Frage zu Zustandsraum-Gleichungen

[Rolf (Gast)]

Hallo allerseits,

Ich habe eine Frage zu Gleichungen eines Systems im Zustandsraum! Ich 
möchte eine Differentialgleichung wie hier in den Zustandsraum bringen:

http://de.wikipedia.org/wiki/Zustandsraumdarstellung#Regelungsnormalform

siehe dort "Beispiel: Zustandsvariablen für ein Übertragungssystem 4. 
Ordnung". So, und diese Differentialgleichung versuche ich in den 
Zustandsraum zu bringen. Ich verstehe den 1. Schritt, wo die Ableitungen 
von y durch x1, x2, ... substituiert werden. Aber den letzten Schritt 
verstehe ich nicht mehr:

warum ist

$$\dot{x}_{4} = -a_{3}x_{4} -a_{2}x_{3} -a_{1}x_{2} -a_{0}x_{1} + u$$

 ??
und wie komme ich dann schliesslich auf

$$y = b_{0}x_{1} + b_{1}x_{2} + b_{2}x_{3} + b_{3}x_{4}$$

 ? das leuchtet mir überhaupt nicht ein. Könnte es mir jemand erklären? 
Ich muss dazu noch anmerken, dass wir in der Uni erst ganz am Anfang vom 
Zustandsraum sind, also wir haben erst damit angefangen daher habe ich 
momentan erst wenig Vorkenntnisse, abgesehen natürlich von der 
klassischen Regelungstechnik.

Ich hoffe ihr könnt mir einen Tipp geben!

Viele Grüsse

[Mar V. (marvol)]

Hallo Rolf,

das erste ist eine der Zustandsdifferentialgleichung und das andere ist 
die Ausgleichsgleichung. Die Ausgleichsgleichung gibt Dir nur das 
Ergebnis von x(t) zurück. Die Ausgleichsgleichung ist kein weiterer 
Schritt von der Zustandsdifferentialgleichung.

Gruß
Marvol

[Rolf (Gast)]

Hi Marvol,

danke für deinen Beitrag. Ich habe meine Frage vielleicht etwas 
unglücklick formuliert :-) Ich mache mal ein Beispiel.

Meine DGL sei:

$$y''' = 2y'' - 6y' +7y -3u$$

dann setze ich:

$$x_1 = y$$

$$x_2 = y'$$

$$x_3 = y''$$

und erhalte somit

$$x_1' = x_2$$

$$x_2' = x_3$$

$$x_3' = 2x_3 - 6x_2 +7x_1 -3u$$

und erhalte so folgende Matrizendarstellung:

$$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 7 & -6 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot u$$

aber das ist definitiv falsch, es müsste doch

$$\begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \\ x_3' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 7 & -6 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot u$$

sein, und dafür hätte ich eine andere Ausgabegleichung, oder? irgendwo 
mache ich einen Denkfehler, die Frage ist: wo? :-)

[Gerald M. (gerald_m17)]

Deine erste Matrixdarstellung hat einen minusfehler.
Setze mal anstatt

$$x_1 = y$$

 usw

$$3x_1 = y$$

$$3x_2 = y'$$

 usw

[Rolf (Gast)]

Stimmt, es müsste natürlich -3u sein. Aber mit deinem Ansatz komme ich 
irgendwie gar nicht auf einen grünen Zweig :-( kannst du nochmal einen 
Tipp geben?

[Dumdi D. (dumdidum)]

Rolf schrieb:


und was ist denn jetzt die Frage?

[Rolf (Gast)]

Wo mein Fehler liegt.

[Gerald M. (gerald_m17)]

$$y''' = 2y'' - 6y' +7y -3u$$

$$3x_1 = y$$

$$3x_2 = y'$$

$$3x_3 = y''$$

$$x_1' = \frac 13 y'=\frac 13 \cdot \left( 3 x_2 \right) = x_2$$

$$x_2' = \frac 13 y''=\frac 13 \cdot \left( 3 x_3 \right) = x_3$$

$$x_3' = \frac 13 y''' = \frac 13 \left( 2y'' - 6y' +7y -3u \right)$$

$$x_3' = \frac 13 \left( 3 \cdot 2x_3 + 3 \cdot -6x_2 + 3 \cdot 7x_1 -3u \right)$$

$$x_3' = \left( 2x_3 -6x_2 + 7x_1 -u \right)$$

in die Matrix einsetzen kannste selber. wenn du

$$-3x_1 = y$$

 einsetzt fällt auch das minus beim u heraus.
Ohne den Wiki Artikel gelesen zu haben, und zu verstehen was du da 
rechnest:
Die Zahl vor dem u ist Wurst, wichtig ist wahrscheinlich nur die 
Richtung von u, und nicht der Betrag