Ableitung von Dirakstoß

[Erik (Gast)]

Also ich verstehe das alles nicht so ganz. Was genau macht die 
Gleichung:

$$\int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)f(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty} x_2(\tau)f(\tau)d\tau$$

?? Diese Gleichung kann ja nur wahr sein, wenn x1(t) = x2(t) aber wieso 
ist das jetz sooooooooooo wichtig?

Dass der Dirakstoß die Ableitung der Heavyside Funktion ist, das ist mir 
mehr als bewusst, aber was soll dann diese meiner Meinung nach nicht 
gebräuchliche sinnlose Verallgemeinerung?

$$\delta^{(n-1)}(\tau)=\frac{d^{n-1}}{d\tau^{n-1}} \delta(\tau)=\frac{d^n}{d\tau^n}\varepsilon(\tau), n=1,2,...$$

Und den rest verstehe ich überhaupt nicht wozu der gut ist. Auf den 
nächsten Seiten wird auch die Abtasteigenschaft irgdendwie auf das hier 
bezogen

$$\int_{-\infty}^{\infty} x_1(\tau)f(\tau)d\tau=\int_{-\infty}^{\infty} x_2(\tau)f(\tau)d\tau$$

Aber ich finde da keinen Zusammenhang. Diese Gleichungen sagen mir 
irgendwie nicht viel.

Kann mir das irgendeiner auf ein gutes Deutsch überstzen, damit ich 
nicht ganz zur Meinung komme, dass der Kauf dieses SKriptums anscheinend 
nicht sehr nützlich war..

Danke schon im Voraus!

[Thomas (Gast)]

> Dass der Dirakstoß die Ableitung der Heavyside Funktion ist, das ist mir
> mehr als bewusst, aber was soll dann diese meiner Meinung nach nicht
> gebräuchliche sinnlose Verallgemeinerung?
>

Das ist erstmal eine mathematische Definition eines Dirac-Soßes n-ter 
Ordnung, so wie es im Skript steht. Der Sinn ist natürlich nur gegeben, 
wenn man mit diesen Dirac-Stößen auch irgendwas "modellieren" kann.

Z.b. glaube ich, dass man mit Hilfe eines Dirac-Stoß 2. Ordnung ein 
Dipol darstellen kann. Der Dirac-Stoß 2. Ordnung hat ja nicht nur einen 
positiven, sondern auch ein negativen Anteil - ein Dipol hat dies auch 
;)


Weiterhin weiß ich nicht genau, was du nicht verstehst - vllt. wären 
größere Textpassagen hier hilfreich. Dirac-Stöße im Zusammenhang mit dem 
Abtasttheorem ist in der Regel auch nichts unübliches.

Viele Grüße,
  Thomas

[Erik (Gast)]

Thomas schrieb:
> Z.b. glaube ich, dass man mit Hilfe eines Dirac-Stoß 2. Ordnung ein
> Dipol darstellen kann. Der Dirac-Stoß 2. Ordnung hat ja nicht nur einen
> positiven, sondern auch ein negativen Anteil - ein Dipol hat dies auch
> ;)

Aber was ist die Ableitung eines Dirakimpulses? Der Funktionswert ist ja 
auf einen unendlich kleinen Intervall definiert und hat den Wert 
Unendlich. Wie leite ich so etwas ab und wie kann ich dann darauf 
schließen, dass ich mit einer "zweiten Ableitung" eines Dieac Stoßes 2 
verschiedene Werte habe? Heh? Welche Werte denn überhaupt?

Irgendwie schwirren da hundert 1000 Gedanken durch meinen Kopf und ich 
finde keinen einzigen Zusammenhang.

[asdf (Gast)]

Erik schrieb:
> Diese Gleichung kann ja nur wahr sein, wenn x1(t) = x2(t)
Nein, muss nicht unbedingt gelten


Erik schrieb:
> Aber was ist die Ableitung eines Dirakimpulses?
Wurde hier mal diskutiert:
Beitrag "Ableitung vom Dirac"

[Michael (Gast)]

Erik schrieb:
> Wie leite ich so etwas ab und wie kann ich dann darauf
> schließen, dass ich mit einer "zweiten Ableitung" eines Dieac Stoßes 2
> verschiedene Werte habe?

Jeder Puls hat eine steigende und eine fallende Flanke - und schon hast 
du zwei Werte, soweit man bei einem Funktional davon sprechen kann.

[M. K. (sylaina)]

Erik schrieb:
> ?? Diese Gleichung kann ja nur wahr sein, wenn x1(t) = x2(t) aber wieso
> ist das jetz sooooooooooo wichtig?

Nein, sie müssen nicht gleich sein. Nimm mal an, x1(t) sei sin(t) und 
x2(t) sei cos(t). Dann ist die Gleichung immer noch wahr aber x1(t) ≠ 
x2(t) ;)

[Michael W. (Gast)]

Michael Köhler schrieb:
> Erik schrieb:
>> ?? Diese Gleichung kann ja nur wahr sein, wenn x1(t) = x2(t) aber wieso
>> ist das jetz sooooooooooo wichtig?
>
> Nein, sie müssen nicht gleich sein. Nimm mal an, x1(t) sei sin(t) und
> x2(t) sei cos(t). Dann ist die Gleichung immer noch wahr aber x1(t) ≠
> x2(t)

Nein - hast du auch genau gelesen worum es geht?

[abcd (Gast)]

Mal ohne Garantie, weil aus dem Kopf:

Wie für den Dirac-Impuls üblich ist er eigentlich nur über das Integral 
definiert. Das gilt auch für seine Ableitung. Also kann man sich mal 
folgendes Integral anschauen:

$$\int_{-\infty}^{\infty} {\delta'(t) \cdot f(t)} dt = [\delta(t) \cdot f(t)]_{-\infty}^{\infty}- \int_{-\infty}^{\infty}{\delta(t) \cdot f'(t)}dt = -f'(0)$$

Im erste Schritt wurde einfach nur die partielle Integration verwendet. 
Der erste Term der Differenz ist 0, weil der Dirac bei -inf und +inf auf 
jeden Fall 0 ist. Im zweiten Schritt nutzt man einfach die 
Ausblendeigenschaft des Dirac.

Soweit die mathematische Formulierung. Wie kann man sich das anschaulich 
vorstellen? Der Dirac wird ja auch oft als unendlich hoher, unendlich 
dünner Rechteckimpuls mit Fläche 1 beschrieben. Wenn man sich nun die 
Ableitung eines solchen Rechteckimpulses überlegt, erhält man einen 
Dirac mit positivem Vorzeichen für die steigende Flanke und einen 
negativen Dirac für die fallende Flanke des Rechteckimpulses. Da der 
Rechteckimpuls aber unendlich kurz war, liegen diese beiden Diracs 
"fast" auf einander.
Bildet man nun das Integral über die Multiplikation von diesen zwei 
Diracs über eine Funktion, nimmt man sich 2 unendlich dicht aneinander 
liegende Werte dieser Funktion und bildet die Differenz. Das wiederum 
entspricht dann ungefähr einem Differentialquotient mit negativem 
Vorzeichen bei dem der Grenzübergang

$$\Delta t \rightarrow 0$$

 schon passiert ist.

So. Ich hoffe ich habe keinen Fehler gemacht und es ist einigermaßen 
anschaulich.

[Erik (Gast)]

Michael Köhler schrieb:
> Nein, sie müssen nicht gleich sein. Nimm mal an, x1(t) sei sin(t) und
> x2(t) sei cos(t). Dann ist die Gleichung immer noch wahr aber x1(t) ≠
> x2(t) ;)

Das verstehe ich irgendwie nicht ganz.
Wie können denn die noch gleich sein?

abcd schrieb:
> Mal ohne Garantie, weil aus dem Kopf:
>
> Wie für den Dirac-Impuls üblich ist er eigentlich nur über das Integral
> definiert. Das gilt auch für seine Ableitung. Also kann man sich mal
> folgendes Integral anschauen:
>
> Im erste Schritt wurde einfach nur die partielle Integration verwendet.
> Der erste Term der Differenz ist 0, weil der Dirac bei -inf und +inf auf
> jeden Fall 0 ist. Im zweiten Schritt nutzt man einfach die
> Ausblendeigenschaft des Dirac.

Das habe ich alles verstanden danke!

abcd schrieb:
> Bildet man nun das Integral über die Multiplikation von diesen zwei
> Diracs über eine Funktion, nimmt man sich 2 unendlich dicht aneinander
> liegende Werte dieser Funktion und bildet die Differenz. Das wiederum
> entspricht dann ungefähr einem Differentialquotient mit negativem
> Vorzeichen bei dem der Grenzübergang

Da wirds doch einwenig schleierhaft für mich. Wieso gerade negativ? 
Wieso nicht positiv? Diese zwei Impulse liegen ja aufeinander und beide 
gehen gleich schnell gegen Unendlich.

Wenn ich jetzt eine Funktion f(t) mit der Ableitung des Diraks, sprich 
mit den zwei Teilimpulsen multipliziere, und dann aufintegriere, dann 
muss doch 0 rauskommen oder nicht? Betrachte doch einfach die angehängte 
Skizze. Das f(t=0) ist konstant für das Intervall der 2 Dirak Impulse, 
und die Zwei Impulse aufsummiert muss dann doch auch 0 sein, weil ja 
beide gleichschnell nach (der eine + , der andere -) unendlich gehen.

Also kann das irgendwie mit der Rechnung nicht zusammenpassen meiner 
Meinung nach. Wo ist mein Denkfehler?

[M. K. (sylaina)]

Erik schrieb:
> Das verstehe ich irgendwie nicht ganz.
> Wie können denn die noch gleich sein?

Oben hast du ein Integral und das soll nur gleich sein. Die Funktionen 
innerhalb des Integrals dürfen sich doch dann unterscheiden. Das 
Integral von sin(t) von -∞ bis +∞ ist gleich dem Integral von cos(t) von 
-∞ bis +∞ (beide Integrale sind 0 ;)) . Die Funktionen sind aber 
unterschiedlich (sin(t) = cos(t-90°)).

[Erik (Gast)]

Ok stimmt, danke! Aber das mit den Ableitungen und Integralen drauf ist 
mir immer noch nicht so geläufig.

[Erik (Gast)]

Vielleicht kann ja nochmal einer über meine Skizze schauen und mir sagen 
wo mein Denkfehler liegt?

Danke

[egonotto (Gast)]

Michael Köhler schrieb:
> Das
> Integral von sin(t) von -∞ bis +∞ ist gleich dem Integral von cos(t) von
> -∞ bis +∞ (beide Integrale sind 0 ;))

Das ist falsch.

[Michael W. (Gast)]

Erik schrieb:

> Also kann das irgendwie mit der Rechnung nicht zusammenpassen meiner
> Meinung nach. Wo ist mein Denkfehler?

Du kannst für den Dirac-Impuls auch einen Dreiecksimpuls verschwindender 
Dauer und Fläche 1 nehmen, dann tust du dir beim Ableiten leichter. Das 
Integral des Produkts der roten mit der blauen Kurve ist -f'(t0), was du 
dir anhand von ein paar (einfachen) Schritten klar machen kannst, ohne 
tief in die mathematische Trickkiste zu greifen.

[M. K. (sylaina)]

egonotto schrieb:
> Das ist falsch.

Richtig. Ich hatte in Erinnerung, dass sin(∞) bzw. cos(∞) 0 ist, dabei 
ist das gar nicht definiert (grad nachgeschaut). Mein Fehler.