Fouriertransformation und -reihe

[guest007 (Gast)]

Hallo Leute,

also eine Fourierreihe ist ja eine unendliche Summe von cos- und 
sin-Signalen(diese enthalten Oberschwingungen von der 
Grundfrequenz(ganzzahlige Vielfache)). Diese Summe bzw. Reihe 
repräsentiert ein periodisches Signal. Also ein periodisches Signal kann 
durch diese unendliche Summe dargestellt werden.

Bei einer Fourie-transformation nimmt man jedoch einen Abschnitt von 
einen Signal her. Also man braucht ein nicht periodisches, einmaliges 
Signal. Die Periodendauer T geht hier gegen unendlich.


Stimmt das erstmal, was ich hier gesagt habe? Wenn nicht bitte 
kommentieren, wenn was wichtiges fehlt, ebenfalls kommentieren.


Zum Bild:
Bild1-1 zeit ein periodisches Signal s(t).

Bild1-2: Zeigt das nun einfach die Oberwschwingungen+Grundfrequenz, die 
in s(t) enthalten sind? Warum haben diese eine unterschiedliche 
Amplitude? Ich nehme an das sind nicht alle Teilschwingungen, da es ja 
pro periodisches Signal unendliche gibt.

Bild1-3: Das verstehe ich gar nicht. Also ich verstehe nicht wirklich 
den Sinn dahinter, warum man das überhaupt zeigt: s(t)*sin(...) und 
s(t)*cos(....)

Eine Funktion die symmetrische(ungerade) zur y-Achse ist, hat doch nur 
sin-Anteile und eine Funktion die asymmetrischen(ungerade) zur y-Achse 
ist, hat doch nur cos-Anteile. Wie ist es bei deiser Funktion? Weder 
noch, oder?

Ich hoffe ihr könnt mir da weiterhelfen!

Danke!

mfg

guest007

[ich (Gast)]

1. Die Fouriertransformation ist ebenfalls von - bis + unendlich 
definiert, siehe Wiki oder where ever.

2. Als sehr einfaches Beispiel würde ich ein Rechtecksignal vorschlagen. 
Zerlege das mal in seine Komponenten. Dann wirst du sehen, warum die 
Amplitude immer kleiner wird. Oder anders ausgedrückt. Wie müssen die 
ersten 10 Sinusschwingungen aussehen, um damit ein Rechtecksignal zu 
erzeugen?

Die Abbildung 3 ist mir ebenfalls schleierhaft.

Ja, das gezeigte Signal weist keine Symmetrien auf.

[Kai S. (kai1986)]

guest007 schrieb:
> Bei einer Fourie-transformation nimmt man jedoch einen Abschnitt von
> einen Signal her. Also man braucht ein nicht periodisches, einmaliges
> Signal. Die Periodendauer T geht hier gegen unendlich.

Nein, das stimmt so nicht. Die kontinuierliche Fouriertransformation ist 
über ein Integral von minus unendlich bis plus unendlich definiert. Ob 
die Funktion, die fouriertransformiert werden soll periodisch ist oder 
nicht ist dafür erstmal egal.
In der Realität hat man aber nicht unendlich Zeit, damit kommt man zur 
diskreten Fouriertransformation. Dabei wird ein Signal mit einer 
gewissen Dauer genommen. Zur Transformation wird dann die Annahme 
getroffen, das es sich nach der Dauer einfach wiederhohlt, was im 
Allgemeinen funktioniert.

Anschaulich wird bei der Fouriertransformation die Ausgangsfunktion 
einfach aus Sinuskurven zusammengebaut. Auf dieser Grafik sieht man 
Beispielswiese, wie ein Rechtecksignal aus verschiedenen Sinussignalen 
zusammengebaut wird.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Fourier_synthesis.svg

Gruß Kai

[Diodenes (Gast)]

Such mal auf youtube nach den Kanälen von Jörn Loviscach und Stephan 
Mueller und sieh Dir die Beiträge zur FT an, das ist besser als manches 
Buch.

[René (Gast)]

Die Fourier-Reihe entspricht bereits einer diskreten 
Fourier-Transformation. Betrachtet man die ursprüngliche 
Fourier-Transformation wird diese, wie bereits geschrieben, über ein 
Integral von - bis + unendlich definiert. Mathematisch ist die 
Fourier-Transformation nichts anderes, als eine Basistransformation vom 
Zeitraum in den Frequenzraum (oder umgekehrt, da Hin- und 
Rücktransformation äquivalent sind).
Das zu zeigen ist, denke ich, das Ziel von Abb.1-3. Die Basis im 
Frequenzraum ist die Menge harmonischer Schwingungen aller Frequenzen. 
Bei der Fourier-Reihe entwickelt man nach einer Basis von Schwingungen 
mit ganzzahligen Vielfachen einer Grundfrequenz (cos wt, cos 2wt, cos 
3wt, ... und das ganze für sin). Bei der Entwicklung wird jeder 
Schwingung eine bestimmte Amplitude zugeordnet. Also wie stark spielen 
Schwingungen bei dieser bestimmten Frequenz in meinem Signal überhaupt 
eine Rolle. Diese Amplituden können auch 0 sein. Zum Beispiel wenn man 
ein harmonisches Signal mit einer einzigen festen Frequenz entwickelt, 
hat man in der Reihe nur eine Amplituden für diese Frequenz und alle 
anderen sind 0.
Die Bestimmung der jeweiligen Amplitude geschieht über einfache 
Produkte. Die Funktion s(t), wie sie im Zeitraum dargestellt wird, wird 
mit der Basis des Frequenzraums multipliziert und im diskreten Fall der 
zeitliche Mittelwert gebildet. So wie es die Bildunterschrift von 1-3 
sagt. Dort ist als Beispiel der Anteil von cos 2wt und sin 3wt an s(t) 
gezeigt. Wobei Ersterer 1 beträgt und der Zweite 0. In der Fourier-Reihe 
von s(t) taucht also ein mal 1*cos 2wt und ein mal 0*sin 2wt auf.

Ich hoffe ich konnte es einigermaßen verständlich rüber bringen :-)

Gruß René

[guest007 (Gast)]

Danke Leute!

Ich kenne mich schon besser aus und hab mir auch einige Videos von Jörn 
angeschaut, dennoch bin ich ein bisschen verwirrt.

Zum Bild:

In der linken Hälfte von Bild sieht man was zur Fourier-Reihe, also die 
komplexe und die "normale" Darstellung einer solchen Reihe. In der 
rechten Bildhälfte ist etwas zur Fourier-Transformation dargestellt.

1. Allg. Frage: Warum hat man Bild A und Bild B gleich aufgezeichnet? 
Oder ruft man hier einfach wieder die komplexe Darstellung einer 
Fourierreihe in Erinnerung(in der rechten Bildhälfte)?

2. Allg. Frage: Diese 6 Punkte auf der rechten Seite des Bildes, sollen 
die zeigen wie man von Bild B bzw. A auf Bild C kommt?


Ein wenig ins Detail:
Also bei der Fouriertransformation nimmt man einen Abschnitt eines 
Signals(erstmal egal ob periodisch oder nicht periodisch) und wiederholt 
diesen Abschnitt ins -unendliche und ins +unendliche(zumindest 
gedanklich). Richtig?

Punkt 1: Warum geht die Periodendauer gegen unendlich? Diese aussage auf 
dem Bild stimmt dann aber mit der, was ich oben sagte(das Abschnitt bis 
ins -unendliche und +unendliche wiederholt wird) nicht überein. Oder 
nimmt man einfach einen Abschnitt und der ist bis ins -unendliche und 
+unendliche einfach "gerade" also so in etwa: "... 
_____Abschnitt(graphisch)______ ...".
Wenn T->uenldich dann w->0 das ist klar, da 1/T = w

Punkt 2: Cn=0, wenn T->unenldich, da: 0*integral etc. = 0
Warum wurde das fettgedruckte hingeschrieben, aber nicht irgendwo 
verdeutlicht? Ist diese Info nun wichtig?

Punkt 3: Die Summe wird zu einem Integral von -unendliche bis 
+unendlich, weil w gegen Null geht? Das verstehe ich noch nicht ganz. 
Warum?

Punkt 4: Was soll das aussagen? wenn w=0 ist dann ist n*w auch 0.

Punkt 5: Ja, unten sieht man das Cn=S(w) im prinzip ist, also das 
fourier-integral. Aber warum sind die zufällig hier gleich?

Wenn ihr mir das beantworten könntet bitte, dann wird mir schon so 
einiges klar. Ich verstehe ja schon prinzipiell was Fourier gewollt hat, 
aber ein kleiner Knoten ist drinnen.

Wenn es geht antwortet bitte direkt unter meinen Fragen, also als Zitat.

Danke!

mfg

[René (Gast)]

guest007 schrieb:
> 1. Allg. Frage: Warum hat man Bild A und Bild B gleich aufgezeichnet?
> Oder ruft man hier einfach wieder die komplexe Darstellung einer
> Fourierreihe in Erinnerung(in der rechten Bildhälfte)?

Also wenn ich die Bildüberschrift von Bild B anschaue, ja ;-)

> 2. Allg. Frage: Diese 6 Punkte auf der rechten Seite des Bildes, sollen
> die zeigen wie man von Bild B bzw. A auf Bild C kommt?

So wie ich das sehe, sollen das die wesentliche Punkte sein, wie man von 
der Fourier-Reihe auf die allgemeine Fourier-Transformation kommt. 
Sozusagen ein Konzept, wie man sich den Übergang vorstellen kann.



> Ein wenig ins Detail:
> Also bei der Fouriertransformation nimmt man einen Abschnitt eines
> Signals(erstmal egal ob periodisch oder nicht periodisch) und wiederholt
> diesen Abschnitt ins -unendliche und ins +unendliche(zumindest
> gedanklich). Richtig?

Jein. Also wenn man ein periodisches Signal anschaut, sollte dies 
sowieso von - unendl. bis + unendl. definiert sein. In der Ralität 
trifft man bei Messungen o.Ä. aber verständlicherweise immer nur auf 
zeitlich begrenzte Funktionen, die innerhalb des Zeitramens allerdings 
periodisch sein können. Der Anfang ist mit periodischen Signalen über 
eine unendlich ausgedehnte Zeit aber deutlich einfacher.

Die zeitliche Begrenzung kann man sich als Überlagerung einer 
periodischen Funktion mit einem Rechteckpuls, der innerhalb einer Zeit 
t_1<t<t_2 1 ist und sonst Null, vorstellen. Wenn du in diese Thematik 
weiter eintauchen willst, solltest du dir den Zusammenhang zwischen 
Fourier-Transformation und Faltung ein mal anschauen. Ich denke, das 
würde den Rahmen hier in diesem Beitrag etwas Sprengen.
Für den Anfang nimmst du am besten erst mal periodische Signale über 
eine unendliche Zeit an.



> Punkt 1: Warum geht die Periodendauer gegen unendlich? Diese aussage auf
> dem Bild stimmt dann aber mit der, was ich oben sagte(das Abschnitt bis
> ins -unendliche und +unendliche wiederholt wird) nicht überein. Oder
> nimmt man einfach einen Abschnitt und der ist bis ins -unendliche und
> +unendliche einfach "gerade" also so in etwa: "...
> _____Abschnitt(graphisch)______ ...".
> Wenn T->uenldich dann w->0 das ist klar, da 1/T = w

T ist ja nicht die Periodendauer des Signals, sondern die Länge des 
betrachteten Zeitabschnitts, die betrachtet wird.



> Punkt 2: Cn=0, wenn T->unenldich, da: 0*integral etc. = 0
> Warum wurde das fettgedruckte hingeschrieben, aber nicht irgendwo
> verdeutlicht? Ist diese Info nun wichtig?

Dient nur als Vorbemerkung zu Punkt 5, denke ich.


> Punkt 3: Die Summe wird zu einem Integral von -unendliche bis
> +unendlich, weil w gegen Null geht? Das verstehe ich noch nicht ganz.
> Warum?
>
> Punkt 4: Was soll das aussagen? wenn w=0 ist dann ist n*w auch 0.


Bei der Fourier-Reihe summierst du über Vielfache einer Grundfrequenz 
w_0. Du betrachtest damit also nur Frequenzschritte die um genau ein mal 
w_0 auseinander liegen. Beim Übergang von der Summation zum Integral 
gehen deine Frequenzabstände gegen 0, man sagt dass man infinitesimal 
kleine Abstände dw betrachtet. Der Abstand ist also unendlich klein.


> Punkt 5: Ja, unten sieht man das Cn=S(w) im prinzip ist, also das
> fourier-integral. Aber warum sind die zufällig hier gleich?

Da verstehe ich nicht ganz, was du meinst. Ich denke du gehst auf Punkt 
6 ein. Das ist nur eine andere Beschreibung, damit man Fourier-Reihe und 
Fourier-Transformation unterscheidet, also damit keine 
Verwechslungsgefahr besteht.

Ich hoffe, der dichte Wald der Fourier-Transformation lichtet sich so 
langsam.
Wenn du das dann geschafft hast, kannst du dir ja auch gerne noch andere 
Transformationen anschauen, wie die Laplace-Transformation o.Ä. ;-)

Gruß,
René

[Yalu X. (yalu) (Moderator)]

Ich versuche mal, die noch nicht beantworteten Fragen zu beantworten
(falls ich eine vergessen habe, bitte meckern):

guest007 schrieb:
> Ich nehme an das sind nicht alle Teilschwingungen, da es ja
> pro periodisches Signal unendliche gibt.

Es ist auch möglich, dass ein Signal nur endlich viele Oberschwingungen
enthält. Triviales Beispiel: Eine reine Sinusschwingung besteht nur aus
der Grundschwingung und enthält überhaupt keine Oberschwingungen.

Vermutlich ist das Beispiel in Bild 1-1 so konstruiert, dass es
tatsächlich nur die Grund- und die ersten drei Oberschwingungen,
insgesamt also 4 Frequenzen enthält.

> Bild1-3: Das verstehe ich gar nicht. Also ich verstehe nicht wirklich
> den Sinn dahinter, warum man das überhaupt zeigt: s(t)*sin(...) und
> s(t)*cos(....)

Hier wird gezeigt, wie die Amplituden der Einzelschwingungen berechnet
werden. Die Amplitude des Sinusanteils der Oberschwingung mit der
Frequenz ω ist der Mittelwert von s(t)·sin(ωt). Entsprechendes gilt für
den Cosinusanteil.

Der Mittelwert der roten Kurve (=1) ist also die Amplitude der
Cosinusoberschwingung mit der Frequenz 2ω₀. Korrekterweise muss man bei
der Entwicklung der Fourier-Reihe auch negative Frequenzen
berücksichtigen. Die Amplitude der Oberschwingung mit der Frequenz -2ω₀
ist ebenfalls 1. Nimmt man beide zusammen, ist die Gesamt Amplitude
gleich 2. Die Summe dieser beiden Oberschwingungen ist in Bild 1-2 als
helltürkise Kurve gezeichnet und hat tatsächlich die Amplitude 2.

Mit der blauen Kurve in Bild 1-3 wird der Sinusanteil der 3.
Harmonischen (3ω₀) bestimmt. Der Mittelwert ist 0, somit deckt sich die
entsprechende Kurve in Bild 1-2 mit der Zeitachse ist somit nicht zu
erkennen. Der Cosinusanteil der 3. Harmonischen (der in Bild 1-3 nicht
berechnet wird) hat aber sehr wohl eine von null verschiedene Amplitude
und taucht in Bild 1-2 als schmutziggelbe Kurve auf.

Die Formeln für a_n und b_n im Bild "fourier.png" zeigen noch einmal
diese Betsimmung der Amplituden: Zuerst wird s(t) mit einer Sinus- bzw.
Cosinusfunktion der gewünschten Frequenz (nω₀) multipliziert. Vom
Produkt wird der Mittelwert berechnet, indem das Integral über eine
Periode durch die Periodendauer dividiert wird. Am Schluss wird das
Ganze noch mit 2 multipliziert, um auch die entsprechende negative
Frequenz (-nω₀) zu berücksichtigen.

guest007 schrieb:
> 1. Allg. Frage: Warum hat man Bild A und Bild B gleich aufgezeichnet?
> Oder ruft man hier einfach wieder die komplexe Darstellung einer
> Fourierreihe in Erinnerung(in der rechten Bildhälfte)?

Genau dieses.

> 2. Allg. Frage: Diese 6 Punkte auf der rechten Seite des Bildes, sollen
> die zeigen wie man von Bild B bzw. A auf Bild C kommt?

So ist es.

> Ein wenig ins Detail:
> Also bei der Fouriertransformation nimmt man einen Abschnitt eines
> Signals(erstmal egal ob periodisch oder nicht periodisch) und wiederholt
> diesen Abschnitt ins -unendliche und ins +unendliche(zumindest
> gedanklich). Richtig?

Nicht ganz:

Für periodische Signale wendet man die Fourier-/Reihe/ an, so wie oben
erklärt.

Nichtperiodische Signale haben sozusagen eine unendlich lange Periode.
Also wird das Verfahren für periodische Signale per Grenzübergang t→∞
verallgemeinert. Allerdings hat die Sache einen Haken: Während sich das
periodische Signal aus Einzelschwingungen mit diskreten Frequenzen
zusammensetzt, sind beim nichtperiodische Signal die Frequenzen
kontinuierlich. Das führt dazu, dass für t→∞ die Einzelaplituden gegen 0
streben, so dass die ganze Berechnung keinen Nutzen hat. Man begegnet
diesem Problem dadurch, dass man bei der Mittelwertbildung die Division
durch T einfach weglässt. Das Ganze nennt sich dann
Fourier-/Transformation/.

Genauso, wie man ein nichtperiodisches Signal (ohne das Weglassen der
Division) nicht in eine Fourier-Reihe entwickeln kann, kann man die
Fourier-Transformation nicht auf periodische Signale anwenden. Versucht
man das trotzdem, hat die resultierende Spektralfunktion für die
ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz unendliche Werte.

> Punkt 1: Warum geht die Periodendauer gegen unendlich?

Salopp ausgedrückt: Weil die Suche nach dem Periodenende einer
nichtperiodischen Funktion immer weiter geht und nie endet.

> Punkt 2: Cn=0, wenn T->unenldich, da: 0*integral etc. = 0
> Warum wurde das fettgedruckte hingeschrieben, aber nicht irgendwo
> verdeutlicht? Ist diese Info nun wichtig?

Das ist der oben genannte "Trick", um aus den zu null werdenden
Amplituden wieder sinnvolle Werte zu zaubern.

> Punkt 3: Die Summe wird zu einem Integral von -unendliche bis
> +unendlich, weil w gegen Null geht? Das verstehe ich noch nicht ganz.
> Warum?
>
> Punkt 4: Was soll das aussagen? wenn w=0 ist dann ist n*w auch 0.
>
> Punkt 5: Ja, unten sieht man das Cn=S(w) im prinzip ist, also das
> fourier-integral. Aber warum sind die zufällig hier gleich?

Diese drei Punkte sind in dem Text tatsächlich etwas schlampig erklärt.
Ich werden morgen mal versuchen, den Übergang von der Summe zum Integral
in etwas kleineren Schritten herzuleiten. Im Moment habe ich gerade
keinen Kopf dafür ;-)

Ich sehe gerade,dass René auch eine ganze Menge zu deinen Fragen
geschrieben hat. Vielleicht beantworten seine Ausführungen auch deine
Fragen 3 bis 5.

[René (Gast)]

Ich weiß nicht, ob es dir schon etwas hilft, aber ich hatte mir vor 
einer kleinen Weile mal ein "Cheat-Sheat" zur Fourier-Transformation 
zusammengeschrieben. Dort sind aber nur Formeln zu finden und war für 
mich nur als Erinnerungshilfe gedacht.

https://www.dropbox.com/s/wmbucjvh5wei1i6/Fouriertransformation_1.pdf

Ich übernehme aber keine Garantie auf Richtigkeit und Vollständigkeit, 
also solltest du (oder wer auch immer das gerne nutzen möchte) bei 
Unsicherheiten immer einen Blick in ein Fachbuch werfen ;-)

Gruß
René

[guest007 (Gast)]

Danke Leute für eure Hilfe! Ich habe mir beide Beiträge durchgelesen, 
aber dennoch sind noch Fragen offen.

Yalu X. schrieb:
> Die Formeln für a_n und b_n im Bild "fourier.png" zeigen noch einmal
> diese Betsimmung der Amplituden: Zuerst wird s(t) mit einer Sinus- bzw.
> Cosinusfunktion der gewünschten Frequenz (nω₀) multipliziert. Vom
> Produkt wird der Mittelwert berechnet, indem das Integral über eine
> Periode durch die Periodendauer dividiert wird. Am Schluss wird das
> Ganze noch mit 2 multipliziert, um auch die entsprechende negative
> Frequenz (-nω₀) zu berücksichtigen.
Aber warum sind diese Koeffizienten die Amplituden? Was bringt es das 
vorliegende Signal s(t) mit cos bzw. sin zu multiplizieren und danach 
das Integral bilden und dann durch die Periodendauer T teilen?

Also wenn man ein Integral bildet, dann berechnet man ja die Fläche 
unter der Kurve z.b., aber das ist ein anderes Integral glaube ich. Was 
passiert hier ca.?


> Für periodische Signale wendet man die Fourier-/Reihe/ an, so wie oben
> erklärt.
>
> Nichtperiodische Signale haben sozusagen eine unendlich lange Periode.
> Also wird das Verfahren für periodische Signale per Grenzübergang t→∞
> verallgemeinert.
Du meinst "für nichtperiodische Signale..." richtig?

> Allerdings hat die Sache einen Haken: Während sich das
> periodische Signal aus Einzelschwingungen mit diskreten Frequenzen
> zusammensetzt, sind beim nichtperiodische Signal die Frequenzen
> kontinuierlich.
Meinst du mit diskrete Frequenzen folgendes? w0*n(n für -unendlich bis 
unendlich, wobei w0 die Grundfrequenz ist)
naja und mit kontinuierlichden Frequenzen meinst du natürlich, diese 
ändern sich willkürlich, da es ja nichtperiodische ist(das Signal). 
Richtig?

> Das führt dazu, dass für t→∞ die Einzelaplituden gegen 0
> streben, so dass die ganze Berechnung keinen Nutzen hat.
Warum werden die Amplituden null, bei t->unendlich?

Mit t meinst du den Zeitabschnitt den man herausnimmt(aus dem 
unperiodischen Signal) und als "Periodendauer" T betrachtet. Richtig?

--> Bei der fourier-Transformation redet man jetzt nur von T, dem 
Zeitabschnitt richtig?

> Man begegnet
> diesem Problem dadurch, dass man bei der Mittelwertbildung die Division
> durch T einfach weglässt. Das Ganze nennt sich dann
> Fourier-/Transformation/.
Also Bild C? Da lässt man ja dieses durch T weg. Ich verstehe noch nicht 
warum das man das T weglässt, aber vielleicht ist das jetzt schon klar, 
wegen den obigen Erklärungen.
Man kann das ja nicht einfach so weglassen^^.

> Genauso, wie man ein nichtperiodisches Signal (ohne das Weglassen der
> Division) nicht in eine Fourier-Reihe entwickeln kann, kann man die
> Fourier-Transformation nicht auf periodische Signale anwenden. Versucht
> man das trotzdem, hat die resultierende Spektralfunktion für die
> ganzzahligen Vielfachen der Grundfrequenz unendliche Werte.
Hm, kann man das kurz erklären warum das so ist bitte? Oder müsste man 
da tief in die Materie gehen?

>> Punkt 1: Warum geht die Periodendauer gegen unendlich?
>
> Salopp ausgedrückt: Weil die Suche nach dem Periodenende einer
> nichtperiodischen Funktion immer weiter geht und nie endet.
Ok, ist eig. logisch, das nichtperiodische Signale keine Periodenende 
haben und man daher sagt periodendauer = unendlich. Richtig?

>> Punkt 2: Cn=0, wenn T->unenldich, da: 0*integral etc. = 0
>> Warum wurde das fettgedruckte hingeschrieben, aber nicht irgendwo
>> verdeutlicht? Ist diese Info nun wichtig?
>
> Das ist der oben genannte "Trick", um aus den zu null werdenden
> Amplituden wieder sinnvolle Werte zu zaubern.
Müsste ev. klar sein, wenn der "Trick" weiter oben erklärt wurde.

>> Punkt 3: Die Summe wird zu einem Integral von -unendliche bis
>> +unendlich, weil w gegen Null geht? Das verstehe ich noch nicht ganz.
>> Warum?
Also dieser Punkt ist mir noch nicht klar, vielleicht kann es jemand in 
kleinen Schritten erklären bitte?

>> Punkt 4: Was soll das aussagen? wenn w=0 ist dann ist n*w auch 0.
Auch diesen Punkt verstehe ich nicht wirklich, schon alleine warum man 
das hier aufschreibt.

>> Punkt 5: Ja, unten sieht man das Cn=S(w) im prinzip ist, also das
>> fourier-integral. Aber warum sind die zufällig hier gleich?
Ja ich hab Punkt 5 und Punkt 6 verwechselt und den "echten" Punkt 5 
ausgelassen. Punkt 6 ist nun klar.

Aber was soll Punkt 5 aussagen? 1/T --> df=dw/2pi und warum?

[René (Gast)]

guest007 schrieb:
> Aber warum sind diese Koeffizienten die Amplituden? Was bringt es das
> vorliegende Signal s(t) mit cos bzw. sin zu multiplizieren und danach
> das Integral bilden und dann durch die Periodendauer T teilen?
> Also wenn man ein Integral bildet, dann berechnet man ja die Fläche
> unter der Kurve z.b., aber das ist ein anderes Integral glaube ich. Was
> passiert hier ca.?

Stell es dir wie ein Skalarprodukt bei der Vektorrechnung vor. Du hast 
einen Vektor s(t), der beliebig in einem hochdimensionalen Raum liegt 
(wenn das zu kompliziert ist, dann stell ihn dir in 2 Dimensionen vor). 
Du möchtest jetzt bestimmen wie groß der Anteil eines Basisvektors an 
s(t) ist. Dieser Vektor sei jetzt z.B. sin(2*w0*t) (denk dir den 
Basisvektor in x-Richtung vor, um bei dem oberen Beispiel zu bleiben). 
Das kann man ganz einfach durch das Skalarprodukt machen. Nichts anderes 
ist das Vorgehen bei der Entwicklung der Fourier-Koeffizienten.
Du bestimmst damit den Anteil von sin(2*w0*t) an deiner Funktion s(t) 
usw.

> Allerdings hat die Sache einen Haken: Während sich das
> periodische Signal aus Einzelschwingungen mit diskreten Frequenzen
> zusammensetzt, sind beim nichtperiodische Signal die Frequenzen
> kontinuierlich.
>
> Meinst du mit diskrete Frequenzen folgendes? w0*n(n für -unendlich bis
> unendlich, wobei w0 die Grundfrequenz ist)
> naja und mit kontinuierlichden Frequenzen meinst du natürlich, diese
> ändern sich willkürlich, da es ja nichtperiodische ist(das Signal).
> Richtig?

Ja das sind diskrete Frequenzen, also in diesem Fall Vielfache einer 
Grundfrequenz. Kontinuierlich bedeutet, dass nun keine feste Anzahl 
zwischen zwei Frequenzen liegt, sondern selbst zwischen zwei beliebig 
nahe liegenden Frequenzen noch unendlich viele weitere Werte liegen.

> Warum werden die Amplituden null, bei t->unendlich?
> Mit t meinst du den Zeitabschnitt den man herausnimmt(aus dem
> unperiodischen Signal) und als "Periodendauer" T betrachtet. Richtig?

Ich denke er meint T.

> Also Bild C? Da lässt man ja dieses durch T weg. Ich verstehe noch nicht
> warum das man das T weglässt, aber vielleicht ist das jetzt schon klar,
> wegen den obigen Erklärungen.
> Man kann das ja nicht einfach so weglassen^^.

Das steckt jetzt quasi wieder im Integral bei der Rücktransformation zu 
s(t), also in dem dw.

> Hm, kann man das kurz erklären warum das so ist bitte? Oder müsste man
> da tief in die Materie gehen?

Versuch es doch einfach mal selber. Eine harmonische Schwingungen ist 
durch z.B. sin(w0*t) darstellbar. Mit der Eulerschen Darstellung von 
exp(i*w*t) kann man den Sinus auch schreiben als 
konst.*[exp(i*w0*t)-exp(-i*w0*t)]. Versuche nun ein mal die 
Fourier-Transformation anzuwenden.

> Punkt 1: Warum geht die Periodendauer gegen unendlich?
>
> Salopp ausgedrückt: Weil die Suche nach dem Periodenende einer
> nichtperiodischen Funktion immer weiter geht und nie endet.
>
> Ok, ist eig. logisch, das nichtperiodische Signale keine Periodenende
> haben und man daher sagt periodendauer = unendlich. Richtig?

Richtig.

> Punkt 3: Die Summe wird zu einem Integral von -unendliche bis
> +unendlich, weil w gegen Null geht? Das verstehe ich noch nicht ganz.
> Warum?
>
> Also dieser Punkt ist mir noch nicht klar, vielleicht kann es jemand in
> kleinen Schritten erklären bitte?

Wie man das Flächenintegral unter einer Funktion als Summe der Flächen 
ganz schmaler Streifen unter der Funktion vorstellen kann. Kann man sich 
auch den umgedrehten Übergang vorstellen. Bei der Summation betrachtet 
man immer kleinere Frequenzschritte, so dass man von der Summe zum 
Integral übergeht. Die Frequenzschritte werden immer kleiner, weil die 
ja von 1/T abhängen und T gegen unendlich geht.

> Punkt 4: Was soll das aussagen? wenn w=0 ist dann ist n*w auch 0.
>
> Auch diesen Punkt verstehe ich nicht wirklich, schon alleine warum man
> das hier aufschreibt.

Vielleicht haben die obigen Erklärungen geholfen?

> Aber was soll Punkt 5 aussagen? 1/T --> df=dw/2pi und warum?

Auch das ist vielleicht jetzt klar? Sonst hilft vielleicht zu beachten, 
dass bei der Fourier-Reihe das kleinste w0 durch 1/T gegeben ist. Nun 
geht man von 1/T=w0 -> dw über.

Ich hoffe mal, dass sich deine Fragen so langsam erklären liessen?

Gruß,
René

[F. K. (crack)]

Ok, danke!

(ich habe mich jetzt mit meinem account mal eingeloggt, hatte das pw 
vergessen, aber ich bin noch der guest007 :))

(bitte wieder unter den comments schreiben, ob ich das so richtig 
verstanden habe bzw. die fragen dazu bewantworten - danke!)

Ich denke ich habe das mal so in etwa verstanden.

Kurz zusammengefasst:

Bei unendlich periodischen Signalen, kann man nur die Fourier-Reihe 
anwenden. Weil ein endliches periodisches Signal, ist ja auch nicht 
periodisch sondern nicht periodisch, nach und vor dem signal ist eine 
Null.

Bei nichtperiodischen Signalen nimmt man die Fourier-Transformation. Von 
der Reihe kann man auf diese schließen, da ja die Periodendauer 
undendlich ist und dadurch geht w-->0 und von der Summe gehts zum 
Integral, dass von -unendlich bis +unendlich geht etc. etc.

Aber nun angenommen wir haben einen Rechteckimpuls, der ist natürlich 
nichtperiodisch, da es ja nur ein Impuls ist und vorm und nach dem 
Signal herrscht "Stille".

Und das wollen wir in den Frequenzbereich wandeln, dazu sehen wir bitte 
auf das Bild, das ich gepostet habe(Zeile 1).

Jetzt ist meine Frage:

Warum enthält bitte ein periodisches Signal(muss theoretisch unendlich 
sein) nur ganzzahlige vielfache der Grundfrequenz(Fourier-Reihe), aber 
wenn man auf einmal ein unepriodisches Signal hat, dann kommen auf 
einmal ALLE Frequenzen vor. Warum ist das bitte so?


Betrachten wir Zeile 1 genauer: Bei w=0 ist doch die Amplitude des 
Spektrums maximal. Ist das immer so bzw. warum ist das gerade so? Was 
bringt mir diese Amplitude beim Frequenzspektrum.

Z.B. bei hohen Frequenzen nähert sie Amplitude 0 an, warum ist das so?

[Michael A. (michiavelli)]

F. K. schrieb:
> Warum enthält bitte ein periodisches Signal(muss theoretisch unendlich
> sein) nur ganzzahlige vielfache der Grundfrequenz(Fourier-Reihe)

Weil der Herr Fourier das so korrekt hergelitten hat.

F. K. schrieb:
> aber
> wenn man auf einmal ein unepriodisches Signal hat, dann kommen auf
> einmal ALLE Frequenzen vor. Warum ist das bitte so?

Schau dir die Herleitung zur Fourier-Transformation an: Ansatz ist, das 
nichtperiodische Signal periodisch fortzusetzen und die Periodendauer 
gegen unendlich laufen zu lassen. Daraus folgt halt ein 
frequenzkontinuierliches Spektrum.

F. K. schrieb:
> Bei w=0 ist doch die Amplitude des
> Spektrums maximal. Ist das immer so bzw. warum ist das gerade so?

Warum das so ist, kann man ausrechnen! Immer ist das nicht der Fall, 
siehe Zeile 10 auf deinem Bild.

Deine Fragen kann man nur mit Verweis auf die Theorie beantworten, das 
wurde alles in Büchern niedergeschrieben. Ohne Mathematik ist das eher 
nicht so nachvollziehbar.

[F. K. (crack)]

Danke. Ich denke ich verstehe es!

Ich fasse es nochmal kurz zusammen:
Die Fourier-Reihe kann man nur bei unendlich langen periodischen 
Signalen anwenden.
Die Fourier-Transformation funktioniert nur bei nichtperiodisch 
Signalen. Ein Signal ist auch dann nichtperiodisch, wenn ein endlich 
periodisches Signal vorliegt(vor und hinter dem Signal --> s(t)=0). Ein 
nichtperiodisches Signal hat die Periodendauer = unendlich!

Folgendes gilt für Fourier-Reihe und -Transformation: Jedes Signal kann 
als unendliche Summe von sinusförmigen Schwingungen dargestellt werden.
Fourier-Reihe --> ganzzahlige Vielfache der Grundfrequenz
Fourier-Transformation --> Alle Frequenzen (Bestimmte Frequenzen werden 
sowieso mit den Null-Amplituden eliminiert)

Habe ich das so richtig verstanden?

[Michael W. (Gast)]

F. K. schrieb:

> Die Fourier-Transformation funktioniert nur bei nichtperiodisch
> Signalen.

Das stimmt nicht ganz, denn auch periodische Signale kann man 
Fourier-Transformieren. Du bekommst dann wiederum ganzzahlige Vielfache 
der Grundfrequenz, allerdings als "Dirac" (Delta)-Impulse. Im Kontext 
der FT sind solche Deltafunktionen "normal".

[F. K. (crack)]

Ahh ok, danke!

Das verstehe ich nun, aber ich hätte eine Frage zur DFT nun.

Die DFT wendet man ja an, wenn man ein abgetastetes Signal vorliegen 
hat. Also ein zeitdiskretes Signal.

Hier in Bild nimmt man die Fourier-Reihe und wandelt diese in die DFT 
um. Aber, warum gerade die Reihe? "Weil man nur mit endlichen 
Zeitfesnter arbeiten kann". Warum nimmt man das als Begründung?

Nun sind hier 5 Punkte, die die "Wandlung" beschreiben.

Punkt 1: dt wird zu Ts. Wie kann etwas, dass mit der Integration zu tun 
hat zu Ts werden? Warum muss man mit Ts multiplizieren?

Punkt 2: Statt t nimmt man n*Ts. Naja klingt eigentlich ganz plausibel. 
Das signal ist ja nicht mehr kontinuerlich, also kann man nicht mehr mit 
der "echten Zeit" gehn. n ist hier bei welchen Sample man gerade ist und 
Ts ist der Abstand zwischen den einzelnen Samples und 1/Ts ist die 
Samplefrequenz.

Richtig?

Punkt 3: Weil hier Zeitfenster erwähnt wird: Man hat ein 
kontiunierliches Signal und multipliziert es mit einem Fenster, dass 
z.b. 5sec. dauert und das Endergebnis tastet dann ab und wendet die DFT 
an. Stimmt das?

T soll ja die Periodendauer darstellen(Naja kein Signal ist periodisch, 
aber man geht ja von der Fourier-Reihe aus und da ist es halt so). Naja 
nun nimmt man N, also die Anzahl der Sampels(die es im Zeitfenster gibt) 
und multipliziert es mit Ts(abstand der sampels in sec.) und hat somit 
die ganze Fensterbreite.

Richtig?

Punkt 4: w0 ist ja bei der Reihe, die Grundfrequenz, also im Spektrum, 
der Abstand der möglichen Frequenzen(ganzzahlige Vielfache von w0, muss 
ja nicht jede vorkommen durch 0-Amplituden werden einige vielfache von 
w0 eliminiert)
Und deltaw ist hier nun auch der Abstand zwischen den Sampels(nur im 
Frequenzbereich).

Richtig?

Punkt 5:
omega ist die Signalfrequenz vom kontunierlichen signal? k*deltaw ist im 
Prinzip dasselbe wie N*Ts im Zeitbereich, richtig?
Aber welche signalfrequenz?

Punkt 6: Naja was kann man dazu sagen? Integral wird zu Summe. Welche 
Begründung?

Hm.. ich bin gerade etwas verwirrt, bin mir nicht mehr soo sicher ob das 
stimmt was ich geschreiben habe :/.

Weil nämlich ich sehe gerade im Spektrum das fs größer als die 
Signalfrequenzen ist... hmm aber wie hängt das ganze zusammen? Muss auf 
so nem Abtastpunkt im Frequenzbereich eine Frequenze sein oder kann es 
auch außerhalb sein? Ich bin da gerade verwirrt.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen! Bitte schreibt zu jedem Kommentar euer 
Kommentar darunter und wenn was fehlt bitte ergänzen!

Danke!

[Michael A. (michiavelli)]

F. K. schrieb:
> Punkt 1: dt wird zu Ts. Wie kann etwas, dass mit der Integration zu tun
> hat zu Ts werden? Warum muss man mit Ts multiplizieren?

Was ist denn im zeitdiskreten Bereich die kleinste zeitliche Auflösung? 
Die ist doch nicht infinitesimal klein (dt), sondern doch wohl abhängig 
von der Abtastfrequenz Ts=1/fs oder?!

F. K. schrieb:
> Punkt 2:

Richtig, die Zeitachse ist nicht mehr kontinuierlich, sondern diskret.

F. K. schrieb:
> Man hat ein
> kontiunierliches Signal und multipliziert es mit einem Fenster, dass
> z.b. 5sec. dauert und das Endergebnis tastet dann ab und wendet die DFT
> an.

Man nimmt das zeitkontinuierliche Signal, tastet es ab, und verwendet 
dann N dieser Abtastwerte für die DFT. Das ist gleichzusetzen mit einer 
Multiplikation mit einem Rechteckfenster im Zeitbereich, was im 
Frequenzbereich einer Faltung mit der si-Funktion entspricht und als 
mathematische Erklärung für den Leckeffekt dient.

F. K. schrieb:
> Und deltaw ist hier nun auch der Abstand zwischen den Sampels(nur im
> Frequenzbereich).

Die sogenannte Frequenzauflösung ist deltaw/(2*pi)=deltaf.
deltaw ist eine Kreisfrequenz, macht meiner Meinung nach das Verständnis 
schwerer. Nimm lieber f statt w.

F. K. schrieb:
> Punkt 5:
> omega ist die Signalfrequenz vom kontunierlichen signal? k*deltaw ist im
> Prinzip dasselbe wie N*Ts im Zeitbereich, richtig?
> Aber welche signalfrequenz?

Falsch! N*Ts ist einfach nur die Länge des Fensters. k ist der Zählindex 
für die diskrete Frequenzachse, k*deltaw entspricht also dem omega im 
zeitkont. Signal.

F. K. schrieb:
> Punkt 6: Naja was kann man dazu sagen? Integral wird zu Summe. Welche
> Begründung?

Mach dir doch nochmal klar, was denn ein Integral überhaupt ist. Schau 
dir das Riemannsches Integral an. Das bestimmte Integral ist ein 
Summengrenzwert, im digitalen hast du kein dt mehr, sondern nur noch Ts.

Ich muss mich wiederholen: So ganz ohne Mathe geht das nicht.

F. K. schrieb:
> Muss auf
> so nem Abtastpunkt im Frequenzbereich eine Frequenze sein oder kann es
> auch außerhalb sein?

Erstmal: guck mal nach dem Abtasttheorem, fs muss 2x größer als die 
maximale Signalfrequenz sein. Denn da werden ein paar Sachen periodisch 
fortgesetzt... egal!

Ist im Signal eine Frequenzkomponente vorhanden, die kein ganzzahliges 
Vielfaches der Frequenzauflösung ist (also nicht auf den wie du es 
"Abtastpunkt im Frequenzbereich" sondern dazwischen liegt), kommt es zum 
bereits erwähnten Leckeffekt.

Übrigens sind das immer Sinusschwingungen einer bestimmten Frequenz, 
Frequenzkomponenten, aber nicht Frequenzen. Egal.

[F. K. (crack)]

Danke!!

Michael Avelli schrieb:
> Was ist denn im zeitdiskreten Bereich die kleinste zeitliche Auflösung?
> Die ist doch nicht infinitesimal klein (dt), sondern doch wohl abhängig
> von der Abtastfrequenz Ts=1/fs oder?!

Ok ja, ist klar.

>
> Man nimmt das zeitkontinuierliche Signal, tastet es ab, und verwendet
> dann N dieser Abtastwerte für die DFT. Das ist gleichzusetzen mit einer
> Multiplikation mit einem Rechteckfenster im Zeitbereich, was im
> Frequenzbereich einer Faltung mit der si-Funktion entspricht und als
> mathematische Erklärung für den Leckeffekt dient.
>
Hmm, verstehe ich nicht wirklich. Was ist gleichzusetzten mit einer 
Multiplikation?
Ja, eine Multiplikation im Zeitbereich ist eine Faltung im 
Frequenzbereich. Aber ich dachte man multipliziert im Zeitbereich mit 
einem Fenster, dass man einen Auschnitt hat und dann tastet man ab, oder 
tastet man das zeitdisrkete signal ab?
Wie ist denn der genaue ablauf?

Also man benötigt doch ein periodisches Signal für die DFT und wenns 
nicht periodisch ist, dann nimmt man einfach einen Abschnitt, d.h. man 
multipliziert es mit einem Fenster oder so. Oder stimmt das nicht so?


> Falsch! N*Ts ist einfach nur die Länge des Fensters. k ist der Zählindex
> für die diskrete Frequenzachse, k*deltaw entspricht also dem omega im
> zeitkont. Signal.

Wieder falsch asugedrückt...sorry. Ich meinte natürlich n*Ts(Nicht N!). 
Und im Frequenzbereich nimmt man k*deltaw.


> Mach dir doch nochmal klar, was denn ein Integral überhaupt ist. Schau
> dir das Riemannsches Integral an. Das bestimmte Integral ist ein
> Summengrenzwert, im digitalen hast du kein dt mehr, sondern nur noch Ts.
>
Ja, ist auch klar, hatte irgendein Denkfehler. Bei der kontinuierlichen 
FT braucht man ja ein Integral, da es halt haben kontinuierlich ist. Man 
kann da nix summieren, T geht da gegen unendlich und somit w gegen Null.

>
> Erstmal: guck mal nach dem Abtasttheorem, fs muss 2x größer als die
> maximale Signalfrequenz sein. Denn da werden ein paar Sachen periodisch
> fortgesetzt... egal!
>
Ja, dass wusste ich^^. Aber warum wiederholt sich das Signal bitte 
einfach? Das ist mir nicht klar, ich weiß es zwar das es sich 
wiederholt, aber warum?


> Übrigens sind das immer Sinusschwingungen einer bestimmten Frequenz,
> Frequenzkomponenten, aber nicht Frequenzen. Egal.

Ja, ich weiß, habe mich wieder mal falsch ausgedrückt^^.

[F. K. (crack)]

(Vergesst den oben geschriebenen Beitrag, ich bin selbst darauf 
gekommen. Bitte kontrolliert das, was ich da schreibe und schreibt unter 
jedem Absatz und Frage eure Antwort darunter bitte!)

Ok, ok, mit ein bisschen nachdenken kommt man drauf, dass Sd' 
periodische Signale braucht und mit Sd'' kann man auch nichtperiodische 
Signal transformieren.(siehe dafür mein Bild)
Es geht um zeitdiskrete Signale!

Also, es gibt schonmal auf Erden kein einziges periodisches Signal, aber 
es gibt "Teilperiodisch". Z.b. wenn etwas 5sec. lang periodisch ist, 
dann nimmt man als Zeitabschnitt einfach eine Periode her oder? Und dann 
stetzt man in Sd' ein, stimmts?

Aso und es wird immer davor abgetastet und danach erst der Zeitabschnitt 
hergenommen bzw. bei aperiodischen Signalen mit der Fenksterfunktion 
multipliziert.

Ist das alles richtig?

Noch etwas: Im Zeitbereich wird ja abgetastet und da entstehen im 
Abstand von Ts, N Abtastzeitpunkte. Im Frequenzbereich sind auch N 
Abtastpunkte mit dem gleichen Abstand, wie im Zeitbereich.(abstand ist 
halt deltaf da).

Und logischerweise zeigt ein diskretes Frequenzspektrum nur die 
Frequnzen, wo auch die Abtastpunkte sind(nehmen wir an, dass es IDEAL 
ist!). Darum sollte man ja die Abtastfrequenz fs so wählen, das diese 
ganzzahlige Vielfache von der Grundfrequenz(des Zeitsignals) f0 ist, 
richtig?

Natürlich unter berücksichtigung des Abtasttheorems(fs = 2x so groß wie 
höchste signalfrequenz).

Stimmts?


Frage, die ich noch habe:
Schaut bitte mal bei meinem letzten Bild auf die linke Seite unten. Da 
sind 4 so pfeile.

1. Pfeil: Ja, wenn man die Samplefrequenz so wählt. Richtig?

2. Pfeil: Das verstehe ich nicht so wirklich. Warum ist das Spektrum 
periodisch?

3. Pfeil: Ja, der größte Samplepunkt ist bei fs. (Also wenn N=12, dann 
ist bei punkt 12 fs)

4. Pfeil: Hmm ja, dass könnte man jetzt einfach so hinnehmen, dass ab 
der obene hälft gespiegelt wird, aber warum genau ist das so?


Weiter 3 Pfeile weiter unten:

1. Pfeil: Ja, ist klar, wie bei der Fourier-Reihe.

2. Pfeil: Ja gut, dass ist halt so wegen komplexer Darstellung --> 
negative Frequnzen. Aber ich denke das wird mir mehr klar, wenn oben 
"Pfeil 4" erklärt wird.

3. Pfeil: Naja klar, darum verwendet man diese Version von DFT nur für 
periodische Signale, also man nur bei Signale die länger auch periodisch 
sind, man nimmt dann einfach als Fenstergröße die Periodendauer und 
sagt: "es geht periodisch weiter".


Nun zu Sd''(rechts oben beim bild):
Naja hier kann man auch unperiodische (zeitdiskrete!) Signale 
transformieren. Also man multipliziert es dann mit einem Fenster. 
Fenstergröße stellt man halt so ein, wie man es halt gerade braucht, was 
man messen will etc.

Richtig?

1. Pfeil: Ich verstehe es nicht. Warum wird da mit der Fenstergröße 
multipliziert?

Andere Frage: Wie sieht das Spektrum hier jetzt aus? Ist das 
kontinuierlich? Aber ich dachte es können nur Frequenzen bei den 
Abtastpunkten erscheinen. Muss was mit der Multiplikation, die in Pfeil 
1 erwähnt wird, zu tun haben.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Danke im voraus!

mfg

[Michael A. (michiavelli)]

F. K. schrieb:
> "Teilperiodisch"

Das Wort gibts eher nicht so...

F. K. schrieb:
> Z.b. wenn etwas 5sec. lang periodisch ist,
> dann nimmt man als Zeitabschnitt einfach eine Periode her oder? Und dann
> stetzt man in Sd' ein, stimmts?

Du hast ein Signal s(t), das tastest du N ab, hast dann s(n). Dieses 
Signal nutzt du, um Sd' zu berechnen. Wenn in s(n) nur ganzzahlige 
Vielfache der Frequenzauflösung vorkommen, dann ist alles gut. Ansonsten 
gibts den mehrfach erwähnten Leckeffekt.

F. K. schrieb:
> Aso und es wird immer davor abgetastet und danach erst der Zeitabschnitt
> hergenommen bzw. bei aperiodischen Signalen mit der Fenksterfunktion
> multipliziert.

Wir sind hier in der Theorie, da ist das Jacke wie Hose ob du zuerst 
fensterst und dann abtastest oder umgekehrt.

F. K. schrieb:
> Und logischerweise zeigt ein diskretes Frequenzspektrum nur die
> Frequnzen, wo auch die Abtastpunkte sind(nehmen wir an, dass es IDEAL
> ist!). Darum sollte man ja die Abtastfrequenz fs so wählen, das diese
> ganzzahlige Vielfache von der Grundfrequenz(des Zeitsignals) f0 ist,
> richtig?

Nein. Du vergisst die Länge der DFT. Die bestimmt zusammen mit der 
Abtastfrequenz die Auflösung.

Beispiel:
f0 = 10Hz
fs = 1001Hz
N = 1001

deltaf=1Hz

Alles gut, obwohl fs/f0 nicht ganzzahlig.

F. K. schrieb:
> 1. Pfeil: Ja, wenn man die Samplefrequenz so wählt. Richtig?

Nein. Es geht um den Frequenzindex k, den kannst du beliebig hoch 
wählen, bringt aber nichts, weil das Spektrum ja periodisch ist.

F. K. schrieb:
> 2. Pfeil: Das verstehe ich nicht so wirklich. Warum ist das Spektrum
> periodisch?

Steht da doch: exp(jx) ist mit 2pi periodisch. Kann man nachrechnen, 
kann man sich aufmalen.

F. K. schrieb:
> 4. Pfeil: Hmm ja, dass könnte man jetzt einfach so hinnehmen, dass ab
> der obene hälft gespiegelt wird, aber warum genau ist das so?

Weil man das mit ein bisschen Mathematik herausbekommt.

F. K. schrieb:
> nd
> sagt: "es geht periodisch weiter".

Sagt die Theorie. Es wird nicht das Spektrum des gefensterten Signals 
berechnet, sondern das Spektrum des periodisch fortgesetzten Signals.

F. K. schrieb:
> Nun zu Sd''

Das verstehe ich selber nicht, was in dem Paper steht. Da ist 
letztendlich nur ein Faktor hinzugekommen, Sd''(k) ist nicht mehr 
einheitenlos. Hab ich so noch nie gesehen. Meiner Meinung nach Quatsch.

F. K. schrieb:
> Andere Frage: Wie sieht das Spektrum hier jetzt aus? Ist das
> kontinuierlich? Aber ich dachte es können nur Frequenzen bei den
> Abtastpunkten erscheinen. Muss was mit der Multiplikation, die in Pfeil
> 1 erwähnt wird, zu tun haben.

Am besten du kaufst dir mal ein Buch, oder suchst dir ein anderes Paper, 
wo vielleicht auch mal ein bisschen mehr Text zu lesen ist.

Muss dir leider sagen, dass ich den Eindruck habe, das Verständnis ist 
bei dir noch nicht so vorhanden.

Das ist auch nicht verwunderlich, du scheinst auf Mathe allergisch zu 
sein.