Verständnissfrage Regelgunstechnik

[Lord of L. (lightninglord)]

Hallo Zusammen,

bei der Vorbereitung auf die Regelungstechnikklausur ist mir eine Frage 
aufgefallen, deren Antwort ich nicht sicher bestimmen kann:

Mit einem Messwerterfassungssystem sollen unipolare Signalemit einer 
Bandbreite von 2 kHz erfasst werden. Der in dem Messwerterfassungssystem 
integrierte ADC verfügt über eine Quantisierung von 12 bit. Ferner 
beinhaltet das Messwerterfassungssystemein einstellbares, 4-poliges 
Antialiasing-Filter. Wie groß muss die Abtastfrequenz gewählt werden, so
dass keine Aliasing-Effekte auftreten?

Meine Idee war ist Folgende:

Die Bandbreite beträgt 2 kHz. Da das Abtasttheorem erfüllt sein muss
käme ich auf eine Abtastfrequenz von

$$f_A \geq 2 \cdot f_{max} = 2 \cdot 2 \text{kHz} = 4 \text{kHz}$$

Sollten mich die restlichen Angaben einfach nur verwirren?
Was mir noch bekannt ist das, dass SNR für eine ADC mit etwa 6dB/Bit 
Auflösung steigt, da aber auch Aliasing auftreten kann, wenn Nutzsignale 
zu stark mit Rauschen überlagert sind, kann ich mir schon vorstellen das 
die Abtastfrequenz auch von der Auflösung des ADCs abhängig sein kann.

Könnt Ihr mir da zufällig weiterhelfen? Dankeschön.

[Purzel H. (hacky)]

Die 4kHz sind eine theoretische Groesse, fuer ein unendlich steiles 
Filter. Die Spiegelfrequenzen kann man als Noise betrachten. Das finde 
ich allerdings gewagt. Und diese muss man unterdruecken... dh das Filter 
muss bei der Sample Frequenz (4kHz) schon eine gewisse Unterdrueckung 
haben. und bei der Signal Frequenz noch fast keine.

Rechne

[Joe G. (feinmechaniker)]

Eine Abtastfrequenz >= 4 kHz ist richtig.
Versetze dich doch einfach mal in Person die die Aufgabe zu stellen hat. 
Eine Frage nach dem Abtasttheorem maß ja irgendwie formuliert werden, so 
dass es die Mehrheit der Studenten versteht, sie nicht zu schwer ist, 
sie nicht zu einfach ist, nicht zu realitätsfern ist, nicht zu… ist.

[Frank B. (f-baer)]

Wow, drei Leute, die das Abtasttheorem nicht verstanden haben.
Mit einer Abtastfrequenz von 4kHz bekommt man ein Musterbeispiel von 
Aliasing. Da wird ein mit doppelter Frequenz abgetasteter Sinus schnell 
zur Gleichspannung.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Die Frage bezog sich ja nicht explizit auf einen Sinus mit 2 kHz sondern 
auf ein Signal mit einer Bandbreite von 2 KHz. Bei einem Sinus mit exakt 
2 kHz hast du natürlich recht. Doch lassen wir die Wortklauberei, darin 
liegt ja nicht der Sinn studentischer Ausbildung. Wie würde denn deine 
Frage an die Studenten zum Abtasttheorem lauten?

[Frank B. (f-baer)]

Joe G. schrieb:
> Die Frage bezog sich ja nicht explizit auf einen Sinus mit 2 kHz
> sondern
> auf ein Signal mit einer Bandbreite von 2 KHz. Bei einem Sinus mit exakt
> 2 kHz hast du natürlich recht. Doch lassen wir die Wortklauberei, darin
> liegt ja nicht der Sinn studentischer Ausbildung. Wie würde denn deine
> Frage an die Studenten zum Abtasttheorem lauten?

Ich habe auch bei einem Signal mit einer Bandbreite von 2kHz recht. Ein 
Sinus mit 2kHz ist nur ein Spezialfall eines Signals mit einer 
Bandbreite von 2kHz, nämlich mit fmin=0.

[Lord of L. (lightninglord)]

Ich habe die Frage noch einmal mit meinen Kommilitonen besprochen. Unser 
Prof. stellt gerne solche "Spezialfragen". Wichtig hierbei ist das auch 
die Auflösung des ADCs mit berücksichtigt werden soll.
Für das SNR des ADCs ergibt sich etwa:

$$\text{SNR} = 12 \text{Bit}\cdot 6 \tfrac{\text{dB}}{\text{Bit}} = 72 \text{dB}$$

Das Filter mit 4 "Polen" ist demnach ein Tiefpass 4. Ordnung, dies führt 
auf

$$4\cdot 6 \tfrac{\text{dB}}{\text{Oktave}} = 24 \tfrac{\text{dB}}{\text{Oktave}}$$

Demnach sind also

$$\tfrac{72 \text{dB}}{ 24 \tfrac{\text{dB}}{\text{Oktave}}} = 3 \text{Oktaven}$$

nötig.

Das führt zu einer minimalen Abtastfrequenz von:

$$f_A \geq 2 \cdot 2^3 \text{kHz} = 32 \text{kHz}$$

Naja, so ganz haben wir die Vorgehensweise noch nicht begriffen, aber 
laut Prof. ist die Lösung richtig.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Frank Bär schrieb:
> Ich habe auch bei einem Signal mit einer Bandbreite von 2kHz recht.

Na dann ist die Welt doch in Ordnung ;-)

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

Hallo,
das ist das Richtige zum wach werden.

Lord of Lightning schrieb:
>
> Sollten mich die restlichen Angaben einfach nur verwirren?

Nein, wie du schon erkannt hast.

Es wurde nicht die Frage nicht nach der minimalen Abtastfrequens nach 
dem Abtasttheorem gestellt, sondern in ihr wurde speziell auf die 
Vermeidung von Aliasing hingewiesen.

> Was mir noch bekannt ist das, dass SNR für eine ADC mit etwa 6dB/Bit
> Auflösung steigt, da aber auch Aliasing auftreten kann, wenn Nutzsignale
> zu stark mit Rauschen überlagert sind, kann ich mir schon vorstellen das
> die Abtastfrequenz auch von der Auflösung des ADCs abhängig sein kann.

Was den Prof. angeht erwartet er von euch die komplexe Betrachtung des 
Problems und nicht das Lösen eine Rechenaufgabe für Erstklässler. Dabei 
gibt er Hinweise setzt aber auch einiges an Grundwissen vorraus. So zum 
Beispiel die Verknüpfung von SNR, Auflösung und Aliasing.

Er will wissen ob ihr wisst worum es geht. Deshalb stellt er die Fragen 
so. Er kann so mit an einer Zahl erkennen ob ihr das komplexe Problem 
erfasst und bewältigt habt.

Die ersten beiden Poster sind durchgefallen ;)

Ich war ehrlich zu erschossen das durchzugehen, da meine Woche stressig 
war. Und ich hätte 25 Jahre alte Fragmente in der Erinnerung 
zusammensuchen müssen, wer weiß mit welchem Ergebnis? ;)

Danke fürs refreshing

[Lord of L. (lightninglord)]

Ich bin schon ein Fan etwas kniffliger Aufaben. Nur sind die von unserem 
Prof. zu verfügung gestellten Unterlagen mehr als dürftig. Dies ist 
eigentlich schade, da Regelungstechnik und Systemtheorie sehr 
interessant ist.
Das Rauschen bzw. das SNR auch ausschlaggebend ist ist mir bekannt, 
allerdings habe ich noch keine gute Beschreibung gefunden, wie genau 
sich das SNR auf die Abtastfrequenz auswirkt. Im Internet hab ich 
bissher nur larifari Antworten gefunden à la mehr Rauschen -> höhere 
Abtastfrequenz.
Habt ihr da vielleicht was detailierteres, würde das schon gerne richtig 
verstehen. Vielen Dank.

[Winfried J. (Firma: Nisch-Aufzüge) (winne)]

kurz und knapp: es kommt darauf an mit statistischen Mitteln das 
Nutzsignal vom Störsignal zu trennen.

Daraus ergibt sich, dass du oft genug abtast must. Das SNR ist das Maß 
für das Rauschens und die Abtastrate sollte um Größenordnungen (>>) sein 
als 1/SNR. Dann lassen sich die Störungen durch Mittelwertbildung 
minimieren.