Dialektrika und Konduktivitäten

[Samuel (Gast)]

Hallo, ich habe eine Frage zum aufgegebenen Beispiel. Was bedeutet es 
eigentlich wenn ich einen Bereich habe mit einer Konduktivität und einem 
Dialektrikum?

Ich kann mir das irgendwie nicht vorstellen. Also wäre es ein reines 
Dialektrikum, dann fließt ja nur ein Verschiebungsstrom durch die 
Blatten. Aber Wenn eine Konduktivität noch dabei ist, dann bedeutet das 
doch theoretisch, dass Elektronen durchfließen können. Sprich ich habe 
einen Leitungswiderstand

$$R=\frac{d}{\gamma A}$$

und wenn ich ein Dialektrika habe, dann bedeutet das, dass ich eine 
Kapazität habe:

$$C=\frac{\epsilon A}{d}$$

Aber wenn beides zusammen ist, dann fließt ja ein Strom. Das bedeutet, 
dass die Ladungen nicht gespeichert werden. Aber wieso brauche ich dann 
das Dialektrikum zu berücksichtigen? Wenn ein Strom fließt, dann muss 
das doch nur ein Widerstand sein.

Wie ist das zu verstehen?

Ich habe die Ersatzschaltung auch raufgemacht. Die Frage die sich mir 
jetzt stellt ist, welche Dicke wäre dann die gesuchte? Die in der 
Kondensatorformel oder die in der Widerstandsformel.

Mir ist irgendwie nicht klar was da genau passiert.
Ich bin wieder auf eure professionelle Hilfe angewiesen.

[Christian L. (cyan)]

Samuel schrieb:
> Das bedeutet,
> dass die Ladungen nicht gespeichert werden. Aber wieso brauche ich dann
> das Dialektrikum zu berücksichtigen? Wenn ein Strom fließt, dann muss
> das doch nur ein Widerstand sein.

Nein, in der Realität gibt es immer kleine Leckströme, welche zum 
Ladungsausgleich führen. Stell dir einen Kondensator vor, dessen 
Leckstrom dafür sorgt, dass der Kondensator sich in einer Woche auf die 
halbe Spannung entlädt. Wenn du den Kondensator in einer Schaltung 
benutzt in der er aber nur Zeiten im ms Bereich oder einige Sekunden 
überbrücken muss, ist der Einfluss des Leckstroms vernachlässigbar 
klein, und du kannst ihn als reinen Kondensator betrachten.
Nach deiner Logik würde ja jeder, zu einem Kondensator parallel 
geschaltete, Widerstand den Kondensator eliminieren. Er ist aber 
trotzdem noch da und hat trotzdem einen Einfluss auf das Verhalten der 
Schaltung.

> Die Frage die sich mir
> jetzt stellt ist, welche Dicke wäre dann die gesuchte? Die in der
> Kondensatorformel oder die in der Widerstandsformel.

Es handelt sich beide Male um die gleiche Dicke und du musst beide 
Elemente berücksichtigen, da der gesamte Strom sich aus dem Strom durch 
den Widerstand und dem Strom durch den Kondensator ergibt. Die gesamte 
Admittanz Y der Schaltung ergibt sich als Parallelschaltung von 
1/Widerstand und 1/Impedanz des Kondensators:

$$\underline{Y}=\frac{1}{R}+j\omega C=\frac{\gamma A}{d}+j2\pi f\frac{\epsilon A}{d}=\frac{A}{d}\left(\gamma+j2\pi f\epsilon\right)$$

Somit ergibt sich der resultierende Strom zu:

$$\hat{I}=\hat{U}\cdot\underline{Y}=\hat{U}\cdot\left(\gamma +j2\pi f\epsilon\right)\frac{A}{d}$$

Wir kennen aber nicht den Strom, sondern die Stromdichte J:

$$\hat{J}=\frac{\hat{I}}{A}$$

Also die Formeln noch durch A teilen und nach d umstellen:

$$d=\hat{U}\left(\gamma+j2\pi f\epsilon\right)\frac{1}{\hat{J}}$$

Man müsste jetzt noch aus den Werten den Betrag von

$$\gamma+j2\pi f \epsilon$$

berechnen. Dann sollte man auf das Ergebnis von 0,8000141mm kommen.

LG Christian

[Christian L. (cyan)]

Ups, ich sehe gerade, dass es 0,80000141m und nicht mm sein müssen.

LG Christian

[U. B. (Gast)]

>  dass es 0,80000141m und nicht mm sein müssen.

Ausserhalb von Kalibrierlaboren dürfte die Angabe von 0,8000 m
hinreichend genau sein.     ;-)

[Christian L. (cyan)]

Ja, ich hätte besser dazu schreiben sollen, dass die 0,8m eigentlich nur 
durch die Leitfähigkeit bestimmt werden. Erst die Nachkommastellen 
kommen aus dem kapazitiven Anteil. Ich wollte damit nur zeigen, wie 
vernachlässigbar der Anteil ist. Aber ja, ein wenig Prosa hätte nicht 
geschadet.

LG Christian

[Samuel (Gast)]

Aha danke sehr!
Aber mir scheint der Wert 0.8 m für einen Kondensator etwas zu groß.

[Christian L. (cyan)]

Naja, die Leitfähigkeit des Mediums ist aber auch wenig realistisch. 
Auch wird die Anordnung mit 1kV betrieben bei 5kHz. Das sind auch nicht 
gerade Standardwerte, wie man sie auf einer kleinen Platine findet.

LG Christian

[Plasmon (Gast)]

Samuel schrieb:
> Aber mir scheint der Wert 0.8 m für einen Kondensator etwas zu groß.

Das Ergebnis und die Art, wie es zustande gekommen ist, kannst du ganz 
schnell vergessen.

Angegeben ist eine maximale Verschiebungsstromdichte, das heißt die 
Ladungsstromdichte und damit auch die Leitfähigkeit sind irrelevant.

Die Verschiebungsstromdichte ist im Frequenzbereich

$$\vec J_\mathrm{v} = \mathrm{j}\omega\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}\vec E$$

also dem Betrage nach

$$|\vec J_\mathrm{v}| = \omega\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}|\vec E|$$

mit

$$|\vec E| = \dfrac{\hat U}{d}$$

Damit ist

$$J_\mathrm{v,max} = \omega\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}\dfrac{\hat U}{d_\mathrm{min}}$$

also

$$d_\mathrm{min} = \omega\varepsilon_0\varepsilon_\mathrm{r}\dfrac{\hat U}{J_\mathrm{v,max}} = 2\pi\cdot 5000\,\mathrm{Hz}\cdot 8{,}854\mathrm{e}-12\,\mathrm{As}/\mathrm{Vm}\cdot 2{,}7 \cdot 1000\,\mathrm{V}/(0{,}5\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^2) = 1{,}5\,\mathrm{mm}$$

[Wolfgang (Gast)]

Christian L. schrieb:
> Dann sollte man auf das Ergebnis von 0,8000141mm kommen.

Gamma ist mit einer, epsilon/epsilon_0 mit zwei gültigen Stellen 
angegeben. Wie soll das Ergebnis genauer sein, als sich aus der 
Fehlerfortpflanzung der Eingangsgrößen ergibt. Von dem 
"Taschenrechner"-Ergebnis kannst du guten Gewissens mindestens 5 Stellen 
streichen. Besser wäre eine anständige Fehlerrechnung.