Umrechnung Wirkfläche Gewinn

[Christian (Gast)]

Den Gewinn einer Antenne kann man über die Formel

$$A_{W}=\frac{ \lambda^2 }{ 4\pi }G$$

in die Wirkfläche umrechnen.

Aber woher kommt diese Formel bzw. wie leitet man sie her? Ich weiß, 
dass es irgendwie mit dem Reziprozitätstheorem zu tun hat, aber wie man 
konkret auf diese Formel kommt, ist mir nicht klar.

[Timmo H. (masterfx)]

Ich denke das hier könnte helfen:
http://whites.sdsmt.edu/classes/ee382/notes/382Lecture34.pdf

(recht schnell per Google gefunden wenn man den englischen Begriff 
nimmt)

[Christian (Gast)]

Timmo H. schrieb:
> Ich denke das hier könnte helfen:
> http://whites.sdsmt.edu/classes/ee382/notes/382Lecture34.pdf
>
> (recht schnell per Google gefunden wenn man den englischen Begriff
> nimmt)

Danke für den Link. Dort steht aber auch nur die Formel und bzgl. der 
Herleitung wird auf andere Bücher verwiesen. Im Anschluss gibt es noch 
eine Vorführung, dass die Formel am Hertzschen Dipol funktioniert, aber 
mehr nicht.

Gibt es niemanden, der sich mal mit der Herkunft dieser Formel 
beschäftigt hat?

[Plasmon (Gast)]

Die komplette Herleitung ist tatsächlich länglich und geht ein bisschen 
tiefer in die Feldtheorie rein. Vor allem der saubere Beweis, dass es 
auch mit Verlusten und bei komplexen Antennenimpedanzen stimmt, benötigt 
ein bisschen Sorgfalt. Das kann in einem Forum nicht wiedergegeben 
werden.

Ich skizziere dir nur kurz einen Herleitungweg, damit du weißt, welche 
Einzelschritte du in den Büchern nachschauen musst. Ich verwende die 
Indizes S und E für Sende- und Empfangsseite. Ferner die Symbole G, A, P 
und S für Gewinn, Wirkfläche, Leistung und Leistungsdichte.

Aus dem Reziprozitätstheorem folgt nicht die ganze Formel, sondern nur, 
dass der Quotient aus G und A für jede Antenne gleich sein muss:

Betrachte eine Anordnung aus zwei beliebigen Antennen. Die Sendeantenne 
erzeugt die Leistungsdichte

$$S_\mathrm{S} = \dfrac{P_\mathrm{S}G_\mathrm{S}}{4\pi r^2}$$

und die Empfangsantenne liefert die Empfangsleistung

$$P_\mathrm{E} = \dfrac{P_\mathrm{S}G_\mathrm{S}A_\mathrm{E}}{4\pi r^2}\,.$$

Das ergibt

$$G_\mathrm{S}A_\mathrm{E} = \dfrac{P_\mathrm{E}}{P_\mathrm{S}}4\pi r^2\,.$$

Wenn du Sende- und Empfangsseite vertauschst, muss sich das selbe für 
G_EA_S ergeben, also

$$G_\mathrm{S}A_\mathrm{E} = G_\mathrm{E}A_\mathrm{S}$$

und damit

$$\dfrac{G_\mathrm{S}}{A_\mathrm{S}}=\dfrac{G_\mathrm{E}}{A_\mathrm{E}}\,.$$

Dieses Verhältnis ist also für alle Antennen gleich, da wir sonst keine 
Annahmen über die beteiligten Antennen gebraucht haben. Jetzt muss man 
es nur für eine beliebige strahlende Stromverteilung berechnen, 
beispielsweise beim Hertzschen Dipol. Wenn man seinen 
Strahlungswiderstand hat und verwendet, dass die elektrische Länge eines 
Stromfadens mit konstanter Belegung gleich seiner physikalischen Länge 
ist, dann erhält man die Wirkfläche des Hertzschen Dipols

$$A_\mathrm{HD} = \dfrac{3\lambda_0^2}{8\pi}\,.$$

Durch Berechnung seines Strahlungsfeldes erhält man seinen Gewinn

$$G_\mathrm{HD} = \dfrac{3}{2}$$

und damit das Verhältnis

$$\dfrac{A_\mathrm{HD}}{G_\mathrm{HD}}=\dfrac{\lambda_0^2}{4\pi}\,.$$

Dieses ist also der gesuchte Proportionalitätsfaktor und damit auch die 
Wirkfläche einer (gedachten) Antenne mit dem Gewinn G = 1 (isotroper 
Strahler).

[Christian (Gast)]

Hallo vielen Dank!

Das ist genau das, was ich wissen wollte. Auf diesen Gedanken, dass das 
Verhältnis von G zu A aufgrund der Reziprozität für jede Antenne 
dasselbe sein muss, bin ich nicht gekommen. Wenn man das weiß und dann 
für den Hertzschen Dipol den Vorfaktor ausrechnet, hat man es. So haben 
wir es damals glaube ich auch in der Vorlesung gemacht.

Den "richtigen" Beweis brauche ich dann gar nicht mehr, denn so ist es 
für mich klar, warum das so ist. Und der Beweis ist als solcher ja auch 
vollständig.