RC-Reihenschaltung, Wechselspannung, I-Berechnung

[M. M. (blackcow)]

Hallo,

ich habe eine etwas theoretische Frage:

Stellt euch Folgendes vor: Eine Reihenschaltung von ohmschen Widerstand 
R, und einem idealen Kondensator C an einer Wechselspannung 
U(t)=u*sin(w*t).

Man kann den Strom durch ein Spannungsdreieck herleiten. Man erhält den 
Phasenverschiebungswinkel Phi und die Stromstärke i. Bei mir sieht das 
Ergebnis dann so aus:
I(t) = i*sin(w*t-Phi) = ((u*w)/squr(Xc²+R²))*sin(w*t-atan(Xc/R)


Nun habe ich versucht das ganze rein mathematisch zu lösen:

I(t) = Ur(t)/R = (1/R)*(U(t)-Uc(t)) = (u/R)*sin(w*t)-(1/R)*Uc(t)

da für Kondensator gilt:
Q=U*C=SI(t)dt => Uc=SI(t)dt/C

damit:
I(t) = (u/R)*sin(w*t)-(1/R)*(SI(t)dt/C)
<=> I(t)' = ((u*w)/R)*cos(w*t)-(1/(R*C))*I(t)

Also eine DGL. Die Lösung dieser DGL müsste bei geeignetem Startwert und 
durch Umformungen das selbe wie oben ergeben oder?

[M. M. (blackcow)]

M. M. schrieb:
> Also eine DGL. Die Lösung dieser DGL müsste bei geeignetem Startwert und
> durch Umformungen das selbe wie oben ergeben oder?

Auch bei einem falschen Startwert müsste sich doch der Graph der 
gelösten DGL auf die Werte des Graphen der obersten Gleichung 
einpendeln, denn es bedeutet doch nichts anderes als das der Kondensator 
beim Start anders geladen war?!

[Günter G. (Gast)]

Die Lösung existiert.

[M. M. (blackcow)]

Günter G. schrieb:
> Die Lösung existiert.

Ja nee, dann ist ja alles geklärt rolleyes.

[U. B. (Gast)]

> Die Lösung existiert.

Gott sei Dank, sonst wäre bei mir in den letzten 40 Jahren einiges 
falsch gelaufen ...

[T.A.E. (Gast)]

M. M. schrieb:
> Also eine DGL. Die Lösung dieser DGL müsste bei geeignetem Startwert und
> durch Umformungen das selbe wie oben ergeben oder?

Wie war das doch:
Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL besteht aus der allgemeinen 
Lösung der homogenen DGL und einer speziellen Lösung der inhomogenen 
DGL.

[M.M. (Gast)]

Und die spezielle Lösung der inhomogenen DGL ist für die oberste 
Funktion I(t) (Spannungsdreieck) Ausschlaggebend?!

[M. M. (blackcow)]

Tut mir leid ich habe noch nicht viel mit Differentialgleichungen zu tun 
gehabt. Folgenden Beitrag kapier ich nicht ganz:

T.A.E. schrieb:
> Wie war das doch:
> Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL besteht aus der allgemeinen
> Lösung der homogenen DGL und einer speziellen Lösung der inhomogenen
> DGL

Wie darf ich das verstehen? Also die Lösung dieser DGL (I(t)) besteht 
aus einer Lösung aus dem "homogenen Anteil" der DGL (a(t)) und einer 
speziellen Lösung aus dem "inhomogenen Anteil" (b(t))? Also dann sowas: 
I(t)=a(t)+b(t)?
Der "inhomogene Anteil" ist dann wohl ein (phasenverschobener) Sinus?