Fouriertransformation

[Ratloser (Gast)]

In sämtlichen Büchern und Skripten wird für die Fouriertransformation 
das Integral herangezogen. Warum kann bei diesem Integral für

$$e^{-iwt}$$

= 1 angenommen werden ?

Kann das Integral gelöst werden wenn man die e Funktion mit einem Dirac 
multipliziert ?

[uni ingenieur (Gast)]

Irgendwie eine seltsame Frage.

Ratloser schrieb:
> Warum kann bei diesem Integral für ... = 1 angenommen werden ?

Wer sagt das und wo steht das?
Rein mathematisch handelt es sich um die komplexe e-Funktion. Der Betrag 
davon ist 1.

Ratloser schrieb:
> Kann das Integral gelöst werden wenn man die e Funktion mit einem Dirac
> multipliziert ?

Das Integral stellt einen Zusammenhang zwischen Zeit- und 
Frequenzbereich her.
Du setzt für f(t) eine Funktion ein und dann löst du das Integral. 
Allerdings konvergiert das Integral nicht bei jeder Funktion.
Die Lösung stellt dann die Fouriertransformierte des Signals f(t) dar.

[abcd (Gast)]

Deine Frage ist seltsam gestellt. Im Allgemein ist

$$e^{-i \omega t} \neq 1$$

. Nur wenn

$$\omega = 0$$

 oder

$$t= 0$$

 ist, ist das der Fall.

Die Frage zu deiner Frage ist: Was soll f(t) sein?

Wenn

$$f(t) = 1$$

 ist, konvergiert das Integral eigentlich nicht, aber mit Hilfe der 
Distributionstheorie kommt der Dirac Impuls heraus. Genauere Erklärung 
dazu gibt es in fast jedem Buch zur Systemtheorie.

Wenn

$$f(t) = \delta(t)$$

 dann kommt die Ausblendeeigenschaft des Delta-Impulses für beliebiges 
g(x) ins Spiel:

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \cdot g(t)dt = g(0)$$

Setzt man die Delta-Funktion also in die Fourier-Transformation ein, ist

$$e^{-i \omega t} =g(x)$$

 und somit

$$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \cdot g(t)dt = g(0) =\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \cdot e^{-i \omega t}dt = e^{-i \omega 0} = 1$$

Ich hoffe das beantwortet deine Frage. Ich hoffe ich habe mich nicht 
vertext, aber das sind Grundlagen die in praktisch jedem Buch stehen.

[Ratloser (Gast)]

Vielen Dank für die ausführliche Erläuterung.