Mathematische Behandlung von Signalrauschen

[Hans (Gast)]

Hallo liebe Experten,

ich habe eine sehr mathematiklastige Frage zum Thema Signalrauschen.
Und zwar habe ich ein Signal, welches aus einer Summe von zwei 
e-Funktionen besteht.
Also in etwa f(t) = A * exp(-t/tau_a) + B * exp(-t/tau_b). Jetzt bin ich 
grundsätzlich an den beiden Amplituden A und B interessiert. In einer 
idealen Welt ohne jegliches Rauschen, lässt sich das durch einen Fit an 
diese Signalform herausfinden.

In meiner realen Welt jedoch, ist dieses Signal mit (weißem) Rauschen 
belegt. Gibt es eine Möglichkeit in Abhängigkeit des 
Signal-to-Noise-Ratios eine bestmögliche Bestimmung beider Amplituden zu 
errechnen?
Meiner Meinung nach sollte auch die Differenz der beiden 
Zerfallskonstanten tau_a und tau_b eine Rolle spielen, denn im Falle von 
tau_a = tau_b ist es ja unmöglich die Amplituden zu rekonstruieren.

Vielen Dank
Hans

[Rainer Z. (razi)]

Hai!

Hans schrieb:
> Und zwar habe ich ein Signal, welches aus einer Summe
> von zwei e-Funktionen besteht.
> Also in etwa f(t) = A * exp(-t/tau_a) + B * exp(-t/tau_b).

Okay. Eine Linearkombination also. Gut.

> Jetzt bin ich grundsätzlich an den beiden Amplituden A
> und B interessiert.

Rückfrage: Die Zeitkonstanten tau_a und tau_b sind also
a priori bekannt? Das ist wichtig...

> In einer idealen Welt ohne jegliches Rauschen, lässt sich
> das durch einen Fit an diese Signalform herausfinden.

Das geht auch in der realen Welt mit Rauschen. Die
Approximation mit der Gaußschen Fehlerquadratmethode
klappt - was komischerweise weithin unbekannt ist - mit
beliebigen Basisfunktionen. Voraussetzung ist nur, dass
die Modellfunktion eine Linearkombination ist, also die
Gestalt A * f1(x) + B * f2(x) +... hat und dass nur die
Koeffizienten A, B, ... gesucht sind. (Deswegen meine Frage
nach den Zeitkonstanten.)

Den genauen Algorithmus habe ich nicht präsent; sollte in
guten Numerik-Büchern zu finden sein (z.B. "H.R.Schwarz,
Numerische Mathematik").

> Meiner Meinung nach sollte auch die Differenz der beiden
> Zerfallskonstanten tau_a und tau_b eine Rolle spielen,
> denn im Falle von tau_a = tau_b ist es ja unmöglich die
> Amplituden zu rekonstruieren.

Ja, natürlich. Die einzelnen Basisfunktionen müssen
natürlich verschieden sein, sonst gibt es keine eindeutige
Lösung.

Grusz,
Rainer

[Wolfgang (Gast)]

Rainer Ziegenbein schrieb:
> Den genauen Algorithmus habe ich nicht präsent; sollte in
> guten Numerik-Büchern zu finden sein (z.B. "H.R.Schwarz,
> Numerische Mathematik").

Geometrisch betrachtet ist der Lösungsvektor die Projektion deines 
Signals auf den von deinen Modellfunktionen aufgespannten Raum, i.e. die 
Abweichung von Signal und Linearkombination der Modellfunktionen steht 
senkrecht auf dem Modellraum.

[Detlef _. (detlef_a)]

Für bekannte tau_a, tau_b läßt sich das mit linearer Regression lösen, 
script anbei.

math rulez
Cheers
Detlef

clear
t=0:0.1:10;
tau_a=1;
tau_b=2;
A=3;
B=4;
f=A*exp(-t/tau_a)+B*exp(-t/tau_b);
f=f+0.1*randn(size(f));
M=[exp(-t/tau_a).' exp(-t/tau_b).'];

coff=inv(M'*M)*M'*f.'
% Das sind die beiden rekonstruierten Koeffizienten

return