formel nicht anwendbar ist?

[gfreq (Gast)]

ich meine

$$U_e \neq U_{a,max}$$

[Axel S. (a-za-z0-9)]

Ganz allgemein unterscheidet man bei Filterschaltungen das Passband (wo 
das Signal mehr oder weniger ungehindert passiert) und das Sperrband (wo 
das Signal gesperrt wird). Die Grenzfrequenz ist die Frequenz, bei der 
eine Dämpfung von 3dB gegenüber dem Passband erreicht wird. Dabei wird 
stillschweigend angenommen daß der Amplitudenverlauf im Passband flach 
ist und der Übergang vom Passband zu Sperrband monoton verläuft.

Deine erste Gleichung erlaubt eine beliebige Dämpfung (oder Verstärkung) 
im Passband, während die zweite von V = 1 = 0dB im Passband ausgeht. 
Beide Fälle unterscheiden sich nur um die konstante Leerlaufverstärkung, 
sind qualitativ aber gleichwertig.


XL

[gfreq (Gast)]

Axel Schwenke schrieb:
> Deine erste Gleichung erlaubt eine beliebige Dämpfung (oder Verstärkung)
> im Passband, während die zweite von V = 1 = 0dB im Passband ausgeht.
> Beide Fälle unterscheiden sich nur um die konstante Leerlaufverstärkung,
> sind qualitativ aber gleichwertig.

Das heißt ich kann die Grenzfrequenz meines Beispiel Tiefpasses in dem 
ersten Post, doch mittels

$$\left|\frac{\underline{U}_a(\omega_g)}{\underline{U}_{e}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

 berechnen? Kannst du das noch ein wenig begründen?

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Beim Tiefpass würde ich als nominelle Passbandamplitude diejenige für
den DC-Fall definieren. Dann ist die Bedingung für die Grenzfequenz
folgende:

$$\left|\frac{\underline{U}_a(\omega_g)}{\underline{U}_{a}(0)}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Das passt dann für

- einfache RC-Tiefpässe

- Tschebyscheff-Tiefpässe, wo Ua,max>Ua(0) ist

- Tiefpässe mit einer von 1 verschiedenen Verstärkung bzw. Dämpfung im
  Passband (wie im obigen Beispiel)

Für Hochpässe mit unebenem Passbandverlauf wird es schwieriger, da man
dort nicht so leicht eine Bezugsfrequenz für die nominelle Passband-
amplitude angeben kann. f=unendlich wäre zwar mathematisch, aber nicht
praktisch sinnvoll.

[Axel S. (a-za-z0-9)]

gfreq schrieb:
> Axel Schwenke schrieb:
>> Deine erste Gleichung erlaubt eine beliebige Dämpfung (oder Verstärkung)
>> im Passband, während die zweite von V = 1 = 0dB im Passband ausgeht.
>> Beide Fälle unterscheiden sich nur um die konstante Leerlaufverstärkung,
>> sind qualitativ aber gleichwertig.
>
> Das heißt ich kann die Grenzfrequenz meines Beispiel Tiefpasses in dem
> ersten Post, doch mittels
>

$$> \left|\frac{\underline{U}_a(\omega_g)}{\underline{U}_{e}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}} >$$

 berechnen? Kannst du das noch ein wenig begründen?

Das habe ich nicht gesagt (und muß es deswegen auch nicht begründen)

Es ist eine gängige und weithin akzeptierte Annahme, daß die Verstärkung 
im Passband = 1 = 0dB ist (gilt z.B. für die meisten passiven Filter). 
Und unter dieser Annahme stimmt diese Gleichung. Damit dir das jemand 
abkauft, mußt du diese Annahme aber auch wenigstens mal erwähnen. Wenn 
du das nicht tust und die Leerlaufdämpfung (bzw. Verstärkung) beliebige 
Werte annehmen läßt, dann wird die Gleichung falsch.

Mathematik ist nun mal eine exakte Wissenschaft und verlangt Exaktheit.

Vielleicht noch ein paar Worte zum Thema qualitativ gleichwertig. Das 
Verstärkungsverhalten einer Filterschaltung wird durch den 
Amplitudengang - eine Kurve in einem V/f Diagramm - vollständig 
beschrieben. Wenn V logarithmisch (vulgo: in dB) aufgetragen ist, dann 
bewirkt eine konstante Verstärkung (bzw. Dämpfung) lediglich eine 
Verschiebung der Kurve nach oben (bzw. unten). Auch wenn dann die 
quantitative Verstärkung bei einer Frequenz f_x von der Verschiebung 
beeinflußt wird - weder die Grenzfrequenz noch die Steilheit des 
Übergangs ist davon betroffen. Die qualitativ gleichwertigen Schaltungen 
können einfach durch Hinzufügung eines Verstärkers (oder 
Dämpfungsgliedes) ineinander überführt werden.


XL