sinc(t) diskret Fouriertransformieren

[Fklux (Gast)]

Wie kann ich diese Funktion diskret Fouriertransformieren?

$$x[n] = \frac{\sin(n\pi /2)}{n\pi }$$

Ich habe einmal in die FOrmel eingesetzt und erhalte:

$$X(j \Omega) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac{\sin(n\pi /2)}{n \pi } e^{-j\Omega n}$$

Weiters habe ich die Euleridentität eingesetzt:

$$X(j \Omega) = \frac{1}{2j} \sum_{n = -\infty}^{\infty} \frac{\left( e^{jn\pi /2} - e^{-jn\pi /2} \right)} {n\pi } e^{-j\Omega n}$$

Da es keine geometrische Reihe ist lässt sich da leider nicht sehr viel 
machen. Wie würdet ihr diese Summe lösen?

[bagger (Gast)]

Du kannst es mit Integration/Ableitung der geometrischen Reihe 
probieren:

sum x^n = 1/(1-x)

auf beiden Seiten integrieren nach x und Summe und Integral vertauschen 
könnte helfen. Zusätzlich noch die Indizes ändern so dass aus der Summe 
von -inf bis inf 2 Summen von 0 bis inf werden.

[Arc N. (arc)]

Fklux schrieb:
> Wie kann ich diese Funktion diskret Fouriertransformieren?
>

$$x[n] = \frac{\sin(n\pi /2)}{n\pi }$$

Also Sinus cardinalis, sinc
Vielleicht hilft schon der Wikipedia-Artikel oder die Tabelle
http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete-time_Fourier_transform
http://www.mechmat.ethz.ch/Lectures/tables.pdf