Wann Z-Trafo, wann Differenzengleichung?

[Mr. Z. (Gast)]

Hallo,
ich habe eine systemtheoretische Frage. Ich will  eine Regelung in einem 
Mikrocontroller realisieren und mir ist nicht ganz klar, wann ich die 
z-Transformation benutzen muss und wann eine Differenzengleichung 
reicht.

Nehmen wir an ich habe eine Abtastfrequenz die 50mal größer ist als die 
Resonanzfrequenz des Systems, und wahrscheinlich 10mal größer als die 
höchste vorkommende Frequenz.

Das Glied hat eine Übertragungsfunktion:

G = kp * (1+ Tv*s)/(1+T1*s)

und im Zeitbereich die DGL:
T1*y' + y = kp * [Tv*x' + x]

Kann ich die DGL als Differenzengleichung betrachten und nach y 
umstellen
so in der Art

y= a1 * (x-x_alt) + b1*y_alt

oder muss ich die bilineare Transformation auf G(s) anwenden?
In der Art
y = A1* x[n-1] + B2*y[n-1]

Die Koeffizienten unterscheiden sich erheblich. Wo liegt denn der Fehler 
wenn ich die Differenzengleichung nehme und das System als 
quasi-kontinuierlich betrachte?

Danke
Mr. Z

[ich (Gast)]

Die Betrachtung im z-Bereich macht nur Sinn, wenn diene Abtastrate sehr 
niedrig ist. Dann hat die Abtastung einen Einfluss auf deine Strecke.

In deinem Fall, ist die Abtastrate 50 mal höher als die Knickfrequenz, 
wenn ich das richtig verstanden habe, damit kannst du die Strecke als 
quasikontinuierlich ansehen. Das bedeutet nichts anderes, als dass die 
Abtastung keine/eine geringe Rolle spielt

Lege deinen Reger an dieser quasikontinuierlichen Strecke aus und 
synthetisiere ihn dann.

G_regler(s) -> G_regler(z) -> Differenzengleichung des Reglers

[Mr. Z. (Gast)]

Ok, danke!
Wo kann man denn die Grenze setzen?
Bei fs/f <= 10 Z-Trafo, sonst quasi-kontinuierlich?

[ich (Gast)]

In verschiedenen Büchern zu diesem Thema stehen verschiedene Grenzen. 
Mit 10 kann man recht gut leben. Prinzipiell steigt der Einfluss der 
Abtastung, wenn der Faktor sinkt. Falls nicht bekannt. Mit Programm wie 
Matlab/Simulink oder Scilab/Scicos (freeware) kann man sich diese 
Problematik genauer anschauen.

[Michael W. (Gast)]

Einwurf: Wie würde man die Z-Transformation einsetzen, um mit geringeren 
Frequenzen auszukommen?

Berücksichtigt die Z-Trafo dann die Negativeffekte durch die zu geringe 
Samplefrequenz? Also Aliasing?

[ich (Gast)]

2. Frage:
Natürlich nicht. Wie soll ein mathematischer Ansatz eine Information 
beschaffen, die nicht mehr existiert?

1. Frage:
Die z-Transformation liefert dir ein mathematisches Modell deiner 
Strecke mit der entsprechend gewählten Abtastfrequenz. Mit einer 
Stabilitätsanalyse kann dann beurteilt werden, ob die Regelung noch 
stabil ist oder stabilisiert werden kann.

[Jan K. (jan_k)]

Naja,laut 
http://de.m.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Transformation_(Signalverarbeitung) 
werden alias Effekte durchaus umgangen..

[Werner M. (Gast)]

Jan K. schrieb:
> Naja,laut
> http://de.m.wikipedia.org/wiki/Bilineare_Transform...)
> werden alias Effekte durchaus umgangen..

Dann erzähle mal, wie das funktionieren soll. Eine Unterabtastung beim 
Erfassen der Daten führt bereits zu Aliasing-Effekten. Und dann ist das 
Kind in den Brunnen gefallen.
Die Bilineartransformation ist eine Entwurfsmethode, um kontinuierliche 
Filter in einen Entwurf für ein zeitdiskretes Filter mit ähnlichem 
Frequenzgang umzurechnen.

p.s. Der Link geht nicht ...

[Jan K. (jan_k)]

Hab' ich irgendwie im Halbschlaf geschrieben. Wenn es im Zeitbereich 
bereits zu einer Unterabtastung kam sind die zu hohen Frequenzanteile 
natürlich futsch.

Irgendwie ging ich davon aus, dass es darum geht, ob die Trafo Alias 
Effekte erzeugt. Das tut sie eben nicht ;)

[Michael W. (Gast)]

Ok, nun ist mir aber nicht klar, warum ich in diesem Fall überhaupt die 
Z-Transformation einsetzen kann/soll und wo der Vorteil liegt?