Diskrete Fouriertransformation - Kann rechnerischer Fehler nicht finden (ausführlich gerechnet)

[Frank (Gast)]

Muss folgende Zeitfunktion allgemein diskret transformieren:

$$h[n]=\beta(-\alpha)^{n-L}\sigma[n-L]$$

Es handelt sich um den Fall, dass L > N ist.

Habe dies berechnet:

$$H[k]=\sum_{n=0}^{N-1}h[n]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1}\beta (-\alpha)^{n-L}\sigma[n-L]e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$$

Dann die Grenzen geändert und den Sprung weggelassen:

$$H[k] = \beta \sum_{n=L}^{N-1}(-\alpha)^{n-L}e^{-j\frac{2\pi kn}{N}}$$

Dann Grenzen wieder verschoben:

$$H[k] = \beta \sum_{n=0}^{N-1-L}(-\alpha)^{n}e^{-j\frac{2\pi k(n+L)}{N}}$$

Jetzt den Konstanten Teil der e Schwingung herausgehoben und den rest in 
der Wurzel eingeklammert unter einer Potenz geschrieben:

$$H[k] = \beta e^{-j\frac{2\pi kL}{N}} \sum_{n=0}^{N-1-L}\left(-\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}} \right)^{n}$$

Jetzt habe ich die Summenformel für die endliche geometrische Reihe 
verwendet und die konstante Schwingung wieder hineinmultipliziert:

$$H[k] = \beta \frac{e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}-(-\alpha)^{N-L}\left( e^{-j\frac{2\pi k}{N}} \right )^{N-L} e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}}{1+\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}$$

Und zuguterletzt kürzen sich die E-Schwingungen im rechten Summanden des 
Zählers raus und es kommt insgesamt raus:

$$H[k] = \beta \frac{e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}-(-\alpha)^{N-L}}{1+\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}$$

Ich habe dieses Beispiel jetzt 3 mal unabhänging voneinander gerechnet 
und das mit großer Aufmerksamkeit!! Jedoch behauptet die Lösung immer 
noch das Ergebnis sei:

$$H[k] = \beta \frac{e^{-j\frac{2\pi kL}{N}}+\alpha}{1+\alpha e^{-j\frac{2\pi k}{N}}}$$

In diesem Fall habe ich alles Schritt für Schritt erläutert und bin auf 
eure Hilfe angewiesen. Ich kann nicht weiter vereinfachen auf diesem 
Niveau, also muss irgendwo ein Rechenfehler sein. Ich bin aber davon 
überzeugt, dass meine mathematischen Züge gerechtfertigt waren und alle 
gut begründet sind.

Hat irgendjemand eine Idee wo hier etwas falsch sein könnte?

[lalala (Gast)]

Frank schrieb:
> Hat irgendjemand eine Idee wo hier etwas falsch sein könnte?

Vielleicht die Definition von 'sigma'? Oder spezielle Annahmen über 
alpha?

[Frank (Gast)]

lalala schrieb:
> Vielleicht die Definition von 'sigma'? Oder spezielle Annahmen über
> alpha?
Eigentlich nicht:
Berechnen Sie die diskrete Fouriertransformation (DFT) H[k] der L¨ange N 
= 4 für die Impulsantwort h[n].

wobei L element N und alpha, beta element R.

[lalala (Gast)]

1. Wenn L>N dann ist die Funktion doch sowieso null (nach Deiner sigma 
def)
2. Tipp doch mal die Def von sigma aus Deinem skript hier ab.

[Frank (Gast)]

sigma[n] = {1: für n >= 0 ; 0: sonst}

lalala schrieb:
> Wenn L>N dann ist die Funktion doch sowieso null (nach Deiner sigma

Achsoo, nein es handelt sich natürlich um den Fall N > L, sonst wäre sie 
0...
Sry für die Verwirrung