Brücke und Überlagerungssatz (Helmholz)

[Ice R. (ascareth)]

Hallo,

ich habe da ein Problem mit einer Schaltung (Anhang: 
bruckenschaltung_2_774.jpeg), die ich berechnen soll.

Ich habe versucht die Schaltung nach dem helmholzsatz und Maschenregel 
zu berechnen:

$$U_{2R} = U_1 \cdot \frac{2R || (4R + 8R || 16R)}{4R + 2R || (4R + 8R || 16R)}$$

$$U_{16R} = U_2 \cdot \frac{16R || (4R + 4R || 2R)}{8R + 16R || (4R + 4R || 2R)}$$

$$Ux = U_{2R} - U_{16R}$$

 (einsetzen und nach U2 umstellen und daraus das Verhältnis zu U1 
bestimmen)

Die Berechnung wird dann sehr groß und zeitaufwändig.


Die Lösung sagt das hier:

$$U_{2R} = U_1 \cdot \frac{2R}{2R + 4R}$$

$$U_{16R} = U_2 \cdot \frac{16R}{8R + 16R}$$

1. Mit ist schon klar dass über die Brücke kein Strom Ix fließt, wenn 
U2R = U16R ist. Meine Frage ist: Darf man deswegen den Helmholzsatz 
nicht verwenden, oder könnte man ihn verwenden, muss dann aber eben 
diese Umfangreiche Rechnung akzeptieren.

2. Wenn man den Helmholzsatz nicht verwenden darf, woran erkennt man das 
dann? Es ist ja schließlich in der Schaltung mehr als nur eine Quelle 
vorhanden und diese haben ja natürlich auch beide eine Wirkung auf Ix. 
Könnte man also sagen dass die Quellen zwar beide eine Wirkung auf Ix 
haben wenn Ix <> 0 ist, aber in diesem Zustand, für Ix = 0, eben nicht 
beide Quellen eine Wirkung Ix haben.

Könnte man also so begründen und sagen, dass für den Fall Ix = 0 
lediglich jede Quelle für sich auf die entsprechenden Spannungsteiler 
wirkt und deshalb auch nicht der Helmholzsatz verwendet werden darf?

Oder wie kann man das sonst begründen, wenn man den Helmholzsatz nicht 
verwenden darf?

Gruß, IceRage

[Matthias L. (Gast)]

>Wenn man den Helmholzsatz nicht verwenden darf..

Helmholz ist quasi ein Gesetz. Das gilt immer. Manchmal wird die 
Rechnung nur aufwendig. Dafür halt allgemeingültig.

Hier würde ich vorher etwas länger nachdenken:

Wenn Ix null sein soll, geht das nur, wenn über dem Widerstand "4R" 
keine Spannung abfällt. Das geht nur, wenn beide Knoten rechts und links 
des Widerstandes "4R" auf demselben Potential liegen. Somit muss gelten:

Wenn Ix null ist, also kein Strom vom linken Spannungsteiler zum rechten 
fliesst, fliess drunter in der Verbindung auch keiner zurück. ALso muss 
sein:

U(2R) = U(16R)

Überlegungen zum Spannungsteiler führen zu:

                    2     16
U(2R) = U(16R) = U1--- = ----U2
                    6    16+8

umgestellt ergibt das:
      1
U2 = ---U1
      8

[ArnoR (Gast)]

Matthias Lipinsky schrieb:
> Überlegungen zum Spannungsteiler führen zu:
>
>                     2     16
> U(2R) = U(16R) = U1--- = ----U2
>                     6    16+8
>
> umgestellt ergibt das:
>       1
> U2 = ---U1
>       8

Das ist leider falsch.
Die Spannung links an 4R ist:U1(2/6)=U1/3
Die Spannung rechts an 4R ist U2(16/24)=U2(2/3)
Gleichgesetzt ergibt das U2=U1/2.

[Taugenichts (Gast)]

Sorry, das waeren dann :  U2 = U1/2

[Matthias L. (Gast)]

>> umgestellt ergibt das:
>>       1
>> U2 = ---U1
>>       8

>Das ist leider falsch.

Oh äh ja. Das ist der eingebaute Fehler beim Umstellen um zu prüfen, ob 
ihr auch mitrechnet

;-)

[Peter R. (Gast)]

Matthias Lipinsky schrieb:
> Helmholz ist quasi ein Gesetz. Das gilt immer. Manchmal wird die
> Rechnung nur aufwendig. Dafür halt allgemeingültig.

Helmholtz gilt für den Bereich linearer Schaltungen. Sobald z.B. eine 
Diode in der Schaltung  vorhanden ist, ist es aus mit dem Überlagern 
bzw. man muss genau auf die Stromwerte achten, die sich an der Diode 
ergeben.

[Ice R. (ascareth)]

Erstmal vielen Dank.

Ich habe das jetzt mal so versucht:

1. U1 = 0

$$U_{16R} = U2 \cdot \frac{16R || (4R + 2R || 4R)}{8R + 16R || (4R + 2R || 4R)} = \frac{1}{3}$$

2. U2 = 0

$$U_{2R} = U1 \cdot \frac{2R || (4R + R16 || 8R)}{4R + 2R || (4R + 16R || 8R)} = \frac{7}{24}$$

Dann habe ich aber einfach gesagt:

$$U_{16R} = U_{2R} \Leftrightarrow \frac{1}{3} U_{2} = \frac{7}{24} U_{1} \Leftrightarrow U_2 = \frac{7}{8} U_1$$

Das geht aber nicht. Warum aber eigentlich nicht? Wenn die beiden 
Spannungen gleich sind, dann muss doch auch Ix = 0 sein.
Warum muss ich da erst über die Ströme gehen? Also so:

$$I_{x1} = \frac{U_{2R}}{4R + 8R || 16R} = \frac{\frac{7}{24} U_1}{4R + 8R || 16R} = \frac{\frac{7}{24} U_1}{\frac{28}{3} R} = \frac{1}{32} \frac{U_1}{R}$$

$$I_{x2} = \frac{U_{16R}}{4R + 2R || 4R} = \frac{\frac{1}{3} U_2}{4R + 2R || 4R} = \frac{\frac{1}{3} U_2}{\frac{16}{3}} = \frac{1}{16} \frac{U_2}{R}$$

Und erst jetzt darf ich das Nullkriterium, aber ausschließlich über die 
Ströme formuieren. Ich finde aber leider keine Begründung dafür, warum 
das so ist und warum das nicht direkt über die Spannungen geht.

Noch mal der Vollständigkeit halber:

$$I_x \stackrel{!}{=} 0 \Rightarrow I_{x1} = I_{x2} \Leftrightarrow \frac{1}{32} \frac{U_1}{R} = \frac{1}{16} \frac{U_2}{R} \Leftrightarrow \frac{1}{32} U_1 = \frac{1}{16} U_2 \Leftrightarrow U_2 = \frac{1}{2} U_1$$

[Ice R. (ascareth)]

Ich glaub jetzt weiß ich es. Wenn die Spannungen U2R und U16R gleich 
sind, dann fleißt da bekannter Maßen kein Strom. Das heißt aber auch, 
dass man dann tatsächlich nur die beiden Spannungsteiler berechnen muss 
/ darf, und nicht noch den belasteten Fall der beiden Spannungsteiler 
über das daran anliegende Widerstandsnetzwerk.