Minimalphasensystem

[Frank (Gast)]

Ich habe ein System mit der Übertragungsfunktion:

$$H(z) = k\frac{(z-b)(z-1/b)}{z(z-a)}$$

mit a = [0,1] und b = [0,1] und a != b.

k ist eine Konstante...

Gesucht ist jetzt folgendes: Bestimmen Sie die minimalphasige 
Teilübertragungsfunktion Hm(z) des Filters. Weiters bestimmen Sie die 
Allpassteilübertragungsfunktion Ha(z) des Filters.


Ich lese mir diese Aufgabe gerade durch und weiß erlich gesagt nicht 
wovon hier die Rede ist.

Ich weiß was ein Alpass ist, jedoch sagt mir dieses Erzeugen sie aus 
H(z) das Hm(z) und das Ha(z) nicht wirklich was...
Ich finde solche Aufgaben auch nicht im Internet. Ich weiß zwar was ein 
Minimalphasenglied ist (glaub ich), jedoch nicht wie ich aus einer 
bestehenden Übertragungsfunktion dieses erstellen kann...

Könnte mir wer einen Ratschlag sagen? Mir fehlen da eigentlich die 
Grundlagen glaub ich eher, aber dieser Stoff wurde einfach nicht 
behandelt...

Danke!!

[Kleinkind (Gast)]

http://de.wikibooks.org/wiki/Einf%C3%BChrung_in_die_Systemtheorie/_Zeitverhalten_elementarer_%C3%9Cbertragungsglieder_der_%C3%9Cbertragungsfunktion

Hier ist nochmal die Definition eines Alpassgliedes. Und im 
nachfolgenden Link die Zerlegung.

www.irt.rwth-aachen.de/fileadmin/IRT/Download/Lehre/MRT/De/RT_Aufl_33_Ka 
p4_3_S126_bis_127.pdf

Eigentlich wird die bestehende Übertragungsfunktion nur erweitert bis 
ein Allpassglied entstanden ist. Der Rest ist das minimalphasige System.

Ich hoffe das hilft dir.

[Frank (Gast)]

Kleinkind schrieb:
> www.irt.rwth-aachen.de/fileadmin/IRT/Download/Lehre/MRT/De/RT_Aufl_33_Ka
> p4_3_S126_bis_127.pdf

Dieser Link funktioniert nicht.

Ich habe zwar einen Ansatz, aber in der Lösung steht:

$$H_m = \frac{k(z-b)^2}{z(z-a)}$$

und

$$H_a =\frac{z-\frac{1}{b}}{z-b}$$

Das kann aber nicht sein oder? Der Allpass ist dann doch kein richtiger 
Allpass mehr... Wenn ich den BEtragsgang von Ha berechne, dann steht 
wurzel(z^2+(1/b)^2)/wurzel(z^2+b^2) und das ist dann nicht 1!!!!

Wie kann also die Lösung hier recht haben??

[Kleinkind (Gast)]

Wer vertraut schon auf vorgegebene Lösungen. Man sollte streng nach 
Definition gehen und diese verteidigen. Wenn als Ein Allpassglied eine 
feste Definition hat und deine Zerlegung dieser Definition entspricht, 
dann spielt die vorgegebene Lösung keine Rolle. Ich persönlich habe 
deine Aufgabe nicht nachgerechnet und kann daher zur Lösung nicht sagen.

[Frank (Gast)]

Kleinkind schrieb:
> Wer vertraut schon auf vorgegebene Lösungen. Man sollte streng nach
> Definition gehen und diese verteidigen. Wenn als Ein Allpassglied eine
> feste Definition hat und deine Zerlegung dieser Definition entspricht,
> dann spielt die vorgegebene Lösung keine Rolle.

Ich teile deine Meinung absolut!! Aber diese Lösungen sind direkt im 
Lehrbuch enthalten, somit wäre es schon ein größerer Ärger falls da was 
nicht stimmt...

Kleinkind schrieb:
> Ich persönlich habe
> deine Aufgabe nicht nachgerechnet und kann daher zur Lösung nicht sagen.

Das ist doch ganz einfach: Rechne den Betrag aus für:

$$H_a =\frac{z-\frac{1}{b}}{z-b}$$

da kommt nicht 1 raus, somit ist es kein Allpass...

[Frank (Gast)]

weiß irgendwer was ich meine?

[Jan K. (jan_k)]

Der Betrag des Frequenzganges ist = 1. Den hast du aber nicht 
ausgerechnet! z=exp(j*w*T)

Schöne Grüße,
Jan

[Frank (Gast)]

Jan K. schrieb:
> Der Betrag des Frequenzganges ist = 1. Den hast du aber nicht
> ausgerechnet! z=exp(j*w*T)

Ach was bin ich nur für ein Idiot?
Ich rechne ja irgendwas da...

Hahahaha

[Jan K. (jan_k)]

Mach mal ne Pause, die hilft bei rauchendem Kopf :)

[Frank (Gast)]

Ok, so, das z = x + jy. Wenn ich jetzt den Betrag von Ha bilde, dann 
erhalte ich folgendes:

$$|H_a| = \frac{\sqrt{(x-1/b)^2+y^2}}{\sqrt{(x-b)^2+y^2}}$$

und wenn ich x = rcos(wt),  y = rsin(wt) einsetze, dann erhalte ich auf 
keinen fall den Betrag 1!!!

[Jan K. (jan_k)]

Hi Frank!

du musst den FREQUENZgang ausrechnen. Dafür substituierst du z mit 
exp(jwT), dann erst den Betrag ausrechnen! Nix von wegen z = x+jy. 
Erinnerst du dich an die Herleitung der z Trafo? Das z ist einfach nur 
ne Abkürzung und eine komplexe Zahl und zumindest ich kann mir darunter 
nichts vorstellen. Erst wenn du zurück substituierst wird das ganze 
interpretierbar.

[Frank (Gast)]

Ok, hab ich jetzt gemacht, aber wie soll ich jetzt den Betrag 
ausrechnen?

$$X(e^{j\theta})=X(z)|_{z=e^{j\theta}}=\frac{e^{j\theta}-\frac{1}{b}}{e^{j\theta}-b}$$

[Jan K. (jan_k)]

Euler..

$$\exp(j\omega T) = \cos(\omega T)+j\sin(\omega T)$$

Dann

$$cos^2(x)+sin^2(x) = 1$$

 beachten, kürzen, fertig.

Kommt aber tatsächlich nicht 1, sondern 1/b raus. Denke, das kann man 
aber als konstanten Gain davor ziehen.

[Frank (Gast)]

Das meinte ich die ganze zeit damit...

[Frank (Gast)]

(glaub ich). Jedenfalls bin jetzt nicht mehr zuhause. werde es am abend 
wieder angehn..

[Jan K. (jan_k)]

Habe mir deine Nachricht von 14:25 nochmal angesehen. Hatte vorher 
überlesen, dass du noch cos(wt) subsen möchtest. Wo kommt denn das r 
her?

Jedenfalls könnte es dann auch gehen, ist quasi das selbe, als würdest 
du exp(jwT) substituieren und dann aufteilen, sorry.

Hast du denn mal weiter gerechnet, bis du da wirklich |H| = 1/b stehen 
hattest?

Übrigens, Allpass bedeutet nicht zwingend, dass der Betrag gleich 1 ist, 
sondern nur, dass er über ALLE Frequenzen konstant bleibt. Das ist hier 
der Fall.

Kannst das ganze auch in matlab überprüfen:

b = 5;
z = tf('z',1e-3);
sys = (z-1/b)/(z-b);
bode(sys) % vorsicht, ist in dB
abs(freqresp(sys,1)) % w=1, kann auch beliebig andere frequenz sein
20*log10(ans) % ist gleich der Amplitude in dB in matlab

[Frank (Gast)]

Jan K. schrieb:
> Hast du denn mal weiter gerechnet, bis du da wirklich |H| = 1/b stehen
> hattest?

Ehrlich gesagt komme ich da nach dem Schritt:

$$|H_a(e^{j\theta})|=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{b^2}-2\cos\left (\theta \right ) \frac{1}{b}}{1+b^2-2\cos\left (\theta \right ) b}}$$

hier nicht weiter, da ich keine Möglichkeit finde den Winkel 
rauszukürzen...

[Jan K. (jan_k)]

Du kannst im Zähler z.B. 1/b^2 ausklammern und vor die Wurzel ziehen. 
Dann kannst du die Wurzel kürzen und es steht 1/b da :)

[Frank (Gast)]

Jan K. schrieb:
> Du kannst im Zähler z.B. 1/b^2 ausklammern und vor die Wurzel ziehen.
> Dann kannst du die Wurzel kürzen und es steht 1/b da :)

Wunderschön!! Danke!!

Nun bleibt nur noch die Frage aus wie ich denn auf so etwas von allein 
kommen soll? Also ich weiß zum Beispiel, dass für das Minimalsystem die 
ALLE Nullstellen und Pole innerhalb des Einheitskreises sein müssen. Das 
heißt ich such mir mal all diese Pole und Nullstellen und schreib sie 
alle zusammen und dadurch lege ich so fast schon mein 
Minimalphasensystem zusammen. Und das was überbleibt muss jetzt so mit 
Brüchen erweitert werden, dass des es ein Allpass ergibt. Wie sehe ich 
aber wie ich es erweitern muss, dass es ein Allpass ergeben muss? Ich 
denke nämlich das ist eher die Kunst dabei...

Denn sobald ich ein anderes Beispiel hingelegt bekomme muss ich wieder 
kunstvoll ergänzen und ich habe da ehrlich gesagt keine Methode dafür