Verständnisfrage zu Tensoren

[Kai G. (runtimeterror)]

Hi zusammen,

eigentlich eine einfache/elementare Frage, zu der ich aber bislang keine 
Antwort finden konnte:
- Ist ein Vektor, der Matrizen als Elemente beinhaltet dasselbe wie
- eine Matrix, die Vektoren beinhaltet
Analog dazu wären dann ja auch folgende Sichtweisen korrekt:
- Ein Tensor (3. Ordnung), der Skalare beinhaltet
- Ein Skalar, welches einen Tensor 3. Ordnung beinhaltet
- Ein Vektor bestehend aus Vektoren bestehend aus Vektoren bestehend aus 
Skalaren

Die Adressierbarkeit der Elemente ist ja in allen Fällen ähnlich, 
diverse Rechenoperationen werden identisch ausgeführt, aber handelt es 
sich tatsächlich um dasselbe Konstrukt?

Danke und schöne Grüße,
Kai

ps: ich hoffe, das Unterforum ist sinnvoll gewählt

[Nicolas S. (Gast)]

Äh, nein.

Mathematisch und Anwendungstechnisch sind Skalare, Vektoren, Matrizen, 
Tensoren und Elemente eines Vektors/Matrix/Tensors ganz unterschiedliche 
Konstrukte.

Datentechnisch können sie aber ähnlich dargestellt werden (genauso wie 
z.B. komplexe Zahlen und 2d-Vektoren).

Aus einem Tensor wird ein Vektor durch Verkürzung, eine Matrix durch 
Transformation in ein Bezugssystem, ein Skalar durch doppelte 
Verkürzung.

Viele Grüße
Nicolas

[Kai G. (runtimeterror)]

Nicolas S. schrieb:
> Äh, nein.
>
> Mathematisch und Anwendungstechnisch sind Skalare, Vektoren, Matrizen,
> Tensoren und Elemente eines Vektors/Matrix/Tensors ganz unterschiedliche
> Konstrukte.

Öhm, nein :)
Skalare, Vektoren und Matrizen sind Tensoren.
Siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Tensor

Des weiteren werden Tensoren in der Tensoranalysis gleichbehandelt - 
unabhängig davon, ob es sich um Vektoren, Matrizen, etc. handelt.

Meine Frage kann man umformulieren in: Ist ein Tensor n-ter Ordnung, der 
Tensoren m-ter Ordnung als Elemente beinhaltet dasselbe wie ein Tensor 
(n+m)-ter Ordnung?

[Kai G. (runtimeterror)]

Ah, ich glaube, ich hatte deine Antwort teilweise missverstanden. Ich 
lasse meine Frage dennoch mal im Raum, auch wenn ich denke, dass du 
recht hast.

[Walter T. (nicolas)]

Hallo Kai,
irgendwie ist auch meine zweite Antwort, die die Sache etwas klarer 
stellen sollte, verlorengegangen.

Also nochmal:

Eine Matrix ist ein spezieller Tensor. (Die gleichen Ausführungen gelten 
auch für Vektoren). Willst Du einen Tensor darstellen, brauchst Du 
gewöhnlich eine Koeffizientenmatrix und eine Basis. Nimmst Du die Basis 
als implizit vorhanden an, ist also eine Matrix eine spezielle 
Darstellungsweise eines Tensors, von dem es allerdings viele 
Darstellungsweisen gibt.

Alle diese Darstellungsweisen haben Gemeinsamkeiten (sogenannte 
"Invarianten"), z.B. die Determinante und die Eigenwerte bleiben bei 
jeder Matrixdarstellung des selben Tensors gleich.

Die Elemente der Koeffizientenmatrix sind Skalare. Die Spalten- oder 
Zeilenvektoren der Koeffizientenmatrix sind Vektoren. So gesehen sind 
Skalare, Vektoren und Matrizes Teile von Tensoren. Ein Skalar ist ein 
Tensor nullter Stufe. Ein Vektor ein Tensor erster Stufe (bei der 
Annahme einer implizit vorhandenen Basis). Ein Tensor zweiter Stufe eine 
Matrix (bei der gleichen Annahme).

Und mein Kaffee ist jetzt auch fertig.

Viele Grüße
Nicolas