Wechselstromtechnik: gemischt LCR-Schaltung berechnen

[Silvan K. (silvan)]

Moin!

Folgendes vorweg:
1. Ja, es handelt sich um eine Schulaufgabe.
2. Nein, es ist keine Hausaufgabe. Die Aufgabe war Teil einer 
Klassenarbeit und ist damit längst Geschichte.

Folgende Schaltung:
.------o--------o
|      |        |
|      C| L1   --- C1
|      C|      ---
o      C|       |
       |        |
~      |        |
      .-.      .-.
o     | | R1   | | R2
'     | |      | |
|     '-'      '-'
|      |        |
'------o--------o
(created by AACircuit v1.28.6 beta 04/19/05 www.tech-chat.de)

Wie berechne ich den Scheinwiderstand der Schaltung?

Kann ich die Scheinwiderstände der einzelnen Zweige

$$Z = \sqrt{R^2+X^2}$$

mit der Formel für die Parallelschaltung von Widerständen im 
Gleichstromkreis zusammenrechnen?

$${{1} \over {R_{ges}}} = {{1} \over {R_1}} + {{1} \over {R_2}} \Longrightarrow {{1} \over {Z_{ges}}} = {{1} \over {Z_1}} + {{1} \over {Z_2}}$$

Ändert sich durch diese Parallelschaltung der Phasenwinkel in den 
einzelnen Zweigen? Oder sind die in dieser Hinsicht unabhängig 
voneinander?

[Purzel H. (hacky)]

Ausrechnen ? Auch genannt : mach den Beweis

[Test (Gast)]

$$Z=\frac{(R1+jwL)*(R2+\frac{1}{jwC})}{R1+jwL+R2+\frac{1}{jwC}}$$

[Silvan K. (silvan)]

Ich hätte wohl dazu sagen sollen, dass es mit den physikalischen und 
mathematischen Kenntnissen eines Gymnasialschülers rechenbar sein muss.
-> Keine imaginären bzw. komplexen Zahlen, bitte.

Und ich denke, dass ich die Lösung habe. Ich habe mich ein wenig zu 
stark auf Spannung und Widerstand eingeschossen. Wenn ich jedoch die 
Ströme betrachte:

$$I_{ges} = I_1 + I_2$$

bei I = U/R = U/Z:

$${ {U} \over {Z_{ges}} } = {{U} \over {Z_1}} + {{U} \over {Z_2}} \quad \vert {: U}$$

$${ {1} \over {Z_{ges}} } = {{1} \over {Z_1}} + {{1} \over {Z_2}}$$

=> müsste also gehen ;-)
Die Phasenwinkelgeschichte hat sich damit auch erledigt. War eine 
überflüssige Frage, da sich an der Spannung ja nichts verändert und die 
Zweige damit unabhängig voneinander sind :-X
_________________________________________
Danke für die Antworten
.closed.

[blubb (Gast)]

Einspruch!!

Stelle dir mal eine Schltung mit 2 parallelen Bauteilen vor: ein C und 
ein L, beide haben den selben Blindleitwert (Betrag).
Spule: -J*Y    -> |Zl|= 1/Y
Kondensator: J*Y  -> |Zc| = 1/Y

=> Die Gesamtschaltung hat jetzt einen Leitwert von 0 also einen 
unendlich großen Widerstand
(Parallelschwingkreis bei Resonanzfrequenz)

=> laut deiner Formel aber nicht

Du darfst auch nicht einfach die Beträge von Strömen addieren, wenn sie 
nicht in Phase sind, deine Formel stimmt also nicht.

[Helmut L. (helmi1)]

Silvan König schrieb:
> => müsste also gehen ;-)

Noe, das geht nur komplex. Also Realteil und Imaginaerteil getrennt und 
dann den Betrag und Phase bilden.

[Garden (Gast)]

Hör auf blubb, der hat recht.
Ich glaube nicht, dass die Aufgabe an einen Gesamtschüler gerichtet ist.

Ohne komplexe Zahlen geht es zwar, ist aber sehr umständlich.
Du könntest z.B die beiden Ströme addieren (Phasenwinkel betrachten) und 
dann über Z = U / I die Gesamtimpedenz berechnen.

[Silvan K. (silvan)]

Garden schrieb:
> Ich glaube nicht, dass die Aufgabe an einen Gesamtschüler gerichtet ist.

Wäre schön, wenn du Recht hast. Euren Aussagen zufolge geht es also kaum 
ohne komplexe Rechnung. Die haben wir jedoch nie gemacht :-(


Garden schrieb:
> Ohne komplexe Zahlen geht es zwar, ist aber sehr umständlich.
> Du könntest z.B die beiden Ströme addieren (Phasenwinkel betrachten) und
> dann über Z = U / I die Gesamtimpedenz berechnen.

Wie umständlich wäre es (im Rahmen von ca. 25min zu lösen)? Wie addiert 
man die Ströme unter Berücksichtigung des Phasenwinkels?

[U. B. (Gast)]

> Wie addiert man die Ströme unter Berücksichtigung des Phasenwinkels?

Wie Vektoren.
Die symbolische (komplexe Rechnung) macht das ja auch so.

[Test (Gast)]

Am einfachsten ist es wenn, du es mit einem Zeigerbild löst für den 
Strom.

[Silvan K. (silvan)]

Das sehe dann so aus? (siehe Anhang)

Und dann bräuchte ich einfach nur:

$${{U} \over { \left| \overrightarrow{Z_L} + \overrightarrow{Z_C} \right| }} = I_{ges}$$

rechnen?

[U. B. (Gast)]

@Silvan:

Nein, so geht es nicht:

1) Die Impedanzen X(C) und X(L) haben entgegengesetztes Vorzeichen.
2) Es sind zwei Zweige parallelgeschaltet, daher addieren sich nicht die
   Impedanzen, sondern die Admittanzen Y = 1/Z
   ( = Kehrwerte der Impedanzen, "Leitwerte" ).

   Das Addieren geht natürlich "vektoriell", s.o.

[Silvan K. (silvan)]

U. B. schrieb:
> 1) Die Impedanzen X(C) und X(L) haben entgegengesetztes Vorzeichen.

Das verstehe ich nicht.
Laut meiner Formelsammlung:

$$X_L = \omega \cdot L$$

und

$$X_C = {{1} \over {\omega \cdot C}}$$

In beiden Fällen kein negatives Vorzeichen. (es gibt doch keine 
negativen Induktivitäten/Kapazitäten, oder?)

[Helmut L. (helmi1)]

Silvan König schrieb:
> In beiden Fällen kein negatives Vorzeichen.

Doch in komplexer Schreibweise.


XL = jwL

und

XC = 1/(jwC)

man beachte das j = sqrt(-1) steht im Nenner.

um es in den Zaehler zu bekommen wird das ganze mit j/j multipliziert.

das ergibt dann

XC = -j/(wC)

Das j gibt so den Phasenwinkel mit an

j = 90Grad
-j = -90Grad

Schau dir mal die Komplexe Rechnung an

http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl

in der Mathematik wird die imaginaere Einheit mit i anstatt mit j 
bezeichnet
in der E-Technik ist das i allerdings schon vom Strom besetzt.

So wild und geheimnisvoll ist die Komplexe Rechnung nicht.

[Silvan K. (silvan)]

Helmut Lenzen schrieb:
> So wild und geheimnisvoll ist die Komplexe Rechnung nicht.

Das ist gut zu wissen. Und ich freue mich auch schon darauf es zu 
lernen. Die Arbeit wurde jedoch erst vor kurzem geschrieben und dieses 
Wissen hat uns bislang niemand vermittelt.

Ich bin deshalb ausschließlich an einer Lösung ohne Komplexe 
Rechnung interessiert! Gibt es eine solche?

[Helmut L. (helmi1)]

Silvan König schrieb:
> Folgende Schaltung:
> .------o--------o
> |      |        |
> |      C| L1   --- C1
> |      C|      ---
> o      C|       |
>        |        |
> ~      |        |
>       .-.      .-.
> o     | | R1   | | R2
> '     | |      | |
> |     '-'      '-'
> |      |        |
> '------o--------o


So dann rechnen wir das mal durch (Komplex)

Fuer den 1 Pfad kann man schreiben

Z1 = R1 + jwL1

fuer den 2. Pfad


Z2 = R2 + 1/(jwC1)

fuer Zg kann man schreiben

Zg = 1/(1/Z1 + 1/Z2)

oder ausgeschrieben:

               1
Zg = --------------------
          1          1
     --------- + -------------
     R1 + jwL1   R2 + 1/(jwC1)

oder etwas umgeformt

     1 + j^2*w^2*C1*L1 + jwC1R2 + jwR1C1
Zg = ------------------------------------
     R1 + jwL1 + jwR1R2C1 + j^2w^2L1C1R2

das ganze geht mit normaler Grundmathematik die du beherrschen solltes.

so jetzt kommt der Trick.
wie gesagt steht fuer j = sqrt(-1). Das kann man aber nicht rechnen.
aber j^2 kann man aber ausrechnen das ist -1.

unsere Formel damit erweitert ergibt:

     1 - *w^2*C1*L1 + jwC1R2 + jwR1C1
Zg = ------------------------------------
     R1 + jwL1 + jwR1R2C1 - w^2L1C1R2

so jetzt alle Terme die ein j beinhalten zusammenfassen

     1 - *w^2*C1*L1 + j(wC1R2 + wR1C1)
Zg = ---------------------------------
     R1 - w^2L1C1R2 + j(wL1 + wR1R2C1)

sollte fuer dich auch noch nachvollziehbar sein.

so die Teile ohne j im Term sind deine Realteile (Re) die mit j deine 
Imaginaerteile (Im) .


Allgemein gilt fuer den Betrag deiner Impedanz:

|Zg| = sqrt(Re^2 + Im^2)

Dieses auf die obige Formel angewand ergibt:

             (1 - *w^2*C1*L1)^2 + (wC1R2 + wR1C1)^2
|Zg| = sqrt( -------------------------------------- )
             (R1 - w^2L1C1R2)^2 + (wL1 + wR1R2C1)^2

Das j zeigt dir lediglich an was Imaginaer ist und was nicht.
Der Rest ist normale Mathematik die du beherrschen solltest.

PS: Es koennten noch Tippfehler in den Formeln enthalten sein.

[U. B. (Gast)]

@Silvan König:

Z.B. unter der Abb.2 von

http://www.franz-oberthuer-schule.info/cms/cms/upload/projekte/homepage_phy/elektrotechnik/rcl_reihe.html

ist die bekannte Formel für die RLC-Reihenschaltung, mit dem '-', zu 
finden:

Z² = R² + ( Xc - XL )²

[Helmut S. (helmuts)]

1
Zg = --------------------
          1          1
     --------- + -------------
     R1 + jwL   R2 + 1/(jwC)


      (R1 + jwL)*(R2 + 1/(jwC))
Zg =  ----------------------------
      R2+1/(jwC) + R1 +jwL


      (R1 + jwL)*(1+jwCR2)
Zg =  --------------------
      1+jwC(R1+R2)+ jw^2LC


      (R1 +jwCR1R2 +jwL +jw^2LCR2
Zg =  ---------------------------
      1+jwC(R1+R2)+ jw^2LC


      R1-w^2LCR2 +jw(L+CR1R2)
Zg =  -----------------------
      1-w^2LC +jwC(R1+R2)


       sqrt( (R1-w^2LCR2)^2 + (w(L+CR1R2))^2)
|Zg| = --------------------------------------
       sqrt((1-w^2LC)^2 + (wC(R1+R2))^2)


Die letzte Formel ist zwar ohne komplexe Rechnung, aber die steht ja 
sicher nicht in der Formelsammlung.

[Silvan K. (silvan)]

Danke @Helmut S., ich bin seit Stunden am Grübeln, wie der andere Helmut 
auf diese Formel kommt. Deine kann ich nachvollziehen ;-)

[Helmut S. (helmuts)]

@Silvian
Die Formel vom anderen Helmut sind falsch. Schon die Einheiten stimmen 
dort nicht, da dort |Zg| die Einheit Ohm^-1 hat. Außerdem stand bei ihm:
PS: Es könnten noch Tippfehler in den Formeln enthalten sein.
Und ja in seinen Formeln sind Fehler drin. :-)

Meine Formel stimmt!