Was ist ein Kosinus- / Sinus-Spektrum?

[klaus (Gast)]

Kann mir jemand erklären, was ein Kosinus- / Sinus-Spektrum bei der 
Fourier-Transformation ist? Wie ist das aufgebaut und wie muss man es 
lesen?

Ich finde das Frequenzspektrum immer nur dargestellt als Amplituden- und 
Phasenspektrum.

Viele Grüße

[Floh (Gast)]

klaus schrieb:
> Ich finde das Frequenzspektrum immer nur dargestellt als Amplituden- und
> Phasenspektrum.

Letztendlich ist das Spektrum ein Haufen komplexer Werte für die 
verschiedenen Frequenzen.
Nun kann man sich diese komplexen Zahlen unterschiedlich anzeigen 
lassen:
Betrag und Winkel
-> Bodediagramm (Amplitude und Phase)

Real- und Imaginärteil
-> karthesisch als Ortskurve
-> Sinus und Cosinusspektrum, wobei Sinus normalerweise Phase 0 und 
Cosinus Phase 90 hat.

Wobei ich glaube, dass die letzte Darstellung nur in der 
Nachrichtentechnik seinen Sinn hat, z.B. für Quadraturmodulation.

[Wolfgang (Gast)]

Jeden Schwingung mit einer beliebigen Phasenverschiebung läßt sich als 
Addition von einer Sinus- und einer Cosinus-Welle passender Amplitude 
darstellen, d.h. die beiden Darstellungen lassen sich direkt ineinander 
umrechnen, weil Sin und Cos ein Basissystem darstellen (Stichwort: 
Vektoraddition)

[klaus (Gast)]

Floh schrieb:
> Nun kann man sich diese komplexen Zahlen unterschiedlich anzeigen
> lassen:
> Betrag und Winkel
> -> Bodediagramm (Amplitude und Phase)
>
> Real- und Imaginärteil
> -> karthesisch als Ortskurve
> -> Sinus und Cosinusspektrum, wobei Sinus normalerweise Phase 0 und
> Cosinus Phase 90 hat

Formelsammlungrauskram

Für die Darstellung einer komplexen Zahl sehe ich die Polarformen:

(1)  z = r * (cos phi + j * sin phi)
(2)  z = r * e^(j * phi)

und die kartesische Form:

(3)  z = x + j * y

Nun verstehe ich die Sache noch nicht so ganz, da (1) und (2) zwar 
anders aussehen aber dennoch beide Amplitude r und Phase phi darstellen. 
Was dann an einem Sinus- / Cosinusspektrum anders sein soll als an einem 
Amplituden- / Phasenspektrum erschließt sich mir deshalb noch nicht 
wirklich.

[Marek N. (Gast)]

Kosinusspektrum: Realteil des Spektrums

$$Ra\left\{x(t)\right\} = Re\left\{ X(j \omega) \right\} = Re\left\{ \mathcal{F} \left\{ x(t) \right\} \right\}$$

Sinusspektrum: Imaginärteil des Spektrums

$$Ia\left\{x(t)\right\} = Im\left\{ X(j \omega) \right\} = Im\left\{ \mathcal{F} \left\{ x(t) \right\} \right\}$$

Mit der Fouriertransformation:

$$X(j\omega) = \mathcal{F}\left\{ x(t) \right\} = \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) e^{j \omega t} dt = \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) cos(\omega t) dt + j \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) sin(\omega t) dt$$

Für relle Zeitsignale

$$x(t) \in \mathbb{R}$$

 ist das Kosinusspektrum stets achsensymmetrisch und das Sinusspektrum 
stets Punktsymmetrisch bzgl. der Frequenz Null. Es folt daher für das 
Kosinusspektrum direkt

$$Ra\left\{ x(t) \right\} = \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) cos(\omega t) dt$$

und das Sinusspektrum:

$$Ia\left\{x(t)\right\} = j \int\limits^\infty_{-\infty} x(t) sin(\omega t) dt$$

[klaus (Gast)]

Hm, heißt das:

- Für ein Sinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf 
der Y-Achse die Imaginärteile der Fouriertransformierten auf
- Für ein Cosinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf 
der Y-Achse die Realteile der Fouriertransformierten auf

Das heißt mit Cosinus-/Sinusspektrum könnte man die kartesischen 
Darstellung ablesen und mit einem Amplituden/Phasenspektrum die 
Darstellung in Polarform?

[Marek N. (Gast)]

klaus schrieb:
> Hm, heißt das:
>
> - Für ein Sinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf
> der Y-Achse die Imaginärteile der Fouriertransformierten auf
> - Für ein Cosinusspektrum trage ich auf der X-Achse die Frequenz und auf
> der Y-Achse die Realteile der Fouriertransformierten auf

Ja.

> Das heißt mit Cosinus-/Sinusspektrum könnte man die kartesischen
> Darstellung ablesen und mit einem Amplituden/Phasenspektrum die
> Darstellung in Polarform?

Nun versteh ich die Fragenstellung nicht.

[Wolfgang (Gast)]

klaus schrieb:
> Das heißt mit Cosinus-/Sinusspektrum könnte man die kartesischen
> Darstellung ablesen und mit einem Amplituden/Phasenspektrum die
> Darstellung in Polarform?

Ja