Hallo, ich verstehe leider überhaupt nicht, wie man aufgrund dieses einen Bildes die Kraftkomponenten in x und y Richtung bestimmen kann, wie kommt der Autor auf diese Formel? Kann mir bitte da einer weiterhelfen, bin schon als am Überlegen, jedoch finde ich keine Lösung.
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Der Radialspannungs-Vektor fn am Ort ( r, α) ist um den Winkel α gegen die Waagrechte ( x-Achse) geneigt, der Tangentialspannungsvektor ft um 90° nach links orientiert und daher um den Winkel α gegen die Lotrechte ( y-Achse) geneigt. Aus beiden ergeben sich die Komponenten des Spannungsvektors in die x- und y-Richtung.
Welche Formel meinst du denn? Da steht doch nur Formel 1.3 und die passt doch so zum Bild??
Gerd schrieb: > Da steht doch nur Formel 1.3 und die passt doch so zum Bild?? Sicher? Wenn ich gerade keinen Knoten im Kopf habe ist die Formel für fx falsch. Für alpha=0 ist die einzige Kraft in x-Richtung fn. Allerdings zeigen dann fx und fn in entgegengesetzte Richtung. Also fx = - fn Die Formel berücksichtigt das nicht - bei ihr kommt fx = fn heraus. Für größere alpha muss sich die ft Komponente addieren - hier wird sie aber subtrahiert. Wahrscheinlich ist nur fx falsch herum eingezeichnet.
Gerade habe ich nichts zum Schreiben da, aber mal als Denkansatz für fy: Ziehe von der Spitze von ft eine horizontale Linie auf fy. Dann hast du zwei Dreiecke. Dann siehst du, dass das obere Dreieck das gleiche ist wie das, was fn und die Grundlinie (von wo Alpha gemessen wird) bilden. Daraus ergibt sich das fn*sin(a). Weiter ist der Winkel zwischen ft und der Grundlinie Alpha+0,5*Pi. Das lässt sich in einen Kosinus umrechnen, womit du eventuell auf den Kosinusterm von fy kommen könntest.
fx ist aber der Anteil von f in x-Richtung, ist alpha=0, so ist f^T = (fn ft)^T, also fn die x-Komponente von f und somit fx=fn.
Einfacher: Der Winkel ft zur Senkrechten ist Alpha. Wenn du die Senkrechte durch den Startpunkt von f einzeichnest und das Alpha zwischen ft und der Senkrechten, solltest du sehen, woher das ft*cos(a) kommt. fx kann man sich sicher so ähnlich herleiten, wenn es richtig ist.
Michael Jennens schrieb: > Kann mir keiner helfen? Ich kann nicht mal die Bildunterschrift lesen, weil die Hälfte fehlt.
Gerd schrieb: > fx ist aber der Anteil von f in x-Richtung, Laut Bild b aber nicht. fx zeigt entgegen der x-Richtung. Deswegen gehe ich davon aus, dass es falsch eingezeichnet ist.
Christian L. schrieb: > Gerd schrieb: >> fx ist aber der Anteil von f in x-Richtung, > > Laut Bild b aber nicht. fx zeigt entgegen der x-Richtung. Deswegen gehe > ich davon aus, dass es falsch eingezeichnet ist. Kraftpfeile können beliebig ausgerichtet und bezeichnet sein. Daran würde ich mich nicht aufhalten. Beim Drüberschauen war für mich die Formel für fx plausibel.
nein, denk dir einfach mal fn und ft weg, dann hast du ein f welches um einen teil fx nach links (x-Richtung) zeigt und um einen teil fy nach oben (y-Richtung) zeigt. Dieser Vektor f lässt wird nur durch ft und fn beschrieben, also vermutlich in natürlichen koordinaten, daher die indizes. Da ft und fn orthogonal zueinander sind ist bei einem winkel alpha=0 die fn die einzige komponente von f in x-Richtung, ft zeigt in diesem moment nach oben, hat also keinen Teil in x-Richtung. Andersrum ist alpha=90° so zeigt fn in y-Richtung und ft in -x-Richtung (also fn nach oben und ft nach links).
Ja, die Formel ist falsch bzw. passt nicht zum Diagramm. Einfach mal das Alpha gegen 0 oder 90 Grad streben lassen. Im ersten Fall käme heraus, dass fx = fn sei. Das ist aber falsch, es müsste fx = - fn sein. Im zweiten Fall käme heraus, dass fx = - ft sei. Auch das ist falsch denn richtig wäre hier, dass fx = ft ist. Der Autor hat bei fx nicht bedacht, dass es in negative x-Richtung zeigt. Möglicher Weise ist auch nur beim Korrekturlesen das - vor fx fälschlicher Weise als Bindestrich interpretiert worden (denke da an die Autokorrektur von Word und Co) und wurde wieder gelöscht. Wäre mir aber beim Lesen wahrscheinlich auch nicht wirklich aufgefallen da, bis auf den, ich sag mal, Schönheitsfehler, die Formel schon richtig ist
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Im Bild A ist das zugrundeliegende Koordinatensystem abgebildet, die positive x-Richtung ist "nach rechts", somit ist fx=fn bei alpha=0° korrekt, weil fn dann nach "rechts" zeigt.
Gerd schrieb: > Im Bild A ist das zugrundeliegende Koordinatensystem abgebildet, > die positive x-Richtung ist "nach rechts", somit > ist fx=fn bei alpha=0° korrekt, weil fn dann nach "rechts" zeigt. So kann man es auch sehen, das wiederrum bedeutet, dass in Diagramm b fx falsch herum eingezeichnet ist ;) Wenn man den Autor nicht fragt wird man den Fehler nie 100% entdecken. Sicher ist nur, dass er da ist.
Da ist kein Fehler. fx setzt sich zusammen aus der x-Komponente von ft UND der x-Komponente von fn. Ebenso setzt sich fy zusammen aus der y-Komponente von fn UND der y-Komponente von ft. Und der Vektor f=(fx fy)^T, also "oben" steht fx und "unten" fy.
Wenn du mal nur b) betrachtest und wie Gerd gesagt hat, die Komponenten einzeln versuchst zu berechnen so bekommst du: Erstens:
Zweitens:
Zusammengesetzt:
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Ich sag ja auch nicht, dass die Formel nicht stimmt. Die Formel und die Zeichnung passen nur nicht zusammen. In der Zeichnung zeigt fx in negative X-Richtung. Der Formel nach muss fx aber in positive X-Richtung zeigen. Also entweder ist fx in der Zeichnung falsch eingezeichnet oder in der Formel fehlt ein Vorzeichen. Das ist der "Fehler" (besser: Unstimmigkeit). Ein Vektor ohne Angabe des Koordinatensystems ist im Prinzip immer unbrauchbar/nicht eindeutig. Wir gehen nur immer davon aus, wenn kein Koordinatensystem gegeben ist, dass das kartesische Koordinatensystem gilt.
Das ist nicht wahr! In der Zeichnung ist alpha≈45° und ft>fn => fx≈fn*sqrt(2)-ft*sqrt(2) da ft>fn, muss (fn-ft)<0 => fx(alpha=45°) < 0 und damit negativ.
Gerd schrieb: > In der Zeichnung ist alpha≈45° Na wie du das jetzt aus der Zeichnung ohne Skalierung der Achsen ermittelt hast wäre echt mal spannend... ;) Aber spinn den Faden mal weiter: für alle Alpha = 0...90° ist fx <= 0 (wenn man die Pfeilrichtungen berücksichtigt), fn ist aber für alle Alpha = 0...90° definitiv >= 0. Der Formel nach ist aber für für Alpha = 0 fn = fx, das passt aber nicht. ;)
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Lenk nicht ab, das war eine Schätzung, ebenso wie ft>fn, weil ft deutlich größer als fn ist. Die Skalierung der Achsen ist in diesem Fall völlig unerheblich, da die Vektoren ft und fn von den kartesischen Basisvektoren linear abhängig sind. Das lustige ist ja, dass man es in der Zeichnung sieht, dass fx negativ ist. Mach mal eine Zeichnung, wie es deiner Meinung nach aussehen sollte, das würde mich mal wirklich interessieren.
Doch genauso passt es, weil fn bei alpha=0° die einzige Komponente ist, die in x-Richtung zeigt.
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Michael Köhler schrieb: > Ich sag ja auch nicht, dass die Formel nicht stimmt. Die Formel und die > Zeichnung passen nur nicht zusammen. In der Zeichnung zeigt fx in > negative X-Richtung. Der Formel nach muss fx aber in positive X-Richtung > zeigen. Also entweder ist fx in der Zeichnung falsch eingezeichnet oder > in der Formel fehlt ein Vorzeichen. Das ist der "Fehler" (besser: > Unstimmigkeit). > Ein Vektor ohne Angabe des Koordinatensystems ist im Prinzip immer > unbrauchbar/nicht eindeutig. Wir gehen nur immer davon aus, wenn kein > Koordinatensystem gegeben ist, dass das kartesische Koordinatensystem > gilt. 1. In der Zeichnung ist f_x negativ, genauso wie in der Formel. Im Anhang sind ein paar Beispeilwerte. In Spalte B, Zeile 12 haben wir einen ungefähr zu zeichnung passenden Wert. (f_t doppelt so lang wie f_n und alpha ca 45 Grad). f_x ist negativ, genauso wie in der Zeichnung. 2. Die Zeichnungen haben ein Koordinatensystem. In a) ist es eingezeichnet. b) ist nur ein Ausschnitt von a) daher hat sich der Autor das einzeichnen eines Koordinatensystems in b) gespart um weniger Verwirrung durch unnötige Linien zu stiften.
Gerd schrieb: > Doch genauso passt es, weil fn bei alpha=0° die einzige Komponente ist, > die in x-Richtung zeigt. Eben, und fx zeigt entgegen der x-Richtung so wie es eingezeichnet ist. Frank M. schrieb: > In der Zeichnung ist f_x negativ, genauso wie in der Formel. Im > Anhang sind ein paar Beispeilwerte. Also fx ist mal positiv und mal negativ bei deinen Beispielwerten. Daran sollte nun der Fehler aber echt auffallen. Der Winkel wandert nur um 90° und dennoch dreht fx seinen Winkel um über 180°? Frank M. schrieb: > In der Zeichnung ist f_x negativ, genauso wie in der Formel. Also ich schau noch mal bei Alpha = 0: fx zeigt in negative x-Richtung, fn (hat nur noch eine x-Komponente!) zeigt in positive x-Richtung. Der Formel nach kommt aber fx = fn (cos(0°)=1, sin(0°)=0) heraus, d.h. beide Vektoren zeigen in dieselbe Richtung. Bei Alpha = 90: fx zeigt in negative Richtung, ft (hat nur noch eine x-Komponente) zeigt auch in negative Richtung. Der Formel nach kommt aber fx = -ft (cos(90°)=0, sind(90°)=1) heraus, d.h. die Vektoren zeigen in entgegengesetzte Richtungen.
nein, wenn alpha=0° zeigt fx in positive x Richtung. f ist die SUMME aus ft und fn! und ft und fn sind orthogonal (also senkrecht) zueinander.
Michael Köhler schrieb: > Also ich schau noch mal bei Alpha = 0: fx zeigt in negative x-Richtung [..] > Bei Alpha = 90: fx zeigt in negative Richtung [..] Die Argumentation ist falsch. Wenn du Alpha änderst, drehst du f_x nicht. D.h. wenn du Alpha änderst kannst du über f_x vorerst gar keine Aussage machen. Die einzigen Vektoren die du drehst sind f_t und f_n. Aus diesen berechnest du dann den resultierenden Vektor f_x, der IMMER parallel zur x-Achse ist. Nur anhand der Zeichnung argumentiert. Es interessiert uns die resultierende Kraft entlang der x-Achse: Also Alpha = 0: f_n ist parallel zur x-Achse, f_t orthogonal und hat somit keine Komponente entlag der x-Achse --> es wirkt eine Kraft entlang der x-Achse (f_x) die identisch zu f_n ist ... stimmt mit der Formel überein. Alpha = 90: f_n ist orthogonal zur x-Achse, d.h. die x-Komoponente von f_n ist 0. f_t ist parallel zur x-Achse --> f_x ist genau f_t ... stimmt mit der Formel überein. Alpha = 45: sowohl f_t, als auch f_n haben eine x-Komponente ungleich 0. Da alpha = 45 Grad ist es genau die Hälfte. D.h wenn |f_n| = |f_t| ist ist f_x = 0, da f_n orthognal zu f_t steht und sich deren Kräfte aufheben ... stimmt mit der Formel überein. Michael Köhler schrieb: > Also fx ist mal positiv und mal negativ bei deinen Beispielwerten. Daran > sollte nun der Fehler aber echt auffallen. Der Winkel wandert nur um 90° > und dennoch dreht fx seinen Winkel um über 180°? Ja und? Was ist daran falsch? Du glaubst nicht, was ich auch noch machen kann: überhaupt nicht durch drehen, sondern nur durch Längenänderung bin ich in der Lage, dass f_x sein Vorzeichen ändert! Siehe Tabelle Zeile 9. Spalte B ist negativ, Spalte C und D plötzlich positiv, bei selbem Winkel! Wahnsinn :-)
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Gerd schrieb: > Habs nochmal aufgemalt, vielleicht wirds dann klarer Sei mir nicht böse, dass ich auch nochmal so was poste :-D Hat aber so viel Spaß gemacht, da will ich das nicht unterschlagen ^^ Du warst einfach schneller. (Den Vektor f muss man sich noch dazu denken, habe ich leider vergessen einzuzeichnen)
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Frank M. schrieb: > Alpha = 90: f_n ist orthogonal zur x-Achse, d.h. die x-Komoponente von > f_n ist 0. f_t ist parallel zur x-Achse --> f_x ist genau f_t ... stimmt > mit der Formel überein. Ich greif mal nur das auf, weil es da eindeutiger ist: Nach der Formel kommt da aber f_x = f_n * cos(90°) - f_t * sin (90°) = f_n 0 - f_t 1 = - f_t raus. Da ist f_x mitnichten genau f_t nach der Formel sondern f_x = -f_t und das ist eben nicht richtig.
siehe unterste Zeichnung in meinem Bild: alpha=90° fx=-ft
Michael Köhler schrieb: > Frank M. schrieb: >> Alpha = 90: f_n ist orthogonal zur x-Achse, d.h. die x-Komoponente von >> f_n ist 0. f_t ist parallel zur x-Achse --> f_x ist genau f_t ... stimmt >> mit der Formel überein. > > Ich greif mal nur das auf, weil es da eindeutiger ist: Nach der Formel > kommt da aber f_x = f_n * cos(90°) - f_t * sin (90°) = f_n 0 - f_t 1 > = - f_t raus. Da ist f_x mitnichten genau f_t nach der Formel sondern > f_x = -f_t und das ist eben nicht richtig. Ja sorry, da war ich in der Argumentation ungenau. Aber -f_t ist richtig. Nach Formel und Zeichnung (siehe Gerds Beitrag)
Vielleicht hab ich was am Auge aber in der Zeichnung zeigen f_x und f_t bei 90° in die selbe Richtung, damit ist f_x = - f_t definitiv falsch.
@Michael Köhler: Der Knackpunkt ist, die Bedeutungen der mathematischen Aussagen fx = ft und fx = -ft für das Pfeildiagramm richtig zu verstehen.
Ja, das kann sein, würd ich mal untersuchen lassen. x ist nach rechts positiv und ft zeigt nach links, erkennt man jeweils an der Pfeilspitze. => fx = -ft
Hab den hier vergessen: ;-) ist nicht böse gemeint. ^^
LostInMusic schrieb: > @Michael Köhler: > > Der Knackpunkt ist, die Bedeutungen der mathematischen Aussagen fx = ft > und fx = -ft für das Pfeildiagramm richtig zu verstehen. Richtig. Steht da f_x = f_t bedeutet das mathematisch, dass die Pfeile in die selbe Richtung zeigen. Nach der Zeichnung ist das auch so. Dummer Weise sagt die Formel aber, dass f_x = - f_t ist was mathematisch bedeutet, dass die Pfeile in entgegengesetzte Richtung zeigen. Das ist ja das, was den TE verwirrt hat.
Michael Köhler schrieb: > Vielleicht hab ich was am Auge aber in der Zeichnung zeigen f_x und f_t > bei 90° in die selbe Richtung, damit ist f_x = - f_t definitiv falsch. Jetzt check ich dein Problem. Korrekterweise heißt es:
Da ist keine Richtung mehr drin, außer im Winkel da nur mit dem Betrag der Länge des Vektors gerechnet wird. Du hast recht, bei 90° zeigt f_t nach links dann sieht der Vektor bspw so aus:
dessen Länge ist aber einfach
Mit der Formel aus der Aufgabe berechnet man dann die x bzw. y-Komponente des Vektors ausführlich
Zu Beginn des Buches wird sicherlich die Schreibweise der Vektoren erläutert worden sein. D.h. Vektor mit Pfeil drüber, Länge des Vektors ohne Pfeil, Komponenten des Vektors mit kleingeschriebenen x,y und z. Denn so wird es in der Zeichnung und Formel gehandhabt. Also bleibt es dabei, es ist richtig was im Buch steht.
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Frank M. schrieb: > Jetzt check ich dein Problem. > > Korrekterweise heißt es: >… Eben, in diesem Falle würde also die Betragsstriche um f_n und f_t fehlen was ja wieder ein Fehler wäre. Wie schon gesagt, was genau falsch ist wird man wohl nur erfahren, wenn man den Autor fragt. Es ist auf jeden Fall nicht eindeutig und kann unterschiedlich interpretiert werden. Daher kommt ja auch unsere Diskussion weil wir alle es unterschiedlich interpretieren.
Ich weiß jetzt glaub ich auch was du meinst. Du sprichst von dem Vektor f_x aus dem ersten Bild. Dieser zeigt immer in Richtung der x-Komponente vom Vektor f, dann sind der Vektor f_x und der Vektor f_t bei alpha=90° natürlich gleich. Der Skalar fx aus der Formel beschreibt aber die Richtung des resultierenden Vektors f_x bzgl. der kartesischen Basis wie zu sehen in Bildteil a). Ebenso ist ja der Skalar ft nicht der Vektor f_t, sondern dessen Norm, bzw. "länge", bei f_n analog. Also sagt die Formel nicht f_x = -f_t, sondern f_ex = - ||f_t|| (<=> fx=-ft), wobei f_t und f_x Vektoren sind und f_ex das Skalarprodukt von f_x und e_x (=fx), mit e_x der Einheitsvektor in x-Richtung, also (1 0)^T. Und da der Vektor f_x bei alpha=90° gerade (-||f_t|| ||f_n||)^T ist, so ist f_x*e_x = (-||f_t|| 0) und damit f_ex = fx = -||f_x*e_x|| =-||(-||f_t|| 0)^T|| = -||-sqrt(f_t^2)||=-||f_t|| = -ft <=> fx = -ft
Michael Köhler schrieb: > Eben, in diesem Falle würde also die Betragsstriche um f_n und f_t > fehlen was ja wieder ein Fehler wäre. Wie schon gesagt, was genau falsch > ist wird man wohl nur erfahren, wenn man den Autor fragt. Es ist auf > jeden Fall nicht eindeutig und kann unterschiedlich interpretiert > werden. Daher kommt ja auch unsere Diskussion weil wir alle es > unterschiedlich interpretieren. Du bist ganz schön hartnäckig :-) Für mich ist da nichts falsch und ich bezweifle, dass der TS daran gescheitert ist. Zudem ist es in wissenschaftlichen Büchern üblich, dass jeder Autor seine eigene bevorzugte Schreibweise für Vektoren und Indizes verwendet und sich nicht an die 'umständliche' 'Schulschreibweise' hält. Das führt oft dazu, dass die Mitte eines Buches oft vollkommen unverständlich ist, ohne die davorgehenden Kapitel gelesen zu haben in denen erwähnt wurde was wie an Zeichen eingespart wurde, da es in diesem Zusammenhang ja 'offensichtlich' ist. Gerd hat es sogar noch korrekter geschrieben, mit der Norm. In diesem Fall ist aber eindeutig was ein Vektor ist und was keiner ist. Halbwegs eindeutig ist, was eine Komponente eines Vektors ist und was dessen Länge ist. Und Text gibt es ja auch noch, bei dem vermutlich die Formel noch etwas erläutert wird.
Ahh, hier hin ist der Thread verschwunden. Ich denke die Verwirrung kommt daher, dass wir die Zeichnung b anders interpretiert haben. Ich, und wahrscheinlich auch Michael, haben den Vektor fx für die Definition des allgemeinen Vektors gehalten. Sprich in dem Fall zeigt fy in y-Richtung und fx in die negative x-Richtung. Tatsächlich zeigt die Zeichnung aber das Resultat der Kraftkomponente in x-Richtung. Dann passen natürlich Formel und Zeichnung wieder zusammen.
Gerd schrieb: > Der Skalar fx aus der Formel beschreibt aber die Richtung des > resultierenden Vektors f_x bzgl. der kartesischen Basis wie zu sehen in > Bildteil a). Ebenso ist ja der Skalar ft nicht der Vektor f_t, sondern > dessen Norm, bzw. "länge", bei f_n analog. Da muss ich ein wenig widersprechen. Wie kommst du darauf, dass ft ein Skalar ist. Dazu mal etwas aus deinem ersten Beitrag: Gerd schrieb: > Dieser Vektor f lässt wird nur durch ft und fn beschrieben, > also vermutlich in natürlichen koordinaten, daher die indizes. Das möchte ich auch noch mal auffassen. Also das t steht für Tangential und das n für Normal. Ist dir das in Zeichnung a eingezeichnete dA aufgefallen? Es geht hier um eine Fläche auf die die Kraft wirkt. Das hat nix mit natürlichen Koordinaten zu tun sondern mit dem maxwell'ischen Spannungsvektor zu tun den man u.a. im Magnetfeld antrifft. Also nix mit "natürlichen Koordinaten" ;) Zu beachten ist hierbei der Sonderfall Alpha = 90°, da ist es IMO am besten zu sehen da f_t dabei nur eine x-Komponente hat und die y-Komponente eh 0 ist. ;) Frank M. schrieb: > Du bist ganz schön hartnäckig :-) Das liegt an meinem Mathe-Prof. Der hat uns Studenten bei solchen Spitzfindigkeiten regelmäßig auseinander genommen. Und das hier ist ja ein Beispiel für eindeutige Uneindeutigkeit: Auf der einen Seite der Gleichung ist ein Komponente eines Vektors, auf der anderen Seite sind die Beträge der Vektoren gemeint? Im Text wird aber auch nur von Komponenten geredet, dort steht nämlich: >> … b Kraftdichtekomponente ft und fn sowie fx und fy Es ist nicht eindeutig. ;) Was der TE genau nicht verstanden hat können wir nicht wissen. Ich denke mal er hat in die Gleichung verschiedene Alpha eingesetzt und geschaut was bei rum kommt. Und es verwirrte ihn, dass bei Alpha = 90° fx = -ft heraus kommt wo er in Zeichnung doch sieht, dass beide dann gleich sein müssten da ft dann gar keine y-Komponente mehr besitzt. Also zumindest hab ich das so gemacht und das ist nicht verwerflich. Es zeigt nur, das irgend etwas nicht eindeutig ist.
Es ist alles völlig eindeutig, die Formeln sind korrekt und sie passen zum Diagramm. Und irgendeine Interpretation von fn und ft als Längen von Vektoren (statt Koordinaten) ist auch nicht nötig, bzw. wäre sogar falsch. Das einzige, was man hier kapieren muss, ist die genaue Bedeutung von fn und ft, insbesondere wann fn > 0 ist, und wann < 0, und wann ft > 0 ist und wann < 0. >Also das t steht für Tangential und das n für Normal. So ist es. Die Gleichungen beschreiben eine Koordinatentransformation, und zwar die zwischen dem natürlich-lokalen (d. h. am Raumpunkt orientierten und mit diesem mitbewegten) System, in dem der f-Vektor die Koordinaten fn und ft hat, und einem globalen xy-System, in dem derselbe f-Vektor die Koordinaten fx und fy hat. Beide Systeme sind kartesisch, aber sie sind zueinander um dem Winkel alpha verdreht. >Steht da f_x = f_t bedeutet das mathematisch, dass die Pfeile >in die selbe Richtung zeigen. Nein. fx = ft bedeutet garnichts, weil fx und ft Koordinaten (zwar einunddesselben Vektors, aber) in verschiedenen Systemen sind.
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