Hallo, nehmen wir an, ich habe z.B. ein Sensor welcher mir eine lineare Spannung von +-10 liefert und diesem ist ein sehr Breitbandiges Rauschen 0-500 kHz überlagert, mit einer Aplitude von ca. 5% des Grundsignals. Dieses Signal wird ohne Aliasing Filter von einem AD-Wandler abgetastet, mit einer beliebigen Abtastrate von z.B. 1kHz, damit wäre nach Shannon eine Signalerfassung/Signalrekonstruktion von 500 Hz möglich. Welche Werte bekommt der AD Wandler? Nun alle Werte die in einem Zeitabstand von 0,001s vorliegen, das ist klar. Aber von welcher Frequenz? Oder ist es der momentane Wert der überlagerten Frequenzen zu diesem Zeitpunkt? (Wäre ja logisch...)
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Nehmen wir einen Wandler, der ein beliebig schmales Zeitfenster samplet. Dann messen wir irgendwas, koennen aber nur bis 500Hz rekonstuieren. Alle hoeheren Frequenzen werden mitgesamplet.
Sämtliche Frequenzen überhalb deiner halben Abtastfrequenz wird dir volle Kanne in dein Nutzband gespiegelt ;-)
runtastic schrieb: > Sämtliche Frequenzen überhalb deiner halben Abtastfrequenz wird dir > volle Kanne in dein Nutzband gespiegelt ;-) Genau. Und da oberhalb deiner halben Abtastrate bis zur tausendfachen Bandbreite nur Rauschen ist, wird das entsprechend vielfach im abgetasteten Signal vorhanden sein - falls der AD-Wandler nicht schon TP-Charakteristik hat. Fazit: es geht nichts über einen TP an der Stelle!
@ runtastic Was meinst du konkret mit Nutzband gespiegelt? Ich weiß noch das dies der Alias Effekt ist und die Frequenzen oberhalb der Nyquist (1kHz in meinem Beispiel). Aber welchen Wert bekommt jetzt letztendlich mein AD Wandler aus dem verrauschten Signal zum Abtastzeitpunkt? Wäre das dann der überlagerte Wert der einzelnen Frequenzteile? Sprich man müsste ja das ganze in viele Signale aufteilen in Betrag, Frequenz und Phase. Addiert man all diese Signale in an einem Zeitpunkt x zusammen, hat man dann das Rauschsignal an einem Zeitpunkt x? In diesem Zeitpunkt x, der Abtastzeitpunkt wird das Rauschsignal abgetastet, ist dies dann der Wert, welcher die überlagerten Signale bilden?
Ich bin mir nicht sicher, ob ich Dir auf die folgende Weise wirklich helfe, aber ich versuche es einmal. In gewisser Weise steht Dir diese Überlagerungsgeschichte ein wenig im Weg, denke ich. Denn wie käme sonst die Frage auf, zu welcher Frequenz ein gewisser Abtastwert gehört. Interessanterweise gibst Du auch selbst die korrekte Antwort vor: >... der momentane Wert der überlagerten Frequenzen zu diesem Zeitpunkt? >Wäre das dann der überlagerte Wert der einzelnen Frequenzteile? Denoch scheint Dich das nicht recht zu befriedigen und es ist schwierig zu erkennen, woran das genau liegt. Einziger Anhaltspunkt ist die immer wieder auftretende "Überlagerung". Zunächst einmal ist der Abtastwert einfach nur ein Wert. Wie er entsteht, ob durch Überlagerung oder sonst einen Prozess ist in erster Linie nicht wichtig. Die kriegst einfach eine Folge von Werten. Du kannst diese Werte graphisch darstellen. Sie ergeben einen "Verlauf". Die Ordnung darin entsteht durch die zeitliche Abfolge. Ein wesentlicher Punkt darin ist die Gleichmäßigkeit der Abfolge; die zeitliche Distanz ist immer gleich (davon kann man übrigens auch abweichen, aber das ist ein tieferliegendes Thema). Wichtig ist, das über die gemessene Spannung erstmal nicht mehr gesagt wird, als wie sie eben zeitlich verläuft. Die ominöse "Überlagerung" nun, ist eigentlich ein Zwitter; d.h. sie bezeichnet zwei voneinander verschiedene Dinge. Die eine ist genauer eine "Zerlegung", eine Analyse. Die andere eine Synthese, sie wird üblicherweise tatsächlich "Überlagerung" aber auch "Addition" oder "Mischung" genannt. Was ist aber nun wichtig daran für Deine Frage? Man muss dazu wissen, dass die Zerlegung, eine Überlegung von Fourier, sinngemäß so lautet, daß man jede periodische Funktion (in diesem Zusammenhang ist das das gleiche wie ein Werteverlauf) in einfache Funktionen, nämlich den Sinus und den Cosinus der Zeit zerlegt werden kann, so das deren Addition wieder den ursprünglichen Werteverlauf hat. Man muss dabei beachten, das er nicht gesagt hat, das diese Summe tatsächlich aus einer Addition entstanden ist. Nein. Er sagt uns nur was über die "Analyse" eines Werteverlaufs. Man kann nicht sagen, ob der durch Überlagerung entstanden ist oder nicht. Insofern sind das einfach Werte die Du da misst. Wie sie enstanden sind, geht aus ihnen nicht hervor. Auf der anderen Seite kann man (wie Du weisst) tatsächlich Werte von Verläufen verschiedener Funktionen einander überlagern; d.h. addieren. Beachte hier, das nicht notwendigerweise Sinusfunktionen eine Überlagerung bilden. Das geht vielmehr mit jeder Funktion (mit einigen Einschränkungen, die ich hier aber mal beiseite lasse). Jedenfalls kann das irgendeine Funktion sein. Eine e-Funktion beispielsweise. Witzig, ist, das man, auch wenn die ursprünglichen Funktionen keine Sinus- resp. Cosinusfunktion waren, dennoch eine Analyse, d.h. eine Zerlegung so durchführen kann als ob die Funktion aus Sinus- und Cosinus entstanden ist. Das scheint vielleicht etwas akademisch. Aber es hat seinen Grund das ich das so erkläre. Du fragst nämlich (bzw. gibst als mögliche Antwort vor): >Oder ist es der momentane Wert der überlagerten Frequenzen zu diesem Zeitpunkt? Darauf muss man antworten "Jein". Einerseit kann man die Werte, wie oben beschrieben in Sinus- und Cosinusfunktionen zerlegen. Und was wir als "Elektriker" kenne, was diesen Dingen entspricht sind "Frequenzen", genauer eigentlich periodische Sinus-Verläufe. Andererseits aber weiss man nicht wirklich auf welche Weise diese Werte tatsächlich entstanden sind. Ein Teil der Antwort ist also auch "Nein". Du fragst schliesslich: >Aber von welcher Frequenz? Dazu muss man wissen, das einem einzelnen Abtastwert keine Frequenz zuzuordnen ist. Das weisst Du wahrscheinlich, aber möglicherweise ohne den Grund dafür zu kennen. Dabei ist es recht einfach, schon fast primitiv. Eine Frequenz lässt sich überhaupt nur im Zusammenhang mit der Zeit, mit dem Ablauf der Zeit sinnvoll beschreiben. Zu einem Zeitpunkt t_1 muss ein gewisser Zustand vorliegen, zu einem anderen Zeitpunkt t_2 muss ein anderer Zustand vorliegen (es könnte der selbe sein, aber dann ändert sich nichts). D.h Du kannst von einem einzelnen Wert nicht sagen das er eine Frequenz enthält, bzw. das er von einer gewissen Frequenz sei. Davon strikt unterscheiden, musst Du Dein eventuelles Wissen, das Du da gerade ein synthetisiertes Signal abtastest; eines das zusammengesetzt ist; überlagert aus verschiedenen Signalen. Das Wissen in Deinem Kopf ist etwas ganz anderes als die Zustände Deiner Schaltung, die darauf reagiert und auf die Änderung von Zuständen. Ich nehme an, das ich Dein Problem möglicherweise nicht getroffen haben könnte, aber ich hoffe das Dir in diesem Fall, die Begriffe und Zusammenhänge helfen Deine Frage etwas anders zu stellen, damit man Deinem gedanklichen Problem auf die Spur kommt.
Ich will nochmal kurz (sic!) auf das Rauschen eingehen, denn es scheint mir bei Deiner Frage ein Rolle zu spielen, auch wenn ich sie nicht genau einschätzen kann. Es gibt Rauschquellen mannigfacher Art mit ebenso mannigfaltiger Charakteristik. Z.B. Widerstandsrauschen, Diodenrauschen aber auch Strahlung durch Elektronenübergange in der Sonne oder Spherics. Man könnte streiten ob das alles Rauschen ist aber es sind qualitativ insofern Rauschsignale als das sie irregular sind und darauf kommt es an. Ich kenne mich in der Physik nicht wirklich tief aus, aber der Punkt ist, das viele dieser Prozesse entweder bekanntermaßen keine Schwingungen sind, auch keine Sinusförmigen und das letzendlich Energie in Stufen (die berühmten Quanten) ausgetauscht wird. Für unsere (haushaltsüblichen) Auflösungen sind aber jedenfalls Prozesse dabei die gerade nicht sinusförmig verlaufen. Das hat nichts damit zu tun, das man sie nicht in Sinus- und Cosinusförmige Einzelanteile zerlegen kann. Fourier sagt, wie oben geschrieben, dass man das man immer kann (solange sie als periodisch angenommen werden), egal ob der erzeugende Prozess nun in seiner "Essenz" sinusförmig verläuft oder auch nicht.
@ConvertsQuestionsToAnswers Danke! :) Ich denke ich bin mir jetzt sicher. Ich habe einen Wert y zu einem Zeitpunkt x (Abtastzeitpunkt). Egal wie dieser entstanden ist... Fourier dinet lediglich zur Analyse bzw. Synthese von periodischen Signalen. Ich weiß auch das man die Fourier Transormation mit e-Funktionen machen kann, dies ist aber ein anderes Thema (komplexe Zahlen ect.) Sobald aber praktisch ein Signal mit nicht periodischen Werten auftritt hat Fourier keine Gültigkeit mehr. Um nun ein sauberes Signal (bis auf Restwelligkeit unterhalb fg vom Filter)zu erhalten, müsste ich das Ganze filtern und gut ist.
>Sobald aber praktisch ein Signal mit nicht periodischen Werten auftritt >hat Fourier keine Gültigkeit mehr. Strenggenommen nicht. Aber für praktische Zwecke wird das unterstellt. >Um nun ein sauberes Signal (bis auf Restwelligkeit unterhalb fg vom >Filter)zu erhalten, müsste ich das Ganze filtern und gut ist. Das hat (wenn ich Dich recht verstehe) gewisse Gründe die mit der "Faltung" zu tun haben. Ich empfehle Dir als ausgezeichnete Lektüre den DSP-Guide unter http://www.dspguide.com/ Leider in Englisch. Aber das Thema ist in so gut verständlicher Sprache und in solch kleinen Schritten erklärt, dass es sich lohnt dafür Englisch zu lernen. Ich kenne kein vergleichbares Werk in deutscher Sprache. (Lasse mich aber gerne eines besseren belehren).
So ungefähr... Tatsache ist: Sinnvoll abtasten und mit Fourier.., oder sonstwas weiterverarbeiten kann man nur, wenn die Eingangsfrequenz auf die halbe Abtastfrequenz begrenzt ist. Bei deinem 500 kHz Rauschen müsstest du mit 1 MHz samplen und kannst danach digital was immer du willst (und kannst) herausfiltern.
Ich habe da mal eine Frage, die sich dieser hier anschließt: Angenommen ich verletze Nyquist und filtere vorher nicht, so kann ich im Spektrum sehen, dass Frequenzen oberhalb fs/2 nach vorne gespiegelt werden. Dadurch geht mein Spektrum "kaputt", ich kann nicht mehr Nutzsignal von Alias unterscheiden; aber ich verstehe das Problen danach nicht. Wenn ich mein Signal im Zeitbereich abtaste, "treffe" ich doch immer noch den originalen Signalverlauf. Ich kann also unter Umständen damit weiter arbeiten? Versteht ihr was ich meine? Ich kann zwar zwischen den Stützstellen das Signal nicht vollständig rekonstruieren, aber meine gemessenen Werte sind ja nach wie vor richtig?! Wann macht alias also ein Problem und wann nicht? Oder angenommen ich sample einen Sensor, der mit weißem Rauschen überlagert wird mit z.B. 1kHz , dezimiere (mit lowpass) auf 10Hz. Diese auf 10Hz dezimierten Daten lasse ich mir z.B. anzeigen, oder lese sie aus. Aber nur mit 2 Mal in der Sekunde. Im Prinzip tritt dann wieder ein resampling auf, meine Werte stimmen aber zu den Zeitpunkten überein? Was passiert dann mit dem Rauschen? Kann ich das danach immernoch mit der selben Varianz beschreiben? Danke und schöne Grüße, Jan
Jan K. schrieb: > Wenn ich mein Signal im Zeitbereich abtaste, "treffe" ich doch immer > noch den originalen Signalverlauf. Ich kann also unter Umständen damit > weiter arbeiten? Versteht ihr was ich meine? Ich kann zwar zwischen den > Stützstellen das Signal nicht vollständig rekonstruieren, aber meine > gemessenen Werte sind ja nach wie vor richtig?! Wann macht alias also > ein Problem und wann nicht? Deine Aufzeichnung enthält aber nur einen Haufen diskreter Messwerte, ohne dass man direkt einen Zusammenhang erkennt. Du möchtest doch aber damit weiter Arbeiten, Informationen aus dem Signal schliessen. Und da muss man schon wissen, ob man nun ein Signal mit 80kHz oder 120kHz hat. Gruß, René
Es geht mir nicht darum, den konkreten Signalverlauf zu beschreiben, ich bin sozusagen am Ende meiner Verarbeitung. Die Daten sollen wenn überhaupt auf statistische Eigenschaften untersucht werden (Rauschen->mean+cov), z.B. bei einer Langzeitmessung, die ich nur mit 2 Hz ausführen kann, oder aber ausgegeben (Display, UART) werden. Dort zählen eh nur noch aktuelle Werte. Die Frage ist eher, ob sich die statistischen Eigenschaften drastisch verändern können oder ob sie erhalten bleiben. Wenn ich das Signal als nicht deterministisch annehme, kann ich eh auf keinen konkreten Verlauf zurückschließen. Nur zur Beruhigung: Innerhalb der Verarbeitungskette (im uC) wird immer auf Nyquist geachtet und entsprechend hoch abgetastet und dann dezimiert und schließlich verarbeitet. Hier geht es aber um das "Ende" der Verarbeitung, oder eben um eine Langzeitmessung, die ich nicht im Controller speichern kann und daher per UART übertragen muss. Danke für eure Hilfe, Jan
Wenn dein Rauschen gleichmässig verteilt ist, kannst Du eine Aussage über die zu erwartenden Anteile der Spiegelfrequenzen machen, in dem Du deren Summe auf die Energiemenge beziehst, die in dem von Dir betrachteten Band liegen. Wenn Du 5% über 500kHz hast, dann liegen 95% im Gesamtband und bei Abtastung von 1kHz nur 1/500 davon im auswertbaren Bereich. Das wären dann 95/500 = 0,2 mit S/N = 25!!!! Wenn Du aber den kompletten Nutzanteil der 95% in dem Bereich unter 500Hz hast, dann bleibt es bei S/N = 95/5. Um das komplett sicherzustellen, also dafür zu sorgen, dass nur der Störanteil im Betrachtungsband wirkt, musst Du alles wegfiltern, was mehr, als 500Hz hat. Nur dann sind deine "guten" Frequenzen unterhalb von 500 auch nur von "bösen" unterhalb von 500 gestört und nicht etwa auch noch von ungewollten Spiegelfrequenzen. Das Problem ist nämlich, dass auch eigentliche Nutzsignale oberhalb von 500 dann zu ungewollten Anteilen führen.
Jan K. schrieb: > Dort zählen eh nur noch aktuelle Werte. Schön wäre es. Wenn du z.B. ein durch Netzeinstreuung mit Netzfrequenz überlagertes Signal mit 50 Hz abtastest und die Netzfrequenz gerade bei 50.01Hz ist, siehst du in deinem abgetasteten Signal durch Aliasing eine langsame Schwingung mit 0.01Hz. Willst du das?
Mike schrieb: > Jan K. schrieb: >> Dort zählen eh nur noch aktuelle Werte. > Schön wäre es. Wenn du z.B. ein durch Netzeinstreuung mit Netzfrequenz > überlagertes Signal mit 50 Hz abtastest und die Netzfrequenz gerade bei > 50.01Hz ist, siehst du in deinem abgetasteten Signal durch Aliasing eine > langsame Schwingung mit 0.01Hz. Willst du das? Das stimmt, aber bei der Auswertung von z.B. Sensorsignalen wird ja oftmals eine relative und keine absolute Amplitudenänderung ausgewertet. Da ist es dann auch nicht schlimm, wenn das Nutzsignal dann sehr niederfrequent "oszilliert". Habe ich selbst schon genau so gemacht. Das hat aber natürlich auch Grenzen.
Third Eye schrieb: > Das stimmt, aber bei der Auswertung von z.B. Sensorsignalen wird ja > oftmals eine relative und keine absolute Amplitudenänderung ausgewertet. > Da ist es dann auch nicht schlimm, wenn das Nutzsignal dann sehr > niederfrequent "oszilliert". Was mit den Abtastwerten genau passiert, hat der TO nicht beschrieben. Die Sache mit 50.01 und 50Hz war nur ein Beispiel zur Verdeutlichung. Bei verrauschtem Eingangssignal entstehen natürlich alle möglichen gespiegelten Frequenzanteile. Im allgemeinen Fall ist das überhaupt nicht auf "niederfrequent oszillieren" beschränkt.
Mike schrieb: > siehst du in deinem abgetasteten Signal durch Aliasing eine > langsame Schwingung mit 0.01Hz. Willst du das? die man wegfiltern würde und blubb, ist das Problem dahin.
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