Herleitung des digitalen PI-Reglers

[Kevin M. (Gast)]

Hallo zusammen,
ich habe vor kurzem den Algorithmus für den digitalen PI-Regler von 
http://rn-wissen.de/index.php/Regelungstechnik#PI-Regler auf einem 
Mikrocontroller umgesetzt und es funktioniert soweit auch.
Nur frage ich mich nun, wie dieser Algorithmus für den PI-Regler 
hergeleitet wurde? Ich habe versucht den digitalen Pi-Regler aus der 
Gleichung für den analogen PI-Regler herzuleiten:

$$G\!\left(s\right) = \mathrm{kp}\, \left(\frac{1}{\mathrm{Ti}\, s} + 1\right)$$

dann Z-Transformation:

$$\left(G\!\left(z\right) = \frac{y\!\left(z\right)}{u\!\left(z\right)}\right) = k_{p}\!\left(\frac{T}{T_{i}\, \left(z - 1\right)} + 1\right)$$

daraus ergibt sich nach Umformen die Differenzengleichung

$$y_{k + 1} - y_{k} = k_{p}\, u_{k + 1} - k_{p}\, u_k + \frac{T\, k_{p}\, u_{k}}{T_{i}}$$

jetzt komme ich aber nicht weiter, wie bekomme ich daraus die Formel aus 
dem oben genannten Link? Oder ist schon mein Ansatz falsch?

Vielen Dank für eure Hilfe!

[Purzel H. (hacky)]

was spricht denn gegen einen eigenen Ansatz? anstelle einer 
transormation.

[Joe G. (feinmechaniker)]

Indem du das Integral durch die Trapezregel ersetzt.

[Tobias P. (hubertus)]

Deine z-Transformation ist nicht richtig.
Schau mal im Anhang (ist meine Zusammenfassung von dem Stoff), da werden 
zwei Wege erklärt.

Gruss

[Kevin M. (Gast)]

Vielen Dank schonmal. In obiger Formel habe ich versucht die 
Z-Transformation mittels der Rechteckregel umzusetzen. In dem PDF wird 
das soweit ich das verstehe mit der Tustinformel umgesetzt, das habe ich 
auch schon versucht. Der digitale Pi-Regler wäre demnach:

$$G\!\left(z\right) = k_{p}\, \left(\frac{T\, \left(z + 1\right)}{2\, T_{i}\, \left(z - 1\right)} + 1\right)$$

die Differenzengleichung wäre dann:

$$y_{k + 1}=y_{k} - k_{p}\, \left(u_{k} - u_{k + 1}\right) + \frac{T\, k_{p}\, \left(u_{k} + u_{k + 1}\right)}{2\, T_{i}}$$

Nun habe ich eine Differenzengleichung, in welcher biespielsweise mit

$$y_{k}$$

 noch der alte Stellwert zur Berechnung des neuen benötigt wird. In der 
Formel im obigen Link ist das jedoch, soweit ich das sehe nicht der 
Fall.

Ich komme also an dieser Stelle wieder nicht weiter :/. In der Literatur 
ist meißt auch nur die Transformation in den Z-Bereich beschrieben, wie 
ich von dort auf eine Gleichung komme, die ich auch im Mikrocontroller 
umsetzen kann, habe ich leider bis jetzt noch nirgends gefunden. 
Vielleicht könnte mir da nochmal jemand weiterhelfen :)

[Tobias P. (hubertus)]

Von der z-Trafo zu einer im MC umsetzbaren Gleichung zu kommen ist 
einfach. Ist in meinem PDF auch drin ;-) ich suchs dir nachher raus wenn 
du willst. Jetzt gleich habe ich es allerdings nicht zur Hand. Gruss

[Tobias P. (hubertus)]

Hi Kevin,

hier im Anhang mal noch das versprochene Dokument. Das was dich 
interessieren dürfte, ist die "Rekursive Rücktransformation", Kap. 
26.3.2.

Du musst dann den Algorithmus in Formel 26.34 implementieren auf deinem 
MC. Der Algorithmus ist, unabhängig von den Koeffizienten a und b deiner 
Z-Transformierten, immer der selbe. Es ist damit möglich, jede beliebige 
Übertragungsfunktion zu bauen, nur durch ändern der Koeffizienten. Ich 
denke, dies dürfte sein was du suchst? Damit kannst du locker auch deine 
Regelkreise implementieren, auch mit komplexeren (im Sinne von 
komplizierteren) Übertragungsfunktionen.

Also zuerst mit matched z-Transformation oder bilinearer Transformation 
deine kontinuierliche Übertragungsfunktion diskretisieren, und dann z.B. 
mit der rekursiven Rücktrafo implementieren. Bei der rekursiven 
Rücktrafo muss man noch sagen: wenn N der Grad von deiner 
z-Transformierten ist, dann ist halt die implementierung der ersten N 
Summanden von der rekursiven Rücktrafo ein wenig umständlich, aber wie 
du im Beispiel auf S. 224 siehst, ist nach den ersten N berechnungen die 
Formel dann immer gleich, müsste also im Prinzip schon gehen zum 
implementieren.


Andernfalls, vielleicht verstehe ich dich auch falsch:
unter der von dir verlinkten Seite findet man keine z-Transformierten, 
wohl aber dies hier:

y = Kp * e + Ki  Ta  esum

wenn du danach fragst, wie dies zustande kommt - das ist einfach ...

- der Fehler e muss mit der Verstärkung KP multipliziert werden. (erster 
Teil der Formel)
- der I-Anteil ist ja lediglich das Integral über den Fehler ... also 
esum * KI ergibt dann den I-Anteil.
Meinest du das?

Gruss

[Kevin M. (Gast)]

Hallo Tobias,
vielen Dank, dass du dir soviel Mühe gibst, ich werde nachschauen ob ich 
in deinem Skript vielleicht eine Lösung für meine Frage finde. Nur so 
spät verträgt mein Kopf keine Gleichungen mehr, die über die 
Grundrechenarten hinausgehen ;).

Ich frage mich wie der Autor die Formel:
esum = esum + e
y = Kp * e + Ki  Ta  esum

hergeleitet hat. Wenn man sich die Gleichung anschaut ist diese 
natürlich logisch (Integration der Abweichung, etc). Aber ich wollte den 
Weg von der Laplace-Gleichung für den PI-Regler bis zu dieser obigen 
Formel nachvollziehen. Nach dem Motto: ich weiß wie ein PI-Regler im 
Laplacebereich aussieht, transformiere diesen in den Z-Bereich, mache 
daraus eine Differenzengleichung und aus der entsprechend umgeformten 
Differenzengleichung erhalte ich die obige Formel.

Gruß Kevin